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Sommaire

  • 1Grandeur physique, valeur numérique et unité
  • 2Le Système international d’unités
  • 3Grandeurs et unités dérivées
  • 4Préfixes décimaux
  • 5Équation aux dimensions lock — section verrouillée
  • 6Conversion d’une grandeur dérivée lock — section verrouillée
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B7 · États de la matière et solutions

Grandeurs, unités et analyse dimensionnelle

Présenter les grandeurs de base du Système international, leurs unités et les préfixes décimaux. Utiliser l'équation aux dimensions pour contrôler une formule et convertir une grandeur dérivée.

Biophysique·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Grandeur physique, valeur numérique et unité

Définition

Grandeur physique

Propriété mesurable d’un objet, d’un phénomène ou d’un système, exprimée par le produit d’une valeur numérique et d’une unité.

Toute mesure d’une grandeur QQQ s’écrit sous la forme Q=x uQ = x\,uQ=xu, où xxx est sa valeur numérique et uuu l’unité choisie. La valeur numérique dépend donc de l’unité, tandis que la grandeur physique reste inchangée.

Définition

Unité de mesure

Grandeur particulière, adoptée par convention comme référence, à laquelle une grandeur de même nature est comparée.

Deux grandeurs ne peuvent être comparées, additionnées ou soustraites que si elles sont de même nature. En revanche, leur multiplication ou leur division produit une grandeur dérivée.

Définition

Dimension physique

Expression de la nature d’une grandeur en fonction des grandeurs fondamentales, indépendamment de l’unité utilisée pour la mesurer.

La dimension renseigne sur la structure physique d’une grandeur. L’unité précise comment cette grandeur est quantifiée dans un système donné. Une longueur conserve donc la même dimension quelle que soit l’unité dans laquelle elle est exprimée.

Comparaison

Dimension et unité

CritèreDimensionUnité
Rôlecaractérise la nature physiquefixe une référence de mesure
Dépend du système d’unitésnonoui
Notation[Q][Q][Q]symbole de l’unité
Utilité principalecontrôle des relations physiquesexpression quantitative d’une mesure

Le Système international d’unités

Le Système international, noté SI, repose sur sept grandeurs de base. Les autres grandeurs sont obtenues par combinaison algébrique de celles-ci.

  • La longueur a pour dimension LLL et pour unité le mètre, symbole m\mathrm{m}m.
  • La masse a pour dimension MMM et pour unité le kilogramme, symbole kg\mathrm{kg}kg.
  • Le temps a pour dimension TTT et pour unité la seconde, symbole s\mathrm{s}s.
  • L’intensité du courant électrique a pour dimension III et pour unité l’ampère, symbole A\mathrm{A}A.
  • La température thermodynamique a pour dimension Θ\ThetaΘ et pour unité le kelvin, symbole K\mathrm{K}K.
  • La quantité de matière a pour dimension NNN et pour unité la mole, symbole mol\mathrm{mol}mol.
  • L’intensité lumineuse a pour dimension JJJ et pour unité la candela, symbole cd\mathrm{cd}cd.

Les symboles d’unités sont invariables et ne prennent pas de point final, sauf lorsqu’ils terminent une phrase. Leur casse doit être respectée, car une majuscule et une minuscule peuvent désigner des unités ou des préfixes différents.

Attention

Masse et poids

La masse est une grandeur de base exprimée en kilogrammes. Le poids est une force et s’exprime en newtons. Ces deux termes ne sont pas interchangeables.

Le kelvin mesure la température thermodynamique. Le degré Celsius, symbole ∘C\mathrm{^{\circ}C}∘C, est admis avec le SI, mais son origine est décalée par rapport à celle du kelvin. Une variation de température possède toutefois la même valeur numérique en kelvins et en degrés Celsius.

Grandeurs et unités dérivées

Définition

Grandeur dérivée

Grandeur définie par une relation algébrique faisant intervenir une ou plusieurs grandeurs de base.

Une unité SI est dite cohérente lorsqu’elle est obtenue à partir des unités de base sans facteur numérique supplémentaire. Certaines unités dérivées possèdent un nom spécial, mais elles peuvent toujours être ramenées aux unités de base.

Comparaison

Grandeurs dérivées usuelles

GrandeurRelation dimensionnelleUnité SIExpression en unités de base
VitesseLT−1LT^{-1}LT−1mètre par secondem s−1\mathrm{m\,s^{-1}}ms−1
AccélérationLT−2LT^{-2}LT−2mètre par seconde carréem s−2\mathrm{m\,s^{-2}}ms−2
ForceMLT−2MLT^{-2}MLT−2newton, N\mathrm{N}Nkg m s−2\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}kgms−2
PressionML−1T−2ML^{-1}T^{-2}ML−1T−2pascal, Pa\mathrm{Pa}Pakg m−1 s−2\mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-2}}kgm−1s−2
ÉnergieML2T−2ML^{2}T^{-2}ML2T−2joule, J\mathrm{J}Jkg m2 s−2\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}kgm2s−2
PuissanceML2T−3ML^{2}T^{-3}ML2T−3watt, W\mathrm{W}Wkg m2 s−3\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-3}}kgm2s−3

La concentration en quantité de matière possède l’unité cohérente mol m−3\mathrm{mol\,m^{-3}}molm−3. Les concentrations, pressions et volumes employés dans les autres fiches du sous-bloc devront donc être convertis vers des unités compatibles avant toute utilisation dans une relation physique.

