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Sommaire

  • 1Charges électriques et force de Coulomb
  • 2Champ électrique
  • 3Potentiel et énergie électrique
  • 4Dipôle électrique lock — section verrouillée
  • 5Dipôle et signaux bioélectriques lock — section verrouillée
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B7 · Électrophysiologie

Électrostatique, potentiel et dipôle électrique

Rappeler force de Coulomb, champ électrique, potentiel et énergie d'une charge. Décrire le dipôle électrique et le champ qu'il produit, base de l'interprétation des signaux bioélectriques.

Biophysique·schedule7 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Charges électriques et force de Coulomb

Définition

Électrostatique

Étude des charges électriques immobiles et des forces, champs, potentiels et énergies qui leur sont associés.

La charge électrique, notée qqq, est une propriété de la matière responsable des interactions électriques. Elle s'exprime en coulombs, de symbole C\mathrm{C}C. Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes opposés s'attirent.

Dans un milieu matériel, l'intensité de l'interaction dépend de sa permittivité électrique ε\varepsilonε. Celle-ci traduit la manière dont le milieu modifie le champ produit par les charges et s'écrit souvent ε=ε0εr\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_rε=ε0​εr​, où ε0\varepsilon_0ε0​ est la permittivité du vide et εr\varepsilon_rεr​ la permittivité relative du milieu.

Formule

Loi de Coulomb

F⃗1→2=14πεq1q2r122u⃗12\vec F_{1\to 2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q_1q_2}{r_{12}^{2}} \vec u_{12}F1→2​=4πε1​r122​q1​q2​​u12​
  • F⃗1→2\vec F_{1\to 2}F1→2​ : force exercée par la charge q1q_1q1​ sur la charge q2q_2q2​, en newtons
  • q1q_1q1​ et q2q_2q2​ : charges électriques, en coulombs
  • r12r_{12}r12​ : distance entre les deux charges, en mètres
  • u⃗12\vec u_{12}u12​ : vecteur unitaire dirigé de q1q_1q1​ vers q2q_2q2​
  • ε\varepsilonε : permittivité électrique du milieu, en farads par mètre
  • π\piπ : constante géométrique

La force est portée par la droite reliant les charges. Son intensité diminue comme l'inverse du carré de la distance. Le signe de q1q2q_1q_2q1​q2​ détermine son sens : si le produit est positif, la force est répulsive ; s'il est négatif, elle est attractive.

Exemple

Calcul de la force entre deux charges opposées

Deux charges sont placées dans l’air, assimilé au vide : q1=+2,0 nCq_1=\pu{+2,0 nC}q1​=+2,0 nC et q2=−3,0 nCq_2=\pu{-3,0 nC}q2​=−3,0 nC, séparées par r=0,10 mr=\pu{0,10 m}r=0,10 m.

L’intensité de la force vaut :

F=14πε0∣q1q2∣r2=8,99×109×∣2,0×10−9×(−3,0×10−9)∣(0,10)2=5,4×10−6 NF = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\left|q_1q_2\right|}{r^2} = 8{,}99\times10^9\times \frac{\left|2{,}0\times10^{-9}\times\left(-3{,}0\times10^{-9}\right)\right|}{\left(0{,}10\right)^2} = \pu{5,4\times10^{-6} N}F=4πε0​1​r2∣q1​q2​∣​=8,99×109×(0,10)2​2,0×10−9×(−3,0×10−9)​​=5,4×10−6 N

Le produit q1q2q_1q_2q1​q2​ est négatif : la force est attractive. La charge q2q_2q2​ est donc attirée vers q1q_1q1​, et réciproquement.

Lorsque plusieurs charges sont présentes, leurs actions s'ajoutent vectoriellement. C'est le principe de superposition : la force totale exercée sur une charge est la somme vectorielle des forces produites séparément par toutes les autres charges.

Champ électrique

Définition

Champ électrique E⃗\vec EE

Grandeur vectorielle qui associe à chaque point de l'espace la force électrique par unité de charge positive placée en ce point.

