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Sommaire

  • 1Principe d’un intervalle de confiance
  • 2Intervalle de confiance d’une moyenne
    • 2.1Écart-type populationnel connu
    • 2.2Écart-type populationnel inconnu
  • 3Intervalle de confiance d’une proportion lock — section verrouillée
  • 4Intervalle de confiance et intervalle de pari lock — section verrouillée
  • 5Facteurs contrôlant la précision lock — section verrouillée
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B10 · Échantillonnage et estimation

Intervalles de confiance et intervalles de pari

Construire un intervalle de confiance d'une moyenne et d'une proportion et en préciser les conditions d'application. Distinguer intervalle de confiance et intervalle de pari et interpréter correctement le niveau de confiance.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Principe d’un intervalle de confiance

Les notions de population, d’échantillon, de fluctuation d’échantillonnage et d’estimation ponctuelle sont établies dans les fiches précédentes du sous-bloc ; elles expliquent pourquoi une estimation varie d’un échantillon à l’autre.

Définition

Intervalle de confiance

Intervalle calculé à partir d’un échantillon par une procédure qui, lors de répétitions indépendantes de l’échantillonnage, contient le paramètre inconnu avec une fréquence fixée appelée niveau de confiance.

Un paramètre de population, tel qu’une moyenne μ\muμ ou une proportion ppp, est fixe mais inconnu. En revanche, les bornes de l’intervalle dépendent de l’échantillon : avant le recueil des données, elles sont donc aléatoires.

Si α\alphaα désigne le risque de non-couverture, le niveau de confiance vaut 1−α1-\alpha1−α. Dans un intervalle bilatéral symétrique, le risque α\alphaα est réparti entre les deux extrémités de la distribution, soit α/2\alpha/2α/2 dans chaque queue.

Formule

Propriété de couverture

Pθ(L≤θ≤U)=1−αP_{\theta}\left(L \leq \theta \leq U\right)=1-\alphaPθ​(L≤θ≤U)=1−α
  • θ\thetaθ : paramètre fixe et inconnu de la population
  • LLL : borne inférieure aléatoire calculée sur l’échantillon
  • UUU : borne supérieure aléatoire calculée sur l’échantillon
  • PθP_{\theta}Pθ​ : probabilité sous le modèle défini par θ\thetaθ
  • α\alphaα : risque de non-couverture
  • 1−α1-\alpha1−α : niveau de confiance

Cette égalité décrit la procédure avant l’échantillonnage. Après observation des données, les bornes sont fixées : l’intervalle obtenu contient ou ne contient pas θ\thetaθ.

Attention

Interprétation fréquentiste du niveau de confiance

Il est incorrect d’affirmer qu’après calcul, le paramètre fixe a une probabilité 1−α1-\alpha1−α d’appartenir à l’intervalle. C’est la procédure aléatoire qui possède une fréquence de couverture égale à 1−α1-\alpha1−α sur des répétitions indépendantes.

Intervalle de confiance d’une moyenne

On étudie une variable quantitative de moyenne populationnelle μ\muμ. L’échantillon comporte nnn observations indépendantes et de même loi. Sa moyenne observée est xˉ\bar{x}xˉ.

L’incertitude dépend de l’erreur standard de la moyenne, c’est-à-dire de l’écart-type de sa distribution d’échantillonnage. Elle vaut σ/n\sigma/\sqrt{n}σ/n​ lorsque l’écart-type populationnel σ\sigmaσ est connu. Elle diminue donc comme l’inverse de n\sqrt{n}n​ : multiplier fortement l’effectif n’entraîne qu’une diminution plus lente de la largeur de l’intervalle.

Écart-type populationnel connu

Si la variable suit une loi normale, la moyenne d’échantillon suit exactement une loi normale. Lorsque l’effectif est suffisamment grand, l’approximation normale repose sur le théorème central limite, sous réserve que les observations soient indépendantes et que la variance soit finie.

