Principe d'un test statistique : hypothèses, risques et puissance

La logique d’un test d’hypothèses

Un test statistique est une règle de décision qui utilise les données d’un échantillon pour évaluer une affirmation concernant une population. Cette affirmation porte généralement sur un paramètre, c’est-à-dire une caractéristique numérique inconnue de la population, notée ici $\theta$.

Comme les données varient d’un échantillon à l’autre, la décision reste soumise à une incertitude. Le test ne démontre donc pas qu’une hypothèse est vraie ou fausse avec certitude : il organise cette incertitude en contrôlant des risques d’erreur.

Deux hypothèses concurrentes sont formulées avant l’analyse :

• l’hypothèse nulle $H_0$, qui constitue l’hypothèse soumise au test ;
• l’hypothèse alternative $H_1$, qui décrit les valeurs du paramètre incompatibles avec $H_0$.

Si $\theta_0$ désigne une valeur de référence du paramètre, une formulation usuelle est :

$$H_0 : \theta = \theta_0$$

L’hypothèse alternative dépend de la question posée. Elle peut affirmer que $\theta$ diffère de $\theta_0$, lui est supérieur ou lui est inférieur.

Idéalement, $H_0$ et $H_1$ sont incompatibles et couvrent l’ensemble des situations pertinentes : une seule des deux peut être vraie.

Formuler correctement les hypothèses

Placer l’égalité dans l’hypothèse nulle

L’égalité est généralement placée dans $H_0$ car elle fournit une situation de référence précise à partir de laquelle la variabilité d’échantillonnage peut être étudiée. Le test mesure alors à quel point les données sont compatibles avec cette situation.

Les hypothèses ne doivent pas être formulées à partir du résultat observé. Elles traduisent la question scientifique définie avant l’examen des données.

Test bilatéral

Un test bilatéral recherche un écart dans les deux directions :

$$H_0 : \theta = \theta_0 \qquad H_1 : \theta \neq \theta_0$$

Une valeur suffisamment supérieure ou suffisamment inférieure à la valeur attendue sous $H_0$ peut conduire au rejet. Le risque de première espèce est donc réparti entre les deux directions, souvent de manière égale lorsque la distribution utilisée est symétrique.

Test unilatéral

Un test unilatéral recherche uniquement un écart orienté. Deux formulations sont possibles :

$$H_0 : \theta \leq \theta_0 \qquad H_1 : \theta > \theta_0$$

ou

$$H_0 : \theta \geq \theta_0 \qquad H_1 : \theta < \theta_0$$

La direction doit découler de la question initiale. Un test unilatéral concentre le risque de première espèce dans une seule direction, ce qui augmente sa capacité à détecter un effet orienté dans cette direction. En contrepartie, un écart opposé ne permet pas de conclure en faveur de l’alternative prévue.