Une grandeur peut aussi être sans dimension lorsque toutes les dimensions fondamentales s’annulent. Sa dimension vaut alors 111. Cela ne signifie pas nécessairement qu’elle est dépourvue de signification physique.

Préfixes décimaux

Un préfixe placé devant une unité représente une puissance de dix. Il permet d’adapter l’ordre de grandeur de la valeur numérique sans modifier la grandeur physique.

Comparaison

Multiples décimaux

FacteurPréfixeSymbole
10110^{1}101década\mathrm{da}da
10210^{2}102hectoh\mathrm{h}h
10310^{3}103kilok\mathrm{k}k
10610^{6}106mégaM\mathrm{M}M
10910^{9}109gigaG\mathrm{G}G
101210^{12}1012téraT\mathrm{T}T
Comparaison

Sous-multiples décimaux

FacteurPréfixeSymbole
10−110^{-1}10−1décid\mathrm{d}d
10−210^{-2}10−2centic\mathrm{c}c
10−310^{-3}10−3millim\mathrm{m}m
10−610^{-6}10−6microμ\mathrm{\mu}μ
10−910^{-9}10−9nanon\mathrm{n}n
10−1210^{-12}10−12picop\mathrm{p}p

Le symbole du préfixe est accolé à celui de l’unité. L’ensemble constitue un nouveau symbole d’unité et doit être traité comme un tout lors d’une élévation à une puissance.

Formule

Préfixe et puissance d’une unité

(10pu)n=10pnun\left(10^{p}u\right)^{n}=10^{pn}u^{n}(10pu)n=10pnun
  • ppp : exposant décimal associé au préfixe
  • uuu : unité non préfixée
  • nnn : puissance à laquelle l’unité est élevée

Ainsi, lorsqu’une unité de longueur est élevée au carré ou au cube, le facteur décimal doit lui aussi être élevé au carré ou au cube. Dans une unité quotient, les facteurs situés au dénominateur sont inversés.

Exemple

Convertir une surface en tenant compte du carré

Conversion d’une surface de 1 cm21\,\mathrm{cm^2}1cm2 en mètres carrés.

La longueur associée vérifie :

1 cm=10−2 m1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}1cm=10−2m

L’unité entière est au carré :

1 cm2=(10−2 m)2=10−4 m21\,\mathrm{cm^2}=\left(10^{-2}\,\mathrm{m}\right)^2=10^{-4}\,\mathrm{m^2}1cm2=(10−2m)2=10−4m2

Ainsi, une surface de 1 cm21\,\mathrm{cm^2}1cm2 vaut 10−4 m210^{-4}\,\mathrm{m^2}10−4m2. Le facteur n’est pas 10−210^{-2}10−2, car le préfixe centi est lui aussi élevé au carré.

Attention

Particularité du kilogramme

Le kilogramme est la seule unité de base dont le nom contient déjà un préfixe. Pour former ses multiples et sous-multiples, les préfixes sont appliqués au gramme, et non ajoutés devant kilogramme.

Équation aux dimensions

Formule

Forme générale d’une équation aux dimensions

[Q]=MαLβTγIδΘεNζJη[Q]=M^{\alpha}L^{\beta}T^{\gamma}I^{\delta}\Theta^{\varepsilon}N^{\zeta}J^{\eta}[Q]=MαLβTγIδΘεNζJη
  • [Q][Q][Q] : dimension de la grandeur QQQ
  • MMM, LLL, TTT, III, Θ\ThetaΘ, NNN et JJJ : dimensions fondamentales du SI
  • α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ, δ\deltaδ, ε\varepsilonε, ζ\zetaζ et η\etaη : exposants dimensionnels

Les dimensions se manipulent comme des puissances algébriques. Lors d’un produit, les exposants s’additionnent. Lors d’un quotient, les exposants se soustraient. Lorsqu’une grandeur est élevée à une puissance, tous ses exposants dimensionnels sont multipliés par cette puissance.