Si une charge d'épreuve q0q_0q0​ subit une force F⃗\vec FF, le champ au point considéré est défini par E⃗=F⃗/q0\vec E=\vec F/q_0E=F/q0​. Il s'exprime en newtons par coulomb, unité équivalente au volt par mètre.

Pour une charge ponctuelle qqq située à une distance rrr, le champ est radial. Il est dirigé vers l'extérieur si qqq est positive et vers la charge si qqq est négative. Son intensité varie comme 1/r21/r^21/r2.

Le champ obéit lui aussi au principe de superposition : si plusieurs charges produisent les champs E⃗1,E⃗2,…\vec E_1,\vec E_2,\ldotsE1​,E2​,…, alors le champ total est E⃗=E⃗1+E⃗2+…\vec E=\vec E_1+\vec E_2+\ldotsE=E1​+E2​+…

Les lignes de champ sont des courbes dont la tangente indique, en chaque point, la direction de E⃗\vec EE. Elles sont orientées dans le sens de la force que subirait une charge positive.

Attention

Champ et force ne sont pas identiques

Le champ E⃗\vec EE est une propriété de la distribution de charges qui le produit. La force F⃗=q0E⃗\vec F=q_0\vec EF=q0​E dépend en plus de la charge q0q_0q0​ placée dans ce champ, notamment de son signe.

Potentiel et énergie électrique

Définition

Potentiel électrique VVV

Énergie potentielle électrique par unité de charge en un point donné. C'est une grandeur scalaire exprimée en volts.

Le potentiel décrit énergétiquement le champ électrique. Contrairement au champ, qui possède une direction, le potentiel est un nombre. Pour une charge ponctuelle qqq, en choisissant un potentiel nul à l'infini :

Formule

Potentiel d'une charge ponctuelle

V(r)=14πεqrV(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{q}{r}V(r)=4πε1​rq​
  • V(r)V(r)V(r) : potentiel électrique à la distance rrr, en volts
  • qqq : charge qui produit le potentiel, en coulombs
  • rrr : distance à la charge, en mètres
  • ε\varepsilonε : permittivité électrique du milieu, en farads par mètre
  • π\piπ : constante géométrique

Les potentiels produits par plusieurs charges s'additionnent algébriquement. Cette addition scalaire est généralement plus simple que l'addition vectorielle des champs.

Définition

Différence de potentiel

Différence ΔV=VB−VA\Delta V=V_B-V_AΔV=VB​−VA​ entre les potentiels de deux points AAA et BBB. Elle correspond à la tension électrique mesurable entre ces points.

Une charge qqq placée au potentiel VVV possède une énergie potentielle électrique Ep=qVE_p=qVEp​=qV. Lors de son déplacement entre deux points, la variation d'énergie vaut ΔEp=qΔV\Delta E_p=q\Delta VΔEp​=qΔV. Le travail WchampW_{\mathrm{champ}}Wchamp​ fourni par le champ vérifie alors Wchamp=−ΔEpW_{\mathrm{champ}}=-\Delta E_pWchamp​=−ΔEp​ : une diminution spontanée d'énergie potentielle correspond à un travail positif du champ.

Exemple

Énergie d’une charge positive entre deux potentiels

Une charge positive q=2,0 μCq=\pu{2,0 \mu C}q=2,0 μC se déplace d’un point AAA au potentiel VA=120 mVV_A=\pu{120 mV}VA​=120 mV vers un point BBB au potentiel VB=20 mVV_B=\pu{20 mV}VB​=20 mV.

