homecarab1.fr
Biophysiquechevron_rightRayonnements ionisantschevron_rightDécroissance radioactive, période et filiations
stylus_noteS'entraînerS'entraînerarrow_backarrow_forward

Sommaire

  • 1Caractère probabiliste de la décroissance
  • 2Période radioactive et durée de vie moyenne
  • 3Activité radioactive
  • 4Mélange de radionucléides lock — section verrouillée
  • 5Embranchements radioactifs lock — section verrouillée
  • 6Filiation radioactive père-fils lock — section verrouillée
  • 7Équilibres séculaire et transitoire lock — section verrouillée
  1. Accueilchevron_right
  2. Ficheschevron_right
  3. Biophysiquechevron_right
  4. Rayonnements ionisantschevron_right
  5. Décroissance radioactive, période et filiations

B7 · Rayonnements ionisants

Décroissance radioactive, période et filiations

Établir la loi de décroissance exponentielle, définir constante radioactive, période et activité. Traiter les mélanges, les embranchements et les filiations père-fils, dont les équilibres séculaire et transitoire.

Biophysique·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Caractère probabiliste de la décroissance

Un noyau radioactif isolé se désintègre de manière aléatoire : il est impossible de prévoir l'instant de sa désintégration. En revanche, pour un grand nombre de noyaux identiques, la diminution moyenne de la population suit une loi déterministe.

Définition

Radionucléide

Espèce nucléaire dont les noyaux sont instables et se transforment spontanément par désintégration radioactive.

Les différents modes de désintégration et les critères de stabilité nucléaire sont étudiés dans les fiches voisines ; seule leur cinétique est considérée ici.

Pendant une durée infinitésimale dt\mathrm{d}tdt, chaque noyau possède une probabilité λ dt\lambda\,\mathrm{d}tλdt de se désintégrer. Cette probabilité ne dépend ni de l'âge du noyau ni du nombre de noyaux déjà désintégrés : la radioactivité est un phénomène sans mémoire.

Définition

Constante radioactive λ\lambdaλ

Probabilité de désintégration par unité de temps d'un noyau donné. Elle est caractéristique du radionucléide et s'exprime en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1.

Si N(t)N(t)N(t) est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant ttt, le nombre moyen de désintégrations pendant dt\mathrm{d}tdt vaut λN(t)dt\lambda N(t)\mathrm{d}tλN(t)dt. La population diminue donc de cette quantité.

Formule

Équation différentielle de décroissance

dNdt=−λN\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda NdtdN​=−λN
  • NNN : nombre de noyaux radioactifs présents
  • ttt : temps, en secondes
  • λ\lambdaλ : constante radioactive, en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1
  • dN/dt\mathrm{d}N/\mathrm{d}tdN/dt : vitesse de variation du nombre de noyaux, en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1

Le signe négatif traduit la disparition des noyaux père. En séparant les variables puis en intégrant entre l'instant initial et l'instant ttt, on obtient :

∫N0N(t)dNN=−λ∫0tdt\int_{N_0}^{N(t)}\frac{\mathrm{d}N}{N} = -\lambda\int_0^t\mathrm{d}t∫N0​N(t)​NdN​=−λ∫0t​dt

où N0=N(0)N_0=N(0)N0​=N(0) est le nombre initial de noyaux. Ainsi, ln⁡[N(t)/N0]=−λt\ln\left[N(t)/N_0\right]=-\lambda tln[N(t)/N0​]=−λt.

Formule

Loi de décroissance radioactive

N(t)=N0e−λtN(t)=N_0e^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt
  • N(t)N(t)N(t) : nombre de noyaux radioactifs à l'instant ttt
  • N0N_0N0​ : nombre de noyaux radioactifs à l'instant initial
  • eee : base de la fonction exponentielle
  • λ\lambdaλ : constante radioactive, en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1
  • ttt : temps écoulé, en secondes

La fraction de noyaux survivants est donc N(t)/N0=e−λtN(t)/N_0=e^{-\lambda t}N(t)/N0​=e−λt. Une même fraction disparaît pendant des intervalles de temps égaux, ce qui explique la forme exponentielle et non linéaire de la décroissance.

Période radioactive et durée de vie moyenne

Définition

Période radioactive TTT

Durée au terme de laquelle le nombre de noyaux radioactifs, et donc l'activité, est divisé par deux. Elle est également appelée demi-vie radioactive.

Par définition, N(T)=N0/2N(T)=N_0/2N(T)=N0​/2. L’introduction de cette condition dans la loi exponentielle donne e−λT=1/2e^{-\lambda T}=1/2e−λT=1/2.

