B10 · Tests d'hypothèses

Comparaison de deux moyennes : échantillons indépendants et appariés

Distinguer les situations d'échantillons indépendants et de données appariées et adapter la statistique de test. Vérifier l'égalité des variances et dimensionner un échantillon pour une différence attendue.

Biostatistiques et méthodes d'analyse7 min de lecture15 QCM corrigés

Identifier la structure des données

Comparer deux moyennes consiste à étudier une différence entre deux paramètres de population, notés $\mu_1$ et $\mu_2$ . Les hypothèses sont généralement formulées sur leur différence :

hypothèse nulle : $H_0 : \mu_1-\mu_2=0$ ;
hypothèse alternative bilatérale : $H_1 : \mu_1-\mu_2\neq 0$ .

Les principes généraux des tests, les risques $\alpha$ et $\beta$ , la puissance et la valeur $p$ sont traités dans les fiches précédentes du sous-bloc.

Le choix de la statistique ne dépend pas seulement du nombre de groupes : il dépend surtout de la manière dont les observations des deux groupes sont reliées.

L'appariement peut provenir de mesures répétées sur une même unité ou de la constitution volontaire de paires comparables. Dans les deux cas, l’unité statistique pertinente devient la paire, et non chaque mesure isolée.

Comparaison

Échantillons indépendants et données appariées

Critère	Échantillons indépendants	Données appariées
Unités comparées	unités distinctes dans les deux groupes	deux mesures associées dans chaque paire
Indépendance	entre toutes les unités	entre les paires, mais pas au sein d'une paire
Variable analysée	valeurs observées dans chaque groupe	différence calculée dans chaque paire
Effectif pertinent	$n_1$ et $n_2$	nombre de paires complètes $n$
Variabilité utilisée	variances des deux groupes	variance des différences

Comparer deux moyennes indépendantes

On note $\overline X_1$ et $\overline X_2$ les moyennes observées, $S_1^2$ et $S_2^2$ les variances estimées, et $n_1$ et $n_2$ les effectifs des deux échantillons. Sous $H_0$ , la différence $\overline X_1-\overline X_2$ est centrée sur zéro.

L’analyse suppose :

l’indépendance des unités statistiques ;
une variable quantitative ;
une distribution approximativement normale dans chaque population, surtout lorsque les effectifs sont faibles ;
l’absence de valeurs extrêmes capables de dominer les moyennes et les variances.

Pour de grands effectifs, l’approximation normale de la moyenne rend le test plus robuste à une normalité imparfaite.

Variances supposées égales

Lorsque cette hypothèse est raisonnable, les deux variances observées sont combinées en une variance commune estimée, appelée variance groupée.

Formule

Test de Student pour deux échantillons indépendants homoscédastiques

S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2} \qquad t= \frac{\overline X_1-\overline X_2} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \qquad \nu=n_1+n_2-2

Exemple

Appliquer le test de Student à variance groupée

Deux groupes indépendants de $20$ patients ont une concentration moyenne d'hémoglobine de $\pu{130 g/L}$ et de $\pu{122 g/L}$ . Les variances estimées sont identiques, égales à $100$ g²/L² dans chaque groupe.

Variance groupée : $S_p^2=\frac{19\times 100+19\times 100}{38}=100$ , donc $S_p=\pu{10 g/L}$ .
Erreur standard de la différence : $\pu{10 g/L}\times\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{20}}=\pu{3{,}16 g/L}$ .
Statistique de test : $t=\frac{130-122}{3{,}16}=2{,}53$ .
Degrés de liberté : $\nu=20+20-2=38$ .

Pour un test bilatéral au risque de $5\%$ , la valeur critique est environ $2{,}02$ . Comme $2{,}53>2{,}02$ , l'hypothèse d'une différence moyenne nulle est rejetée. La différence observée est de $\pu{8 g/L}$ entre les deux groupes.

Sous $H_0$ et sous les conditions du test, $t$ suit une loi de Student à $\nu$ degrés de liberté.

Variances non supposées égales

Lorsque l’homoscédasticité n’est pas défendable, il faut employer le test de Welch. Celui-ci conserve séparément les estimations des deux variances.

