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Sommaire

  • 1Cadre de l'optique géométrique
  • 2Lentille mince et éléments caractéristiques
    • 2.1Foyers principaux
    • 2.2Lentilles convergentes et divergentes
  • 3Vergence d'une lentille
  • 4Objet, image et distances algébriques
  • 5Relation de conjugaison lock — section verrouillée
  • 6Grandissement transversal lock — section verrouillée
  • 7Construction géométrique de l'image lock — section verrouillée
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  5. Optique géométrique et lentilles

B7 · Optique

Optique géométrique et lentilles

Décrire la formation d'une image par une lentille mince convergente ou divergente. Utiliser la relation de conjugaison et la vergence pour construire et caractériser une image.

Biophysique·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Cadre de l'optique géométrique

L'optique géométrique modélise la propagation de la lumière par des rayons lumineux, c'est-à-dire des lignes orientées indiquant la direction de propagation de l'énergie lumineuse. Cette approximation est valable lorsque les dimensions des obstacles et des instruments sont grandes devant la longueur d'onde.

La réflexion et la réfraction, étudiées dans la fiche précédente, expliquent la déviation des rayons aux interfaces et donc l'action d'une lentille.

Définition

Rayon paraxial

Rayon lumineux proche de l'axe optique et faiblement incliné par rapport à celui-ci. L'étude des lentilles minces repose sur cette approximation, également appelée approximation de Gauss.

Dans ces conditions, les rayons issus d'un même point objet convergent, ou semblent converger, vers un même point image. On peut alors établir une relation simple entre la position de l'objet, la position de l'image et les propriétés de la lentille.

Lentille mince et éléments caractéristiques

Définition

Lentille mince

Milieu transparent limité par deux surfaces réfractantes, dont l'épaisseur est considérée comme négligeable devant les distances de l'objet et de l'image à la lentille.

Une lentille mince est représentée par un plan perpendiculaire à un axe optique principal. Cet axe est l'axe de symétrie du système. Il est orienté conventionnellement dans le sens de propagation de la lumière, généralement de gauche à droite.

Le point où l'axe traverse la lentille est le centre optique OOO. Dans l'approximation de la lentille mince, un rayon passant par OOO n'est pas dévié.

Foyers principaux

Définition

Foyer principal image F′F'F′

Point de l'axe optique où convergent les rayons incidents parallèles à l'axe, ou d'où ils semblent diverger après traversée de la lentille.

Définition

Foyer principal objet FFF

Point de l'axe optique tel que les rayons qui en proviennent, ou qui se dirigent vers lui, ressortent parallèles à l'axe optique.

La distance focale image est la distance algébrique OF′‾\overline{OF'}OF′, notée f′f'f′. Lorsque la lentille est placée dans un même milieu de part et d'autre, les foyers sont symétriques par rapport à OOO :

OF‾=−OF′‾\overline{OF}=-\overline{OF'}OF=−OF′

Les plans perpendiculaires à l'axe et passant respectivement par FFF et F′F'F′ sont les plans focaux objet et image. Un objet situé dans le plan focal objet donne une image à l'infini.

Lentilles convergentes et divergentes

Comparaison

Lentilles convergentes et divergentes

CritèreLentille convergenteLentille divergente
Action sur des rayons parallèlesles fait converger réellementles fait diverger
Position de F′F'F′après la lentilleavant la lentille
Distance focale image f′f'f′positivenégative
Vergence CCCpositivenégative

Pour une lentille divergente, les rayons émergents ne traversent pas réellement F′F'F′. Ce sont leurs prolongements en sens inverse qui se rencontrent en ce point.

Vergence d'une lentille

Définition

Vergence CCC

Grandeur qui mesure la capacité d'une lentille à faire converger ou diverger les rayons lumineux. Elle est égale à l'inverse de la distance focale image exprimée en mètres.

Formule

Vergence d'une lentille mince

C=1f′C=\frac{1}{f'}C=f′1​
  • CCC : vergence de la lentille, en dioptries, de symbole δ\mathrm{\delta}δ, équivalentes à m−1\mathrm{m^{-1}}m−1
  • f′f'f′ : distance focale image OF′‾\overline{OF'}OF′, en mètres

Une distance focale de faible valeur absolue correspond à une forte vergence : la lentille modifie alors fortement la direction des rayons. Inversement, une grande distance focale en valeur absolue traduit une faible puissance optique.

Pour des lentilles minces accolées et placées dans un même milieu, la vergence équivalente est la somme des vergences :

Ceq=C1+C2+⋯C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2+\cdotsCeq​=C1​+C2​+⋯

où CeqC_{\mathrm{eq}}Ceq​ est la vergence équivalente et C1C_1C1​, C2C_2C2​ les vergences des lentilles associées.