Écart-type populationnel inconnu

En pratique, σ\sigmaσ est souvent inconnu et remplacé par l’écart-type corrigé observé sss. Si la variable étudiée est normale, la statistique standardisée suit alors une loi de Student à ν=n−1\nu=n-1ν=n−1 degrés de liberté. Cette loi tient compte de l’incertitude supplémentaire due à l’estimation de σ\sigmaσ.

Formule

Intervalle de confiance bilatéral d’une moyenne

[xˉ−qdn ; xˉ+qdn]\left[ \bar{x}-q\frac{d}{\sqrt{n}} \ ;\ \bar{x}+q\frac{d}{\sqrt{n}} \right][xˉ−qn​d​ ; xˉ+qn​d​]
  • xˉ\bar{x}xˉ : moyenne observée dans l’échantillon
  • nnn : effectif de l’échantillon
  • ddd : σ\sigmaσ si l’écart-type populationnel est connu, ou sss s’il est estimé
  • σ\sigmaσ : écart-type de la population
  • sss : écart-type corrigé de l’échantillon
  • qqq : z1−α/2z_{1-\alpha/2}z1−α/2​ si σ\sigmaσ est connu, ou t1−α/2,νt_{1-\alpha/2,\nu}t1−α/2,ν​ si σ\sigmaσ est inconnu sous normalité
  • z1−α/2z_{1-\alpha/2}z1−α/2​ : quantile d’ordre 1−α/21-\alpha/21−α/2 de la loi normale centrée réduite
  • t1−α/2,νt_{1-\alpha/2,\nu}t1−α/2,ν​ : quantile d’ordre 1−α/21-\alpha/21−α/2 de la loi de Student
  • ν\nuν : nombre de degrés de liberté, avec ν=n−1\nu=n-1ν=n−1
  • α\alphaα : risque de non-couverture
Exemple

Construire un intervalle de confiance d’une moyenne avec la loi de Student

Dans un échantillon de 252525 patients, la pression artérielle systolique moyenne observée vaut 120 mmHg\pu{120 mmHg}120 mmHg. L’écart-type corrigé observé est s=15 mmHgs=\pu{15 mmHg}s=15 mmHg. La variable est supposée normale et l’écart-type populationnel est inconnu.

Pour un niveau de confiance de 95 %, le quantile de Student à ν=25−1=24\nu=25-1=24ν=25−1=24 degrés de liberté vaut environ t0,975;24=2,064t_{0{,}975;24}=2{,}064t0,975;24​=2,064.

  • Erreur standard : sn=1525=3 mmHg\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}}=\pu{3 mmHg}n​s​=25​15​=3 mmHg
  • Marge d’erreur : 2,064×3=6 ,19 mmHg2{,}064\times 3=\pu{6{,}19 mmHg}2,064×3=6 ,19mmHg
  • Intervalle de confiance : [120−6,19 ; 120+6,19]=[113 ,81 mmHg ; 126 ,19 mmHg][120-6{,}19\ ;\ 120+6{,}19]=[\pu{113{,}81 mmHg}\ ;\ \pu{126{,}19 mmHg}][120−6,19 ; 120+6,19]=[113 ,81mmHg ; 126 ,19mmHg]

La procédure fournit donc un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne populationnelle compris entre 113 ,81 mmHg\pu{113{,}81 mmHg}113 ,81mmHg et 126 ,19 mmHg\pu{126{,}19 mmHg}126 ,19mmHg. Le quantile de Student est utilisé car σ\sigmaσ est inconnu et remplacé par sss.