Formule

Relation entre période et constante radioactive

T=ln⁡2λT=\frac{\ln 2}{\lambda}T=λln2​
  • TTT : période radioactive, en secondes
  • λ\lambdaλ : constante radioactive, en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1
  • ln⁡2\ln 2ln2 : logarithme népérien de 222

Après nnn périodes, où nnn est un nombre entier, la population restante vaut N0/2nN_0/2^nN0​/2n. La période est une propriété nucléaire : elle ne dépend pas de la quantité initiale de radionucléide.

Exemple

Calculer la population après trois périodes

Un échantillon contient initialement N0=8000N_0=8000N0​=8000 noyaux radioactifs. Sa période est de 6 heures.

Après trois périodes, le temps écoulé vaut t=3T=18t=3T=18t=3T=18 heures.

  • Population restante : N(3T)=N023=80008=1000N(3T)=\frac{N_0}{2^3}=\frac{8000}{8}=1000N(3T)=23N0​​=88000​=1000 noyaux.
  • Fraction restante : N(3T)N0=18=0,125\frac{N(3T)}{N_0}=\frac{1}{8}=0{,}125N0​N(3T)​=81​=0,125.

Après 18 heures, il reste 1000 noyaux, soit 12,5 % de la population initiale. La période de 6 heures est inchangée, quelle que soit la quantité initiale de noyaux.

Définition

Durée de vie moyenne τ\tauτ

Espérance de la durée pendant laquelle un noyau demeure radioactif avant sa désintégration.

Elle vérifie τ=1/λ\tau=1/\lambdaτ=1/λ, donc T=τln⁡2T=\tau\ln 2T=τln2. La durée de vie moyenne est supérieure à la période, car ln⁡2\ln 2ln2 est inférieur à 111.

Attention

Période et disparition totale

Une période ne correspond pas au temps nécessaire à la disparition de tous les noyaux. Une décroissance exponentielle tend vers zéro sans l'atteindre mathématiquement en un temps fini.

Activité radioactive

Définition

Activité radioactive AAA

Nombre moyen de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon.

L’activité est la valeur positive de la vitesse de disparition des noyaux radioactifs.

Formule

Activité d'un radionucléide

A(t)=−dNdt=λN(t)=A0e−λtA(t)=-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} =\lambda N(t) =A_0e^{-\lambda t}A(t)=−dtdN​=λN(t)=A0​e−λt
  • A(t)A(t)A(t) : activité à l'instant ttt, en becquerels
  • A0A_0A0​ : activité initiale, avec A0=λN0A_0=\lambda N_0A0​=λN0​
  • N(t)N(t)N(t) : nombre de noyaux radioactifs à l'instant ttt
  • ttt : temps, en secondes
  • λ\lambdaλ : constante radioactive, en s−1\mathrm{s^{-1}}s−1

Le becquerel, noté Bq\mathrm{Bq}Bq, correspond à une désintégration par seconde. L’activité suit la même loi exponentielle et possède la même période que le nombre de noyaux.

Attention

Activité et nombre de particules émises

Une désintégration constitue un événement nucléaire, mais elle ne correspond pas nécessairement à une unique particule ou à un unique photon émis. L'activité ne désigne donc pas directement un débit de particules.

Mélange de radionucléides

Dans un mélange, chaque radionucléide décroît indépendamment avec sa propre constante radioactive. L’activité totale est la somme des activités individuelles.

Formule

Activité totale d'un mélange

Atot(t)=∑i=1mAi,0e−λitA_{\mathrm{tot}}(t) = \sum_{i=1}^{m}A_{i,0}e^{-\lambda_i t}Atot​(t)=i=1∑m​Ai,0​e−λi​t
  • Atot(t)A_{\mathrm{tot}}(t)Atot​(t) : activité totale du mélange à l'instant ttt
  • mmm : nombre de radionucléides présents
  • iii : indice identifiant chaque radionucléide
  • Ai,0A_{i,0}Ai,0​ : activité initiale du radionucléide d'indice iii
  • λi\lambda_iλi​ : constante radioactive du radionucléide d'indice iii
  • ttt : temps, en secondes

Une somme d’exponentielles de constantes différentes n’est généralement pas une exponentielle unique. Il n’existe donc pas nécessairement une période radioactive unique pour l’ensemble du mélange. À long terme, la contribution du radionucléide ayant la plus petite constante radioactive, donc la période la plus longue, devient relativement dominante.

Embranchements radioactifs

Un radionucléide peut se transformer selon plusieurs voies concurrentes.

Définition

Embranchement radioactif

Répartition des désintégrations d'un même radionucléide entre plusieurs modes ou plusieurs noyaux fils possibles.

À chaque voie iii est associée une constante partielle λi\lambda_iλi​. Comme les voies sont concurrentes, leurs probabilités s’additionnent.