À retenir

Le signe de la vergence caractérise l'effet optique : C>0C>0C>0 pour une lentille convergente et C<0C < 0C<0 pour une lentille divergente.

Objet, image et distances algébriques

On considère un objet transversal ABABAB, avec AAA situé sur l'axe optique et BBB hors de l'axe. Son image est notée A′B′A'B'A′B′.

Définition

Image réelle

Image formée par l'intersection effective des rayons émergents. Elle peut être recueillie sur un écran et se situe généralement après la lentille.

Définition

Image virtuelle

Image formée par l'intersection des prolongements des rayons émergents. Elle ne peut pas être recueillie directement sur un écran.

Les positions sont repérées par des distances algébriques mesurées depuis OOO :

  • une distance orientée dans le sens positif de l'axe est positive ;
  • une distance orientée dans le sens opposé est négative ;
  • pour un objet réel placé avant la lentille, OA‾<0\overline{OA}<0OA<0 ;
  • pour une image réelle placée après la lentille, OA′‾>0\overline{OA'}>0OA′>0 ;
  • pour une image virtuelle placée avant la lentille, OA′‾<0\overline{OA'}<0OA′<0.
Attention

Distances algébriques et distances géométriques

La relation de conjugaison utilise des distances algébriques, et non leurs valeurs absolues. Supprimer les signes conduit à confondre notamment image réelle et image virtuelle.

Relation de conjugaison

La relation de conjugaison relie la position de l'objet à celle de son image. Elle est valable pour une lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss.

Formule

Relation de conjugaison de Descartes

1OA′‾−1OA‾=1OF′‾=1f′=C\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} = \frac{1}{f'} = COA′1​−OA1​=OF′1​=f′1​=C
  • OOO : centre optique de la lentille
  • AAA : point objet situé sur l'axe
  • A′A'A′ : point image situé sur l'axe
  • F′F'F′ : foyer principal image
  • OA‾\overline{OA}OA : position algébrique de l'objet, en mètres
  • OA′‾\overline{OA'}OA′ : position algébrique de l'image, en mètres
  • f′=OF′‾f'=\overline{OF'}f′=OF′ : distance focale image, en mètres
  • CCC : vergence, en m−1\mathrm{m^{-1}}m−1

La relation peut être réorganisée pour déterminer la position de l'image :

1OA′‾=1f′+1OA‾\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'}+\frac{1}{\overline{OA}}OA′1​=f′1​+OA1​

Le signe obtenu pour OA′‾\overline{OA'}OA′ indique directement la nature de l'image. Une valeur positive correspond à une image réelle, tandis qu'une valeur négative correspond à une image virtuelle.

Exemple

Calculer la position et la nature d'une image

Une lentille convergente possède une distance focale image f′=0 ,10 mf'=\pu{0{,}10 m}f′=0 ,10m. Un objet réel est placé à OA‾=−0 ,30 m\overline{OA}=\pu{-0{,}30 m}OA=−0 ,30m.

La relation de conjugaison donne :

1OA′‾=10,10+1−0,30=10−3,33=6 ,67 m−1\frac{1}{\overline{OA'}}=\frac{1}{0{,}10}+\frac{1}{-0{,}30}=10-3{,}33=\pu{6{,}67 m^{-1}}OA′1​=0,101​+−0,301​=10−3,33=6 ,67m−1

Donc :

OA′‾=16,67=0 ,150 m\overline{OA'}=\frac{1}{6{,}67}=\pu{0{,}150 m}OA′=6,671​=0 ,150m

La position obtenue est positive. L'image est donc réelle et se forme à 15 ,0 cm\pu{15{,}0 cm}15 ,0cm après la lentille.

Méthode

Déterminer une image par le calcul

  1. Orienter l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière
  2. Attribuer leur signe à OA‾\overline{OA}OA et à f′f'f′ selon les conventions
  3. Appliquer la relation de conjugaison pour calculer OA′‾\overline{OA'}OA′
  4. Déduire du signe de OA′‾\overline{OA'}OA′ le caractère réel ou virtuel de l'image
  5. Calculer le grandissement pour déterminer son orientation et sa taille

Grandissement transversal

Définition

Grandissement transversal γ\gammaγ

Rapport algébrique de la taille de l'image à celle de l'objet. Il renseigne à la fois sur l'orientation et sur la taille relative de l'image.