Ses degrés de liberté sont approchés par la relation de Welch-Satterthwaite et peuvent ne pas être entiers. Le test de Welch reste généralement valable lorsque les variances sont égales, tandis que le test avec variance groupée peut être incorrect en cas d’hétéroscédasticité marquée, surtout si les effectifs sont déséquilibrés.

Vérifier l’égalité des variances

L’égalité des variances est une hypothèse portant sur les populations, non sur l’égalité exacte de $S_1^2$ et $S_2^2$ . Deux variances observées diffèrent presque toujours en raison des fluctuations d’échantillonnage.

La vérification repose sur plusieurs éléments :

Examiner si le protocole rend plausible une variabilité comparable dans les deux groupes.
Comparer les dispersions observées et rechercher une forte dissymétrie ou des valeurs extrêmes.
Tenir compte du rapport entre les effectifs : une inégalité de variance est plus problématique lorsque le groupe le moins nombreux est aussi le plus variable.
Si un test formel des variances est demandé, appliquer la procédure étudiée dans la fiche « Comparaison de variances ».
En cas de doute, privilégier le test de Welch plutôt que d’imposer une variance commune.

Comparer deux moyennes appariées

Pour chaque paire $i$ , on calcule une différence $D_i=X_{1i}-X_{2i}$ . La comparaison de deux moyennes appariées devient alors un test portant sur la moyenne $\mu_D$ de ces différences :

H_0:\mu_D=0.

Le choix du sens de soustraction ne modifie pas la conclusion d’un test bilatéral, mais il détermine le signe de l’effet estimé.

Les conditions portent donc sur la distribution des différences, et non séparément sur les deux séries de mesures. Les paires doivent être indépendantes les unes des autres. Une différence ne peut être calculée que pour une paire complète.

L’appariement est efficace lorsque les deux mesures d’une paire sont positivement corrélées : la variabilité individuelle commune se retranche, ce qui réduit $S_D$ et augmente la précision.

Dimensionner l’échantillon

Le calcul d’effectif doit être réalisé avant le recueil des données. Il dépend de la différence minimale attendue ou jugée pertinente, de la variabilité anticipée, du risque de première espèce $\alpha$ et de la puissance $1-\beta$ .

Deux groupes indépendants équilibrés

Sous une approximation normale, avec des groupes de même effectif et une variance commune anticipée :

L’effectif augmente lorsque la variabilité augmente, lorsque la différence recherchée diminue, ou lorsque l’on exige une puissance plus élevée et un risque $\alpha$ plus faible.

Données appariées

Exemple

Dimensionner une étude appariée

Une étude appariée doit détecter une diminution moyenne de $\pu{3 points}$ sur une échelle clinique. Les données antérieures anticipent un écart-type des différences de $\pu{5 points}$ , donc $\sigma_D^2=25$ . Le risque bilatéral est fixé à $\alpha=0{,}05$ et la puissance à $80\%$ , avec $z_{1-\alpha/2}=1{,}96$ et $z_{1-\beta}=0{,}84$ .

n\simeq\frac{25\left(1{,}96+0{,}84\right)^2}{3^2} =\frac{25\times 2{,}80^2}{9} =21{,}78

L'arrondi à l'entier supérieur conduit à $22$ paires complètes. En anticipant $10\%$ de paires incomplètes, il faut prévoir $\frac{22}{0{,}90}=24{,}44$ , soit $25$ paires au départ. L'étude doit donc inclure $25$ paires afin de disposer d'environ $22$ paires complètes analysables.

Le résultat doit être arrondi à l’entier supérieur puis majoré pour anticiper les observations manquantes. Dans une étude appariée, cette majoration concerne les paires complètes, car la perte d’une mesure peut rendre toute la paire inutilisable.

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Comparaison de deux moyennes : échantillons indépendants et appariés

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Identifier la structure des données

Comparer deux moyennes consiste à étudier une différence entre deux paramètres de population, notés $\mu_1$ et $\mu_2$ . Les hypothèses sont généralement formulées sur leur différence :

hypothèse nulle : $H_0 : \mu_1-\mu_2=0$ ;
hypothèse alternative bilatérale : $H_1 : \mu_1-\mu_2\neq 0$ .

