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Dérivation et étude de fonctions

Appliquer les règles de dérivation aux opérations sur les fonctions et à la composition. Utiliser la dérivée pour étudier les variations, les extrema et le comportement local d'une fonction.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Dérivée et comportement infinitésimal

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un point intérieur à cet intervalle. Pour mesurer la variation de $f$ au voisinage de $a$ , on compare la variation de la valeur $f(a+h)-f(a)$ à la variation $h$ de la variable.

Lorsque $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle, les nombres dérivés définissent une nouvelle fonction $f'$ , appelée fonction dérivée.

Interprétation géométrique

Le taux d'accroissement est le coefficient directeur d'une droite sécante à la courbe. Lorsque $h$ tend vers zéro, cette droite tend, si la limite existe, vers la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Une fonction dérivable en $a$ est nécessairement continue en $a$ : une approximation linéaire locale impose que $f(a+h)$ tende vers $f(a)$ lorsque $h$ tend vers zéro.

À une extrémité de l'intervalle de définition, seule une limite à droite ou à gauche peut être considérée. On parle alors de dérivée unilatérale.

Calcul des dérivées

Les propriétés algébriques des fonctions exponentielle, logarithme, puissances et trigonométriques sont étudiées dans la fiche précédente. Leurs dérivées constituent ici les briques nécessaires aux calculs.

Pour une variable réelle $x$ et sur les domaines où les fonctions sont définies :

une fonction constante a une dérivée nulle ;
$(x)'=1$ ;
$(x^n)'=nx^{n-1}$ pour un entier $n$ ;
$(\exp x)'=\exp x$ ;
$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ pour $x>0$ ;
$(\sin x)'=\cos x$ ;
$(\cos x)'=-\sin x$ .

Opérations algébriques

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un même intervalle et $\lambda$ une constante réelle.

La dérivée d'un produit n'est donc pas le produit des dérivées. Chaque terme du produit varie, ce qui explique la présence des deux contributions $u'v$ et $uv'$ .

Dérivée d'une fonction composée

Si $g$ est dérivable en $x$ et si $f$ est dérivable en $g(x)$ , alors la composée est dérivable en $x$ .

Le facteur $g'(x)$ traduit le fait que l'argument de la fonction extérieure ne varie pas directement comme $x$ .

Dérivée et variations

La dérivée mesure le sens de variation instantané. Son signe permet donc d'étudier les variations sur un intervalle :

si $f'(x)\geq 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ;
si $f'(x)\leq 0$ sur un intervalle, $f$ y est décroissante ;
si $f'(x)>0$ sur un intervalle, $f$ y est strictement croissante ;
si $f'(x)<0$ sur un intervalle, $f$ y est strictement décroissante ;
si $f'(x)=0$ sur tout un intervalle, $f$ y est constante.

Une fonction peut cependant être strictement croissante tout en ayant une dérivée nulle en certains points isolés. L'annulation ponctuelle de la dérivée ne suffit donc pas à conclure que la fonction est constante.

Extrema et points critiques

Comparaison

Extremum local et extremum global

Critère	Extremum local	Extremum global
Comparaison	points suffisamment proches	tous les points du domaine
Portée	voisinage du point	ensemble du domaine
Recherche	points critiques intérieurs	points critiques et bornes du domaine

Si $f$ est dérivable en un point intérieur $a$ et possède un extremum local en ce point, alors $f'(a)=0$ . Cette condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante.

Le changement de signe de la dérivée permet de conclure :

passage de $f'>0$ à $f'<0$ : maximum local ;
passage de $f'<0$ à $f'>0$ : minimum local ;
absence de changement de signe : pas d'extremum local détecté par ce critère.

Pour rechercher un extremum global sur un intervalle fermé, il faut comparer les valeurs prises aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle. Les bornes ne doivent pas être écartées sous prétexte que la dérivée bilatérale n'y est pas définie.

Comportement local

La dérivabilité signifie qu'au voisinage de $a$ , la fonction se comporte principalement comme une fonction affine. Si $h$ est un petit accroissement, la variation principale est $f'(a)h$ .

Le terme $o(h)$ devient négligeable devant $h$ . La tangente fournit ainsi la meilleure approximation affine locale de la fonction. L'étude systématique des approximations d'ordre supérieur relève de la fiche consacrée aux développements limités.

Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde, notée $f''$ . À un point stationnaire $a$ :

si $f''(a)>0$ , la fonction possède un minimum local en $a$ ;
si $f''(a)<0$ , la fonction possède un maximum local en $a$ ;
si $f''(a)=0$ , le critère ne permet aucune conclusion.

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