Formule

Grandissement d'une lentille mince

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}γ=ABA′B′​=OAOA′​
  • γ\gammaγ : grandissement transversal, sans unité
  • AB‾\overline{AB}AB : taille algébrique de l'objet
  • A′B′‾\overline{A'B'}A′B′ : taille algébrique de l'image
  • OA‾\overline{OA}OA : position algébrique de l'objet
  • OA′‾\overline{OA'}OA′ : position algébrique de l'image

L'interprétation combine signe et valeur absolue :

Exemple

Interpréter le signe et la valeur du grandissement

Un objet de taille algébrique AB‾=2 ,0 cm\overline{AB}=\pu{2{,}0 cm}AB=2 ,0cm est placé à OA‾=−0 ,30 m\overline{OA}=\pu{-0{,}30 m}OA=−0 ,30m. Son image est située à OA′‾=0 ,60 m\overline{OA'}=\pu{0{,}60 m}OA′=0 ,60m.

Le grandissement vaut :

γ=OA′‾OA‾=0,60−0,30=−2\gamma=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{0{,}60}{-0{,}30}=-2γ=OAOA′​=−0,300,60​=−2

La taille algébrique de l'image est alors :

A′B′‾=γ×AB‾=−2×2 ,0 cm=−4 ,0 cm\overline{A'B'}=\gamma\times\overline{AB}=-2\times\pu{2{,}0 cm}=\pu{-4{,}0 cm}A′B′=γ×AB=−2×2 ,0cm=−4 ,0cm

Le signe négatif de γ\gammaγ indique une image renversée. Sa valeur absolue, égale à 222, indique que l'image est agrandie d'un facteur deux.

  • γ>0\gamma>0γ>0 : image droite, de même orientation que l'objet ;
  • γ<0\gamma<0γ<0 : image renversée ;
  • ∣γ∣>1|\gamma|>1∣γ∣>1 : image agrandie ;
  • ∣γ∣=1|\gamma|=1∣γ∣=1 : image de même taille ;
  • ∣γ∣<1|\gamma|<1∣γ∣<1 : image réduite.
Attention

Nature et orientation de l'image

Les termes réelle ou virtuelle décrivent le mode de formation de l'image. Les termes droite ou renversée décrivent son orientation. Ces deux classifications ne sont pas interchangeables.

Construction géométrique de l'image

La position de B′B'B′ est obtenue par l'intersection de deux rayons remarquables issus de BBB. Le point A′A'A′ est ensuite la projection de B′B'B′ sur l'axe optique.

Trois rayons peuvent être utilisés :

  1. un rayon passant par OOO n'est pas dévié ;
  2. un rayon incident parallèle à l'axe ressort en passant par F′F'F′, ou semble provenir de F′F'F′ ;
  3. un rayon passant par FFF, ou dirigé vers FFF, ressort parallèle à l'axe.
Méthode

Construire graphiquement une image

  1. Tracer l'axe optique, la lentille, le centre OOO et les foyers FFF et F′F'F′
  2. Placer l'objet transversal ABABAB, avec AAA sur l'axe
  3. Tracer depuis BBB au moins deux rayons remarquables
  4. Repérer l'intersection des rayons émergents, ou celle de leurs prolongements, pour obtenir B′B'B′
  5. Projeter B′B'B′ perpendiculairement sur l'axe afin d'obtenir A′A'A′
  6. Lire la nature, l'orientation et la taille relative de l'image

Pour une lentille convergente et un objet réel, une image située après la lentille est réelle et renversée. Si l'objet se trouve entre OOO et FFF, l'image devient virtuelle, droite et agrandie. Lorsque l'objet est dans le plan focal objet, les rayons émergents sont parallèles et l'image est rejetée à l'infini.

Pour une lentille divergente recevant les rayons d'un objet réel, l'image est virtuelle, droite et réduite. Elle se trouve du même côté de la lentille que l'objet, entre OOO et F′F'F′.

À retenir

Une construction graphique et la relation de conjugaison décrivent le même phénomène. La construction localise l'intersection des rayons, tandis que le calcul fournit sa position algébrique.

Points clés
  • Une lentille mince est caractérisée par son centre optique OOO, ses foyers FFF et F′F'F′, et sa distance focale image f′f'f′
  • La vergence vérifie C=1/f′C=1/f'C=1/f′ : elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente
  • La relation de conjugaison est 1OA′‾−1OA‾=1f′\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}OA′1​−OA1​=f′1​
  • Le signe de OA′‾\overline{OA'}OA′ distingue une image réelle d'une image virtuelle
  • Le grandissement γ=OA′‾/OA‾\gamma=\overline{OA'}/\overline{OA}γ=OA′/OA indique l'orientation et la taille relative de l'image
  • Deux rayons remarquables suffisent pour construire géométriquement l'image d'un point

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