Méthode

Construire un intervalle de confiance d’une moyenne

  1. Vérifier l’indépendance des observations et identifier l’effectif nnn
  2. Calculer la moyenne observée xˉ\bar{x}xˉ
  3. Déterminer si l’écart-type populationnel σ\sigmaσ est connu
  4. Vérifier la normalité de la variable ou la validité de l’approximation asymptotique
  5. Choisir le quantile normal ou le quantile de Student correspondant à 1−α/21-\alpha/21−α/2
  6. Calculer l’erreur standard puis ajouter et retrancher la marge d’erreur
À retenir

Choix entre loi normale et loi de Student

Pour une population normale, σ\sigmaσ connu conduit au quantile normal ; σ\sigmaσ inconnu et remplacé par sss conduit au quantile de Student à n−1n-1n−1 degrés de liberté.

Intervalle de confiance d’une proportion

Une variable binaire possède deux modalités. La proportion populationnelle inconnue est notée ppp et sa fréquence observée dans un échantillon de taille nnn est notée p^\hat{p}p^​.

Lorsque l’effectif est suffisant, la distribution de p^\hat{p}p^​ est approximativement normale. Sa variance estimée vaut p^(1−p^)/n\hat{p}(1-\hat{p})/np^​(1−p^​)/n.

Formule

Intervalle de confiance approché d’une proportion

[p^−z1−α/2p^(1−p^)n ; p^+z1−α/2p^(1−p^)n]\left[ \hat{p}-z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \ ;\ \hat{p}+z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right][p^​−z1−α/2​np^​(1−p^​)​​ ; p^​+z1−α/2​np^​(1−p^​)​​]
  • p^\hat{p}p^​ : proportion observée dans l’échantillon
  • ppp : proportion inconnue dans la population
  • nnn : effectif de l’échantillon
  • z1−α/2z_{1-\alpha/2}z1−α/2​ : quantile d’ordre 1−α/21-\alpha/21−α/2 de la loi normale centrée réduite
  • α\alphaα : risque de non-couverture

Les conditions essentielles sont :

  • des observations indépendantes ;
  • une variable binaire de même probabilité ppp pour chaque observation ;
  • un échantillonnage compatible avec la population ciblée ;
  • des effectifs attendus dans les deux modalités suffisamment grands.

Une règle conventionnelle fréquente demande que np^n\hat{p}np^​ et n(1−p^)n(1-\hat{p})n(1−p^​) soient chacun au moins égaux à 555 ; certaines conventions retiennent un seuil plus exigeant. Lorsque la proportion est proche d’une borne ou que l’effectif est faible, l’approximation symétrique peut être médiocre et produire des bornes incompatibles avec l’intervalle naturel [0;1][0;1][0;1].

Exemple

Calculer un intervalle de confiance approché d’une proportion

Dans un échantillon de 200200200 personnes, 323232 présentent la modalité étudiée.

La proportion observée est :

p^=32200=0,16\hat{p}=\frac{32}{200}=0{,}16p^​=20032​=0,16

Les effectifs attendus sont np^=200×0,16=32n\hat{p}=200\times 0{,}16=32np^​=200×0,16=32 et n(1−p^)=200×0,84=168n(1-\hat{p})=200\times 0{,}84=168n(1−p^​)=200×0,84=168. Ils sont tous deux supérieurs à 555, ce qui permet d’utiliser l’approximation normale.

Pour un niveau de confiance de 95 %, z0,975=1,96z_{0{,}975}=1{,}96z0,975​=1,96.

  • Erreur standard : 0,16×0,84200=0,0259\sqrt{\frac{0{,}16\times 0{,}84}{200}}=0{,}02592000,16×0,84​​=0,0259
  • Marge d’erreur : 1,96×0,0259=0,05081{,}96\times 0{,}0259=0{,}05081,96×0,0259=0,0508
  • Intervalle de confiance : [0,16−0,0508 ; 0,16+0,0508]=[0,109 ; 0,211][0{,}16-0{,}0508\ ;\ 0{,}16+0{,}0508]=[0{,}109\ ;\ 0{,}211][0,16−0,0508 ; 0,16+0,0508]=[0,109 ; 0,211]

La proportion populationnelle est ainsi estimée par la procédure à 95 % entre 10,910{,}910,9 % et 21,121{,}121,1 %. Les deux bornes restent dans l’intervalle naturel de 000 à 111.