La différence de potentiel est :

ΔV=VB−VA=20 mV−120 mV=−100 mV=−0,100 V\Delta V=V_B-V_A=\pu{20 mV}-\pu{120 mV}=\pu{-100 mV}= \pu{-0,100 V}ΔV=VB​−VA​=20 mV−120 mV=−100 mV=−0,100 V

La variation d’énergie potentielle est :

ΔEp=qΔV=2,0×10−6 C×−0,100 V=−2,0×10−7 J\Delta E_p=q\Delta V =\pu{2,0\times10^{-6} C}\times\pu{-0,100 V} =\pu{-2,0\times10^{-7} J}ΔEp​=qΔV=2,0×10−6 C×−0,100 V=−2,0×10−7 J

Le travail fourni par le champ vaut donc :

Wchamp=−ΔEp=+2,0×10−7 JW_{\mathrm{champ}}=-\Delta E_p=\pu{+2,0\times10^{-7} J}Wchamp​=−ΔEp​=+2,0×10−7 J

L’énergie potentielle de la charge diminue et le champ fournit un travail positif : une charge positive se déplace spontanément vers un potentiel plus faible.

Le potentiel est défini à une constante additive près. Seules les différences de potentiel ont une signification mesurable, ce qui impose de choisir un point ou une électrode de référence.

Formule

Relation entre champ et potentiel

E⃗=−grad⁡V\vec E=-\operatorname{grad}VE=−gradV
  • E⃗\vec EE : champ électrique, en volts par mètre
  • VVV : potentiel électrique, en volts
  • grad⁡V\operatorname{grad}VgradV : gradient spatial du potentiel, orienté vers sa croissance la plus rapide

Le signe négatif signifie que le champ est orienté vers les potentiels décroissants. Les surfaces équipotentielles, sur lesquelles VVV est constant, sont donc perpendiculaires aux lignes de champ.

Comparaison

Champ et potentiel électriques

CritèreChamp électriquePotentiel électrique
Naturegrandeur vectoriellegrandeur scalaire
UnitéV m−1\mathrm{V\,m^{-1}}Vm−1V\mathrm{V}V
Superpositionsomme vectoriellesomme algébrique
Lien spatialdirigé vers les potentiels décroissantsconstant sur une surface équipotentielle
À retenir

Le champ détermine la force par F⃗=qE⃗\vec F=q\vec EF=qE, tandis que le potentiel détermine l'énergie par Ep=qVE_p=qVEp​=qV. Une mesure électrique entre deux points porte sur ΔV\Delta VΔV, jamais sur une valeur absolue de VVV.

Dipôle électrique

Définition

Dipôle électrique

Ensemble formé de deux charges opposées +q+q+q et −q-q−q, séparées par une distance petite devant la distance d'observation.

Le dipôle est globalement neutre, mais la séparation spatiale des charges produit un champ non nul. Il est caractérisé par son moment dipolaire électrique p⃗\vec pp​.

Formule

Moment dipolaire électrique

p⃗=qd⃗\vec p=q\vec dp​=qd
  • p⃗\vec pp​ : moment dipolaire électrique, en coulomb-mètres
  • qqq : valeur absolue de chacune des deux charges, en coulombs
  • d⃗\vec dd : vecteur allant de la charge négative vers la charge positive, en mètres

Le sens conventionnel de p⃗\vec pp​ va donc du pôle négatif vers le pôle positif. Le moment dipolaire augmente avec la valeur des charges et avec leur séparation.

À une distance rrr très supérieure à la séparation ddd, le dipôle peut être considéré comme ponctuel. Son potentiel et son champ dépendent alors de la position du point d'observation par rapport à l'orientation de p⃗\vec pp​.