Formule

Constante totale et rapport d'embranchement

λ=∑iλietbi=λiλ\lambda=\sum_i\lambda_i \qquad\text{et}\qquad b_i=\frac{\lambda_i}{\lambda}λ=i∑​λi​etbi​=λλi​​
  • λ\lambdaλ : constante radioactive totale
  • λi\lambda_iλi​ : constante radioactive partielle de la voie iii
  • bib_ibi​ : rapport d'embranchement de la voie iii
  • iii : indice de la voie de désintégration

Les rapports d’embranchement vérifient ∑ibi=1\sum_i b_i=1∑i​bi​=1. L’activité partielle de la voie iii vaut Ai=biA=λiNA_i=b_iA=\lambda_iNAi​=bi​A=λi​N. La période du noyau père dépend de la constante totale, et non d’une seule constante partielle.

Exemple

Calculer les rapports et activités d’un embranchement

Un radionucléide père possède deux voies de désintégration. À l’instant considéré, l’échantillon contient N=2,0×106N=2{,}0\times10^6N=2,0×106 noyaux père.

  • Constantes partielles : λ1=0,030 s−1\lambda_1=0{,}030\,\mathrm{s^{-1}}λ1​=0,030s−1 et λ2=0,020 s−1\lambda_2=0{,}020\,\mathrm{s^{-1}}λ2​=0,020s−1.
  • Constante totale : λ=λ1+λ2=0,050 s−1\lambda=\lambda_1+\lambda_2=0{,}050\,\mathrm{s^{-1}}λ=λ1​+λ2​=0,050s−1.
  • Rapports d’embranchement : b1=0,0300,050=0,60b_1=\frac{0{,}030}{0{,}050}=0{,}60b1​=0,0500,030​=0,60 et b2=0,0200,050=0,40b_2=\frac{0{,}020}{0{,}050}=0{,}40b2​=0,0500,020​=0,40.
  • Activité totale : A=λN=0,050×2,0×106=1,0×105 BqA=\lambda N=0{,}050\times2{,}0\times10^6=1{,}0\times10^5\,\mathrm{Bq}A=λN=0,050×2,0×106=1,0×105Bq.
  • Activités partielles : A1=b1A=6,0×104 BqA_1=b_1A=6{,}0\times10^4\,\mathrm{Bq}A1​=b1​A=6,0×104Bq et A2=b2A=4,0×104 BqA_2=b_2A=4{,}0\times10^4\,\mathrm{Bq}A2​=b2​A=4,0×104Bq.

La voie 1 représente 60 % des désintégrations et la voie 2 en représente 40 %. La somme des activités partielles est bien égale à l’activité totale.

Filiation radioactive père-fils

Définition

Filiation radioactive

Suite de transformations dans laquelle la désintégration d'un radionucléide père produit un radionucléide fils, lui-même éventuellement radioactif.

Considérons un père PPP produisant un fils FFF avec un rapport d’embranchement bbb. Le père disparaît selon sa propre loi. Le fils est simultanément produit par le père et détruit par sa propre désintégration.

Formule

Équations d'une filiation père-fils

dNPdt=−λPNPdNFdt=bλPNP−λFNF\frac{\mathrm{d}N_P}{\mathrm{d}t}=-\lambda_PN_P \qquad \frac{\mathrm{d}N_F}{\mathrm{d}t} =b\lambda_PN_P-\lambda_FN_FdtdNP​​=−λP​NP​dtdNF​​=bλP​NP​−λF​NF​
  • NPN_PNP​ : nombre de noyaux père
  • NFN_FNF​ : nombre de noyaux fils
  • λP\lambda_PλP​ : constante radioactive du père
  • λF\lambda_FλF​ : constante radioactive du fils
  • bbb : rapport d'embranchement conduisant au fils
  • ttt : temps, en secondes

Si λP≠λF\lambda_P\neq\lambda_FλP​=λF​, la résolution donne la relation de Bateman :

Formule

Loi de Bateman pour une filiation simple

NF(t)=NF,0e−λFt+bλPNP,0λF−λP(e−λPt−e−λFt)N_F(t) = N_{F,0}e^{-\lambda_Ft} + \frac{b\lambda_PN_{P,0}}{\lambda_F-\lambda_P} \left(e^{-\lambda_Pt}-e^{-\lambda_Ft}\right)NF​(t)=NF,0​e−λF​t+λF​−λP​bλP​NP,0​​(e−λP​t−e−λF​t)
  • NF(t)N_F(t)NF​(t) : nombre de noyaux fils à l'instant ttt
  • NF,0N_{F,0}NF,0​ : nombre initial de noyaux fils
  • NP,0N_{P,0}NP,0​ : nombre initial de noyaux père
  • λF\lambda_FλF​ : constante radioactive du fils
  • λP\lambda_PλP​ : constante radioactive du père
  • bbb : rapport d'embranchement vers le fils
  • ttt : temps, en secondes

Le premier terme décrit la décroissance des noyaux fils initialement présents. Le second décrit l’accumulation des noyaux produits par le père, corrigée de leur propre disparition. L’activité du fils est AF=λFNFA_F=\lambda_FN_FAF​=λF​NF​, tandis que celle du père est AP=λPNPA_P=\lambda_PN_PAP​=λP​NP​.