Attention

Une proportion reste comprise entre 0 et 1

Il ne faut pas conserver mécaniquement une borne négative ou supérieure à 111. Une telle borne signale surtout que l’approximation normale symétrique est inadaptée ; la simple troncature ne restaure pas sa propriété de couverture.

Intervalle de confiance et intervalle de pari

Définition

Intervalle de pari

Intervalle défini avant l’observation pour contenir, avec une probabilité 1−α1-\alpha1−α, une variable aléatoire ou une statistique future sous un modèle et une valeur du paramètre supposés connus.

L’intervalle de pari répond à la question : quelles valeurs une statistique aléatoire peut-elle prendre avec une probabilité fixée si le paramètre est donné ? L’intervalle de confiance inverse le raisonnement : quelles valeurs du paramètre restent compatibles avec la statistique observée ?

Pour une moyenne d’échantillon, un intervalle de pari est centré sur la moyenne populationnelle supposée μ\muμ et vise la future moyenne aléatoire Xˉ\bar{X}Xˉ. Pour une proportion, il est centré sur la proportion supposée ppp et vise la future fréquence aléatoire P^\hat{P}P^.

Comparaison

Intervalle de confiance et intervalle de pari

CritèreIntervalle de confianceIntervalle de pari
Objet contenuparamètre fixe inconnustatistique ou observation aléatoire
Moment de constructionaprès observation de l’échantillonavant observation de la réalisation visée
Centreestimation observéevaleur paramétrique supposée
Éléments aléatoiresbornes de l’intervallevaleur future à couvrir
Interprétationcouverture répétée du paramètreprobabilité d’une réalisation future

La distinction porte donc sur la nature de ce qui est aléatoire. Dans l’intervalle de confiance, les bornes varient entre les échantillons. Dans l’intervalle de pari, les bornes sont fixées sous le modèle choisi, tandis que la future réalisation varie.

Facteurs contrôlant la précision

La marge d’erreur est la demi-largeur de l’intervalle. Elle augmente avec le quantile choisi et avec la variabilité, mais diminue lorsque l’effectif augmente.

Un niveau de confiance plus élevé exige de couvrir davantage de réalisations possibles : le quantile est alors plus grand et l’intervalle plus large. Il existe donc un compromis entre confiance et précision à effectif fixé.

La validité mathématique de la formule ne garantit pas la pertinence scientifique de l’inférence. Un grand échantillon biaisé peut produire un intervalle étroit autour d’une valeur non représentative : augmenter nnn réduit l’erreur aléatoire, mais ne corrige pas un biais de sélection ou de mesure.

À retenir

Un intervalle étroit traduit une faible incertitude d’échantillonnage sous le modèle retenu ; il ne démontre ni la représentativité de l’échantillon ni l’absence de biais.

Points clés
  • Un intervalle de confiance est une procédure dont le taux de couverture répété vaut 1−α1-\alpha1−α
  • Pour une moyenne normale, le quantile est normal si σ\sigmaσ est connu et suit une loi de Student si σ\sigmaσ est estimé
  • L’intervalle approché d’une proportion exige des effectifs suffisants dans les deux modalités
  • Après calcul, le paramètre est fixe : il n’a pas une probabilité 1−α1-\alpha1−α d’être dans l’intervalle observé
  • L’intervalle de confiance vise un paramètre inconnu, tandis que l’intervalle de pari vise une réalisation aléatoire future
  • Augmenter le niveau de confiance élargit l’intervalle, alors qu’augmenter l’effectif le rétrécit

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Échantillonnage et estimation.

  • Fiche 01Population, échantillon et représentativitéÉchantillonnage et estimation
  • Fiche 02Fluctuations d'échantillonnageÉchantillonnage et estimation
  • Fiche 03Estimation ponctuelle d'une moyenne, d'une proportion et d'une varianceÉchantillonnage et estimation
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