Les principes généraux des tests, les risques $\alpha$ et $\beta$ , la puissance et la valeur $p$ sont traités dans les fiches précédentes du sous-bloc.

Le choix de la statistique ne dépend pas seulement du nombre de groupes : il dépend surtout de la manière dont les observations des deux groupes sont reliées.

Comparaison

Échantillons indépendants et données appariées

Critère	Échantillons indépendants	Données appariées
Unités comparées	unités distinctes dans les deux groupes	deux mesures associées dans chaque paire
Indépendance	entre toutes les unités	entre les paires, mais pas au sein d'une paire
Variable analysée	valeurs observées dans chaque groupe	différence calculée dans chaque paire
Effectif pertinent	$n_1$ et $n_2$	nombre de paires complètes $n$
Variabilité utilisée	variances des deux groupes	variance des différences

Comparer deux moyennes indépendantes

L’analyse suppose :

l’indépendance des unités statistiques ;
une variable quantitative ;
une distribution approximativement normale dans chaque population, surtout lorsque les effectifs sont faibles ;
l’absence de valeurs extrêmes capables de dominer les moyennes et les variances.

Pour de grands effectifs, l’approximation normale de la moyenne rend le test plus robuste à une normalité imparfaite.

Variances supposées égales

Lorsque cette hypothèse est raisonnable, les deux variances observées sont combinées en une variance commune estimée, appelée variance groupée.

Formule

Test de Student pour deux échantillons indépendants homoscédastiques

S_p^2= \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2} \qquad t= \frac{\overline X_1-\overline X_2} {S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \qquad \nu=n_1+n_2-2

Exemple

Appliquer le test de Student à variance groupée

Variance groupée : $S_p^2=\frac{19\times 100+19\times 100}{38}=100$ , donc $S_p=\pu{10 g/L}$ .
Erreur standard de la différence : $\pu{10 g/L}\times\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{20}}=\pu{3{,}16 g/L}$ .
Statistique de test : $t=\frac{130-122}{3{,}16}=2{,}53$ .
Degrés de liberté : $\nu=20+20-2=38$ .

Sous $H_0$ et sous les conditions du test, $t$ suit une loi de Student à $\nu$ degrés de liberté.

Variances non supposées égales

Lorsque l’homoscédasticité n’est pas défendable, il faut employer le test de Welch. Celui-ci conserve séparément les estimations des deux variances.

Vérifier l’égalité des variances

La vérification repose sur plusieurs éléments :

Examiner si le protocole rend plausible une variabilité comparable dans les deux groupes.
Comparer les dispersions observées et rechercher une forte dissymétrie ou des valeurs extrêmes.
Tenir compte du rapport entre les effectifs : une inégalité de variance est plus problématique lorsque le groupe le moins nombreux est aussi le plus variable.
Si un test formel des variances est demandé, appliquer la procédure étudiée dans la fiche « Comparaison de variances ».
En cas de doute, privilégier le test de Welch plutôt que d’imposer une variance commune.

Comparer deux moyennes appariées

Pour chaque paire $i$ , on calcule une différence $D_i=X_{1i}-X_{2i}$ . La comparaison de deux moyennes appariées devient alors un test portant sur la moyenne $\mu_D$ de ces différences :

H_0:\mu_D=0.

Le choix du sens de soustraction ne modifie pas la conclusion d’un test bilatéral, mais il détermine le signe de l’effet estimé.

L’appariement est efficace lorsque les deux mesures d’une paire sont positivement corrélées : la variabilité individuelle commune se retranche, ce qui réduit $S_D$ et augmente la précision.

Dimensionner l’échantillon

Deux groupes indépendants équilibrés

Sous une approximation normale, avec des groupes de même effectif et une variance commune anticipée :

L’effectif augmente lorsque la variabilité augmente, lorsque la différence recherchée diminue, ou lorsque l’on exige une puissance plus élevée et un risque $\alpha$ plus faible.

Données appariées

Exemple

Dimensionner une étude appariée

n\simeq\frac{25\left(1{,}96+0{,}84\right)^2}{3^2} =\frac{25\times 2{,}80^2}{9} =21{,}78

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