Équilibres séculaire et transitoire

Un équilibre de filiation ne signifie pas que les nombres de noyaux sont égaux. Il correspond à un rapport d’activités devenu constant.

Lorsque le père vit plus longtemps que le fils, soit λP<λF\lambda_P<\lambda_FλP​<λF​, le terme en e−λFte^{-\lambda_Ft}e−λF​t finit par devenir négligeable. Les activités du père et du fils décroissent alors toutes deux selon la constante du père, et leur rapport tend vers :

AFAP⟶bλFλF−λP\frac{A_F}{A_P} \longrightarrow \frac{b\lambda_F}{\lambda_F-\lambda_P}AP​AF​​⟶λF​−λP​bλF​​
Comparaison

Équilibres de filiation

CritèreÉquilibre séculaireÉquilibre transitoire
Relation des périodesTP≫TFT_P\gg T_FTP​≫TF​TP>TFT_P>T_FTP​>TF​ sans séparation extrême
Relation des constantesλP≪λF\lambda_P\ll\lambda_FλP​≪λF​λP<λF\lambda_P<\lambda_FλP​<λF​
Rapport asymptotiqueAF/AP≃bA_F/A_P\simeq bAF​/AP​≃bAF/AP→bλF/(λF−λP)A_F/A_P\to b\lambda_F/(\lambda_F-\lambda_P)AF​/AP​→bλF​/(λF​−λP​)
Évolution communeactivité du père presque constante à court termedécroissance selon la période du père

Dans l’équilibre séculaire, le père varie très lentement pendant l’installation de l’équilibre. La production du fils compense alors presque exactement sa disparition, d’où AF≃bAPA_F\simeq bA_PAF​≃bAP​.

Dans l’équilibre transitoire, le père vit plus longtemps que le fils, mais sa décroissance n’est pas négligeable. Après une phase d’accumulation, le fils décroît au même rythme apparent que le père, avec un rapport d’activités constant supérieur à bbb.

Si λP≥λF\lambda_P\geq\lambda_FλP​≥λF​, le fils est aussi stable ou plus durable que le père. Il ne peut alors pas suivre durablement la décroissance du père avec un rapport constant : aucun équilibre séculaire ou transitoire ne s’établit.

À retenir

Un équilibre père-fils concerne les activités et leur évolution commune, non l'égalité des nombres de noyaux. Il exige que le père ait une période plus longue que le fils.

Points clés
  • La probabilité constante de désintégration par unité de temps conduit à N(t)=N0e−λtN(t)=N_0e^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt.
  • La période radioactive vérifie T=ln⁡2/λT=\ln 2/\lambdaT=ln2/λ et la durée de vie moyenne vérifie τ=1/λ\tau=1/\lambdaτ=1/λ.
  • L'activité vaut A=λNA=\lambda NA=λN et s'exprime en becquerels.
  • L'activité d'un mélange est une somme d'exponentielles et n'a généralement pas de période unique.
  • Lors d'un embranchement, la constante totale est la somme des constantes partielles et bi=λi/λb_i=\lambda_i/\lambdabi​=λi​/λ.
  • Une filiation père-fils peut atteindre un équilibre séculaire ou transitoire seulement si TP>TFT_P>T_FTP​>TF​.

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Rayonnements ionisants.

  • Fiche 01Structure du noyau et énergie de liaisonRayonnements ionisants
  • Fiche 02Stabilité nucléaire et modes de désintégrationRayonnements ionisants
  • Fiche 04Production et nature des rayons X et gammaRayonnements ionisants
lock_open

Entre ton email pour débloquer le reste de cette fiche

Il reste 4 sections à lire — plus les QCM corrigés, l'examen blanc et le suivi. 72 h d'essai gratuit, sans carte bancaire.

Déjà un compte ? Se connecter · Voir les formules

arrow_backPrécédentStabilité nucléaire et modes de désintégrationRayonnements ionisantsSuivantarrow_forwardProduction et nature des rayons X et gammaRayonnements ionisants
Sommaire
  • 1Caractère probabiliste de la décroissance
  • 2Période radioactive et durée de vie moyenne
  • 3Activité radioactive
  • 4Mélange de radionucléides lock — section verrouillée
  • 5Embranchements radioactifs lock — section verrouillée
  • 6Filiation radioactive père-fils lock — section verrouillée
  • 7Équilibres séculaire et transitoire lock — section verrouillée