Formule

Potentiel et champ d'un dipôle ponctuel

V(r⃗)=14πεp⃗⋅u⃗rr2V(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \frac{\vec p\cdot\vec u_r}{r^2}V(r)=4πε1​r2p​⋅ur​​E⃗(r⃗)=14πεr3[3(p⃗⋅u⃗r)u⃗r−p⃗]\vec E(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon r^3} \left[ 3\left(\vec p\cdot\vec u_r\right)\vec u_r-\vec p \right]E(r)=4πεr31​[3(p​⋅ur​)ur​−p​]
  • V(r⃗)V(\vec r)V(r) : potentiel au point repéré par r⃗\vec rr, en volts
  • E⃗(r⃗)\vec E(\vec r)E(r) : champ électrique en ce point, en volts par mètre
  • r⃗\vec rr : vecteur allant du centre du dipôle au point d'observation, en mètres
  • rrr : norme de r⃗\vec rr, en mètres
  • u⃗r\vec u_rur​ : vecteur unitaire de même direction que r⃗\vec rr
  • p⃗\vec pp​ : moment dipolaire électrique, en coulomb-mètres
  • ε\varepsilonε : permittivité électrique du milieu, en farads par mètre
  • π\piπ : constante géométrique
  • ⋅\cdot⋅ : produit scalaire

Le produit scalaire p⃗⋅u⃗r\vec p\cdot\vec u_rp​⋅ur​ montre que le potentiel dépend de l'orientation relative du dipôle et du point d'observation. Il est maximal dans le sens de p⃗\vec pp​, minimal dans le sens opposé et nul dans le plan perpendiculaire à p⃗\vec pp​ passant par le centre du dipôle.

Le potentiel dipolaire décroît comme 1/r21/r^21/r2, tandis que le champ décroît comme 1/r31/r^31/r3. Ils diminuent donc plus rapidement avec la distance que ceux d'une charge isolée, car les contributions des deux charges opposées se compensent partiellement.

Attention

Sens du moment dipolaire

Le moment dipolaire électrique p⃗\vec pp​ est orienté de la charge négative vers la charge positive. Cette convention ne doit pas être confondue avec le sens du champ électrique entre les deux charges, orienté localement du positif vers le négatif.

Dipôle et signaux bioélectriques

Dans les tissus, les redistributions ioniques créent des régions sources et puits de courant. À une distance suffisante, une distribution complexe peut être représentée par un dipôle équivalent, dont le moment résume l'intensité et l'orientation de la source bioélectrique.

Définition

Conducteur volumique

Milieu conducteur tridimensionnel dans lequel les courants se répartissent dans l'espace et produisent un potentiel mesurable en différents points.

Les électrodes placées en deux points d'un conducteur volumique mesurent une différence de potentiel. Le signal dépend donc :

  • de l'intensité du dipôle équivalent ;
  • de son orientation par rapport aux points de mesure ;
  • de sa distance aux électrodes ;
  • de la géométrie et des propriétés conductrices du milieu.

Un dipôle orienté favorablement par rapport à un axe de mesure produit une différence de potentiel importante. S'il est perpendiculaire à cet axe, sa contribution mesurée peut devenir faible ou nulle. Le signal enregistré est ainsi une projection spatiale de l'activité électrique, et non une mesure directe de toute l'activité de la source.

La genèse du dipôle cardiaque, les dérivations et l'enregistrement de l'électrocardiogramme relèvent des fiches suivantes du sous-bloc.

À retenir

Un signal bioélectrique mesuré à distance dépend autant de la source que de sa position, de son orientation et du milieu conducteur. Une amplitude faible ne signifie donc pas nécessairement une activité électrique faible.

Points clés
  • La force de Coulomb varie comme le produit des charges et comme l'inverse du carré de leur distance.
  • Le champ électrique vérifie F⃗=qE⃗\vec F=q\vec EF=qE et est orienté vers les potentiels décroissants.
  • Le potentiel est une grandeur scalaire liée à l'énergie par Ep=qVE_p=qVEp​=qV ; seules les différences de potentiel sont mesurables.
  • Le dipôle électrique est caractérisé par p⃗=qd⃗\vec p=q\vec dp​=qd, orienté de la charge négative vers la charge positive.
  • Le potentiel dipolaire dépend de l'orientation du dipôle et décroît comme 1/r21/r^21/r2.
  • Les signaux bioélectriques enregistrés correspondent à des différences de potentiel produites par des sources équivalentes dans un conducteur volumique.

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