Une équation physique doit être homogène :

  • les deux membres de l’égalité doivent avoir la même dimension ;
  • tous les termes reliés par une addition ou une soustraction doivent avoir la même dimension ;
  • l’argument d’une fonction exponentielle, logarithmique ou trigonométrique doit être sans dimension.
Méthode

Contrôler une formule par analyse dimensionnelle

  1. Remplacer chaque grandeur par sa dimension.
  2. Décomposer toutes les grandeurs dérivées en dimensions fondamentales.
  3. Appliquer les règles algébriques aux produits, quotients et puissances.
  4. Vérifier que tous les termes additionnés ou soustraits ont la même dimension.
  5. Comparer la dimension du membre de gauche à celle du membre de droite.
  6. Rejeter la formule si les dimensions ne coïncident pas.
Exemple

Contrôler l’homogénéité d’une relation de mouvement

Vérification dimensionnelle de la relation de mouvement :

d=v0t+12at2d=v_0t+\frac{1}{2}at^2d=v0​t+21​at2
  • La distance a pour dimension [d]=L[d]=L[d]=L.
  • Le premier terme a pour dimension [v0t]=LT−1×T=L[v_0t]=LT^{-1}\times T=L[v0​t]=LT−1×T=L.
  • Le second terme a pour dimension [at2]=LT−2×T2=L[at^2]=LT^{-2}\times T^2=L[at2]=LT−2×T2=L.

Les deux termes additionnés ont la dimension LLL, identique à celle de ddd. La relation est donc homogène sur le plan dimensionnel. Ce contrôle ne permet toutefois pas de démontrer que le facteur 12\frac{1}{2}21​ est physiquement correct.

À retenir

Portée du contrôle dimensionnel

Une formule non homogène est nécessairement fausse. Une formule homogène n’est pas nécessairement juste, car l’analyse dimensionnelle ne contrôle ni les facteurs numériques sans dimension, ni le signe, ni la forme exacte de la dépendance.

Conversion d’une grandeur dérivée

Lors d’un changement d’unité, la grandeur reste identique. Seuls changent l’unité et la valeur numérique qui lui est associée.

Formule

Invariance de la grandeur lors d’une conversion

Q=xaua=xbubQ=x_{a}u_{a}=x_{b}u_{b}Q=xa​ua​=xb​ub​
  • QQQ : grandeur physique conservée
  • xax_{a}xa​ et xbx_{b}xb​ : valeurs numériques dans les deux systèmes d’unités
  • uau_{a}ua​ et ubu_{b}ub​ : unités de même dimension

La valeur numérique varie en sens inverse de la taille de l’unité : plus l’unité choisie est petite, plus le nombre qui exprime la grandeur est grand.

Méthode

Convertir une unité dérivée

  1. Écrire l’unité dérivée comme un produit de puissances d’unités simples.
  2. Remplacer chaque unité préfixée par la puissance de dix correspondante et l’unité non préfixée.
  3. Élever chaque facteur décimal à la puissance portée par son unité.
  4. Inverser les facteurs provenant des unités placées au dénominateur.
  5. Regrouper toutes les puissances de dix.
  6. Ajuster la valeur numérique afin que le produit de cette valeur par l’unité reste inchangé.
  7. Vérifier que l’unité initiale et l’unité finale possèdent la même dimension.
À retenir

Une conversion correcte conserve toujours la dimension et la grandeur physique. Pour une unité composée, chaque préfixe doit être traité avec l’exposant de l’unité à laquelle il est attaché.

Exemple

Convertir une vitesse en unité SI

Conversion d’une vitesse de 72 km h−172\,\mathrm{km\,h^{-1}}72kmh−1 en mètres par seconde.

Les facteurs de conversion sont :

1 km=103 met1 h=3 600 s1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm{m} \qquad\text{et}\qquad 1\,\mathrm{h}=3\,600\,\mathrm{s}1km=103met1h=3600s

La vitesse devient :

72 km h−1=72×1033 600 m s−1=20 m s−172\,\mathrm{km\,h^{-1}} =72\times\frac{10^3}{3\,600}\,\mathrm{m\,s^{-1}} =20\,\mathrm{m\,s^{-1}}72kmh−1=72×3600103​ms−1=20ms−1

Une vitesse de 72 km h−172\,\mathrm{km\,h^{-1}}72kmh−1 correspond donc à 20 m s−120\,\mathrm{m\,s^{-1}}20ms−1. Le facteur associé à l’heure est placé au dénominateur et doit donc être inversé.

Points clés
  • Toute grandeur s’écrit comme le produit d’une valeur numérique et d’une unité.
  • Le SI repose sur sept grandeurs de base : longueur, masse, temps, courant électrique, température, quantité de matière et intensité lumineuse.
  • Une grandeur dérivée se décompose en puissances des dimensions fondamentales.
  • Les préfixes décimaux représentent des puissances de dix et subissent les puissances portées par les unités.
  • Une équation physique doit être dimensionnellement homogène.
  • L’homogénéité est une condition nécessaire, mais non suffisante, de validité d’une formule.

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