B10 · Échantillonnage et estimation

Fluctuations d'échantillonnage

Décrire la variabilité d'une statistique d'un échantillon à l'autre et la distribution d'échantillonnage d'une moyenne et d'une proportion. Relier la précision à la taille de l'échantillon.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Origine des fluctuations d'échantillonnage

Une population est l'ensemble des unités sur lesquelles porte l'étude. Un échantillon est un sous-ensemble d'unités effectivement observées. Ces notions, ainsi que les conditions de représentativité, sont détaillées dans la fiche précédente.

Même lorsque le prélèvement est aléatoire et correctement réalisé, deux échantillons issus d'une même population ne contiennent généralement pas les mêmes unités. Les valeurs observées changent donc d'un prélèvement à l'autre.

La fluctuation d'échantillonnage ne résulte pas nécessairement d'une erreur de mesure ou d'un défaut méthodologique. Elle est inhérente au prélèvement d'une partie seulement de la population. Une statistique observée est ainsi l'une des valeurs possibles produites par le mécanisme aléatoire d'échantillonnage.

Paramètre et statistique

Un paramètre décrit la population et possède une valeur fixe, généralement inconnue. Une statistique correspondante est calculée dans l'échantillon et fluctue autour de ce paramètre.

Comparaison

Paramètre de population et statistique d'échantillon

Critère	Paramètre	Statistique
Ensemble décrit	population	échantillon
Caractère aléatoire avant le prélèvement	fixe	aléatoire
Moyenne	$\mu$	$\overline{X}$
Proportion	$p$	$\widehat{p}$

L'utilisation d'une statistique observée comme estimation d'un paramètre relève de l'estimation ponctuelle, étudiée dans la fiche suivante. La présente fiche s'intéresse à la variabilité de cette statistique avant toute observation.

Distribution d'échantillonnage

Cette distribution est une construction théorique. Elle décrit :

la position centrale des valeurs possibles de la statistique ;
leur dispersion autour du paramètre ;
la forme générale de leur répartition.

Plus la distribution d'échantillonnage est resserrée, plus la statistique a tendance à être proche du paramètre recherché. La dispersion de cette distribution mesure donc la précision d'échantillonnage.

Distribution d'échantillonnage d'une moyenne

On considère un échantillon aléatoire de taille $n$ . Pour chaque unité $i$ , la variable aléatoire $X_i$ représente la valeur du caractère quantitatif observé. On suppose les variables $X_i$ indépendantes, de même loi, de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$ .

La moyenne d'échantillon est elle-même une variable aléatoire, car elle dépend des unités sélectionnées.

Grâce à la linéarité de l'espérance, la moyenne des valeurs possibles de $\overline{X}$ est égale à la moyenne de la population. Grâce à l’indépendance, les variances des observations s’additionnent, tandis que la division par $n$ multiplie la variance par $1/n^2$ .

Si le caractère suit une loi normale dans la population, la moyenne d'échantillon suit exactement une loi normale, quelle que soit la taille $n$ . Si la loi initiale n'est pas normale mais possède une variance finie, le théorème central limite indique que la distribution de $\overline{X}$ tend vers une loi normale lorsque $n$ augmente.

Distribution d'échantillonnage d'une proportion

Pour un caractère binaire, chaque unité présente ou non la modalité étudiée. On associe à chaque unité une variable $X_i$ valant $1$ si la modalité est présente et $0$ sinon. Chaque $X_i$ suit alors une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , où $p$ est la proportion dans la population.

Si $K$ désigne le nombre d'unités présentant la modalité, alors $K$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ . La proportion d'échantillon est $\widehat{p}=K/n$ .

La distribution exacte de $\widehat{p}$ est discrète, car seules les valeurs $0/n$ , $1/n$ , jusqu'à $n/n$ sont possibles. Lorsque $n$ est suffisamment grand et que $p$ n'est pas trop proche de $0$ ou de $1$ , cette distribution peut être approchée par une loi normale. Les conditions précises dépendent du degré d'approximation recherché et ne se résument pas à une taille universelle.

La quantité $p\left(1-p\right)$ détermine aussi la variabilité intrinsèque du caractère binaire. Elle est maximale lorsque $p=1/2$ et diminue lorsque $p$ se rapproche de $0$ ou de $1$ .

Taille d'échantillon et précision

Pour la moyenne comme pour la proportion, l'erreur standard est proportionnelle à $1/\sqrt{n}$ . L'augmentation de la taille de l'échantillon resserre donc la distribution d'échantillonnage autour du paramètre, sans modifier son centre.

Cette dépendance en racine carrée entraîne des rendements décroissants : multiplier $n$ par $4$ divise l'erreur standard par $2$ . Pour diviser l'erreur standard par un facteur $c$ , il faut multiplier la taille par $c^2$ , où $c$ est un nombre strictement positif.

Lorsque le prélèvement est effectué sans remise dans une population finie de taille $N$ , les observations ne sont plus strictement indépendantes. Si la fraction prélevée n'est pas négligeable, l'erreur standard doit être multipliée par le facteur de correction $\sqrt{\left(N-n\right)/\left(N-1\right)}$ , où $N$ est la taille de la population et $n$ celle de l'échantillon.

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