B10 · Tests d'hypothèses

Comparaison d'une moyenne à une valeur de référence

Choisir entre statistique z et t de Student selon la taille de l'échantillon et la connaissance de la variance. Vérifier les conditions d'application, calculer les degrés de liberté et conclure.

Biostatistiques et méthodes d'analyse6 min de lecture15 QCM corrigés

Cadre du problème

On étudie une variable quantitative dans une population et l'on souhaite déterminer si sa moyenne populationnelle $\mu$ est compatible avec une valeur de référence fixée à l'avance, notée $\mu_0$ .

Les données sont constituées de $n$ observations $X_1,\ldots,X_n$ . Elles servent à calculer une moyenne observée $\bar X$ et, lorsque la variance de la population est inconnue, une variance d'échantillon $S^2$ .

La fluctuation de $\bar X$ autour de $\mu$ dépend de l'écart-type de la population et de la taille de l'échantillon. Plus $n$ augmente, plus la moyenne observée devient précise.

Formulation des hypothèses

L'hypothèse nulle traduit l'absence d'écart entre la moyenne populationnelle et la référence :

H_0:\mu=\mu_0

L'hypothèse alternative dépend de la question posée :

test bilatéral : $H_1:\mu\neq\mu_0$ ;
test unilatéral supérieur : $H_1:\mu>\mu_0$ ;
test unilatéral inférieur : $H_1:\mu<\mu_0$ .

Le choix entre une hypothèse bilatérale et unilatérale doit être effectué avant l'analyse des données. Les notions de risque $\alpha$ , de région de rejet et de valeur $p$ sont établies dans les deux fiches précédentes du sous-bloc.

Conditions communes aux tests d'une moyenne

Les tests paramétriques d'une moyenne reposent sur plusieurs conditions.

Nature et recueil des observations

La variable doit être quantitative. L'échantillon doit être obtenu par un mécanisme permettant de le considérer comme représentatif de la population visée.

Les observations doivent être indépendantes : connaître une observation ne doit pas renseigner sur la valeur d'une autre. Lorsque plusieurs mesures proviennent d'un même sujet, cette indépendance n'est généralement pas vérifiée. Leur traitement relève alors de la comparaison appariée, étudiée dans une fiche voisine.

Distribution de la variable

Pour un petit échantillon, l’utilisation exacte des tests z ou t suppose que la variable suit une loi normale dans la population. Cette normalité doit être plausible et ne doit pas être fortement remise en cause par une asymétrie majeure ou des valeurs extrêmes.

Pour un grand échantillon, le théorème central limite rend la distribution de $\bar X$ approximativement normale, sous réserve que les observations soient indépendantes et que la variance populationnelle soit finie. Le seuil $n\geq 30$ est une convention pédagogique fréquente, non une frontière mathématique universelle.

Valeur de référence

La valeur $\mu_0$ doit être fixe et connue. Si elle est elle-même estimée à partir d’un autre échantillon, le problème devient une comparaison de deux moyennes.

Test z lorsque la variance est connue

On note $\sigma^2$ la variance de la variable dans la population et $\sigma$ son écart-type. Lorsque $\sigma$ est réellement connu, l’erreur standard de la moyenne vaut $\sigma/\sqrt n$ .

Sous $H_0$ , si la population est normale, $Z$ suit exactement la loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$ . Pour un grand échantillon, cette loi est approximativement valable grâce au théorème central limite.

La statistique exprime l’écart $\bar X-\mu_0$ en nombre d’erreurs standards. Une grande valeur absolue de $Z$ traduit donc un écart difficilement compatible avec $H_0$ .

Test t lorsque la variance est inconnue

En pratique, $\sigma$ est souvent inconnu. On le remplace alors par l'écart-type de l'échantillon $S$ , ce qui ajoute une incertitude au dénominateur.

Sous $H_0$ , lorsque les observations indépendantes proviennent d’une population normale, $T$ suit une loi de Student à $\nu=n-1$ degrés de liberté.

Ici, les $n$ écarts $X_i-\bar X$ ne sont pas indépendants, car leur somme est nulle. Une contrainte est donc imposée et il ne reste que $n-1$ écarts libres, d'où :

\nu=n-1

La loi de Student possède des queues plus épaisses que la loi normale, car elle tient compte de l’incertitude portant sur $S$ . Quand $n$ augmente, cette incertitude diminue et la loi de Student se rapproche de la loi normale centrée réduite.

Comparaison

Test z et test t de Student

Critère	Test z	Test t
Écart-type populationnel	$\sigma$ connu	$\sigma$ inconnu, estimé par $S$
Loi sous $H_0$	normale centrée réduite	Student à $\nu=n-1$
Petit échantillon	population normale requise	population normale requise
Grand échantillon	exact si normal, sinon approximatif	Student proche de la loi normale
Degrés de liberté	aucun	$\nu=n-1$

Décision et conclusion

On note $z_q$ le quantile d’ordre $q$ de la loi normale centrée réduite et $t_{q,\nu}$ le quantile d’ordre $q$ de la loi de Student à $\nu$ degrés de liberté.

Au risque $\alpha$ :

en bilatéral, rejeter $H_0$ si $|Z|\geq z_{1-\alpha/2}$ ou si $|T|\geq t_{1-\alpha/2,\nu}$ ;
en unilatéral supérieur, rejeter $H_0$ si $Z\geq z_{1-\alpha}$ ou si $T\geq t_{1-\alpha,\nu}$ ;
en unilatéral inférieur, rejeter $H_0$ si $Z\leq -z_{1-\alpha}$ ou si $T\leq -t_{1-\alpha,\nu}$ .

La même décision peut être obtenue en comparant la valeur $p$ au risque $\alpha$ . Si la valeur $p$ est inférieure ou égale à $\alpha$ , $H_0$ est rejetée.

Exemple

Appliquer un test t à une moyenne de sodium sanguin

Dans un échantillon indépendant de $n=16$ dosages de sodium sanguin, la normalité de la variable est jugée plausible. La référence est $\pu{140 mmol/L}$ . La moyenne observée vaut $\pu{142{,}4 mmol/L}$ et l'écart-type d'échantillon vaut $\pu{4{,}0 mmol/L}$ . L'écart-type populationnel est inconnu.

Le test est bilatéral au risque de $5\%$ :

$H_0 : \mu = \pu{140 mmol/L}$ ;
$H_1 : \mu \neq \pu{140 mmol/L}$ .

Comme $\sigma$ est inconnu, la statistique de Student est utilisée. Les degrés de liberté sont $\nu = n-1 = 16-1 = 15$ .

T=\frac{142{,}4-140}{4{,}0/\sqrt{16}} =\frac{2{,}4}{1{,}0} =2{,}4

Pour $\nu=15$ degrés de liberté et un test bilatéral au risque de $5\%$ , la valeur critique est environ $t_{0{,}975,15}=2{,}131$ . Comme $|T|=2{,}4 > 2{,}131$ , $H_0$ est rejetée.

Les données mettent en évidence une moyenne de sodium sanguin statistiquement différente de $\pu{140 mmol/L}$ , et l'écart observé est dans le sens d'une moyenne supérieure.

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