B10 · Outils mathématiques

Fonctions usuelles : exponentielle, logarithme et puissances

Décrire les domaines de définition, les variations et les représentations graphiques des fonctions exponentielle, logarithme et puissance. Utiliser leurs relations algébriques et leurs dérivées, y compris pour une base quelconque.

Biostatistiques et méthodes d'analyse9 min de lecture12 QCM corrigés

Notions préalables

La courbe représentative d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ . Son allure se déduit notamment du domaine, des variations, des limites, des éventuelles asymptotes et de quelques points remarquables.

Les fonctions puissance, exponentielle et logarithme sont étroitement liées, mais elles ne font pas varier la même quantité :

dans une fonction puissance $x \mapsto x^\alpha$ , la base $x$ varie tandis que l’exposant $\alpha$ est fixé ;
dans une fonction exponentielle $x \mapsto a^x$ , la base $a$ est fixée tandis que l’exposant $x$ varie.

Fonctions puissances

Définition générale

Pour un exposant réel fixé $\alpha$ , la puissance réelle de $x$ est définie sur les réels strictement positifs par :

x^\alpha=\exp\left(\alpha\ln x\right), \qquad x>0.

Cette définition relie toutes les puissances réelles aux fonctions exponentielle et logarithme.

Lorsque $\alpha$ est entier, la fonction peut souvent être prolongée à un domaine plus large :

si $\alpha=n$ est un entier naturel non nul, $x^n$ est défini sur $\mathbb{R}$ ;
si $\alpha=0$ , alors $x^0=1$ pour $x\neq 0$ ;
si $\alpha=-n$ avec $n$ entier naturel non nul, alors $x^{-n}=1/x^n$ , défini sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Pour un exposant rationnel, l’extension aux nombres négatifs dépend de la parité du dénominateur. La définition sur $\mathbb{R}_+^*$ reste donc la définition générale la plus sûre.

Relations algébriques

Ces identités résultent des propriétés de l’exponentielle et du logarithme. Elles sont automatiquement valides pour des bases strictement positives. Avec des bases négatives, elles peuvent perdre leur sens ou devenir fausses pour des exposants non entiers.

Variations et représentation graphique

Sur $\mathbb{R}_+^*$ , la dérivée est :

Comme $x^{\alpha-1}>0$ pour $x>0$ , le signe de la dérivée est celui de $\alpha$ :

si $\alpha>0$ , la fonction est strictement croissante ;
si $\alpha=0$ , elle est constante, égale à $1$ ;
si $\alpha<0$ , elle est strictement décroissante.

Toutes les courbes $y=x^\alpha$ passent par $(1,1)$ . Pour $\alpha>0$ , la fonction tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives et vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . Pour $\alpha<0$ , ces comportements sont inversés : la droite $x=0$ est alors une asymptote verticale et l’axe des abscisses une asymptote horizontale en $+\infty$ .

Pour un entier naturel $n$ , la parité précise l’allure sur $\mathbb{R}$ : $x^n$ est paire si $n$ est pair et impaire si $n$ est impair.

Fonction exponentielle

Exponentielle népérienne

Sa dérivée étant toujours strictement positive, l’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Son ensemble image est $\mathbb{R}_+^*$ et ses limites fondamentales sont :

\lim_{x\to-\infty}e^x=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.

Sa courbe passe par $(0,1)$ et admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale lorsque $x$ tend vers $-\infty$ . Elle ne coupe jamais cet axe, car $e^x>0$ pour tout réel $x$ .

Exponentielle de base quelconque

Pour une base réelle $a>0$ , on définit :

a^x=e^{x\ln a}.

Si $a=1$ , la fonction est constante. Lorsque $a\neq 1$ , elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}_+^*$ .

Le signe de $\ln a$ détermine les variations :

si $a>1$ , alors $\ln a>0$ et $x\mapsto a^x$ est strictement croissante ;
si $0<a<1$ , alors $\ln a<0$ et $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante.

Relations algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$ , et pour toute base $a>0$ :

a^{x+y}=a^x a^y, \qquad a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}, \qquad a^{-x}=\frac{1}{a^x}.

Ces relations traduisent le fait qu’une addition des exposants devient une multiplication des valeurs.

Fonction logarithme

Logarithme népérien

Les relations de réciprocité sont :

\ln(e^x)=x \quad \text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad e^{\ln x}=x \quad \text{pour tout }x>0.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante car sa dérivée est positive :

Son ensemble image est $\mathbb{R}$ et ses limites sont :

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

La droite $x=0$ constitue une asymptote verticale. La courbe passe par $(1,0)$ . Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ .

Logarithme de base quelconque

Pour $a>0$ et $a\neq1$ , le logarithme de base $a$ , noté $\log_a$ , est la fonction réciproque de $x\mapsto a^x$ :

\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}, \qquad x>0.

Sa dérivée vaut :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right)=\frac{1}{x\ln a}.

Il est croissant si $a>1$ et décroissant si $0<a<1$ . Son domaine est toujours $\mathbb{R}_+^*$ et son ensemble image est $\mathbb{R}$ .

Relations algébriques

Pour $x>0$ , $y>0$ et tout réel $\alpha$ :

\ln(xy)=\ln x+\ln y, \qquad \ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y, \qquad \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x.

Le logarithme transforme donc les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits.

Dérivées des fonctions composées

Si $u$ est une fonction dérivable, la dérivation doit tenir compte de la dérivée de la fonction intérieure.

Pour une puissance composée, si $u(x)>0$ :

\left(u(x)^\alpha\right)'=\alpha u'(x)u(x)^{\alpha-1}.

Comparaison

Puissance, exponentielle et logarithme

Fonction	Domaine général	Variation principale	Point remarquable
$x^\alpha$	$x>0$	selon le signe de $\alpha$	$(1,1)$
$a^x$	$\mathbb{R}$	selon la position de $a$ par rapport à $1$	$(0,1)$
$\log_a x$	$x>0$	selon la position de $a$ par rapport à $1$	$(1,0)$

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Notions préalables

Les fonctions puissance, exponentielle et logarithme sont étroitement liées, mais elles ne font pas varier la même quantité :

dans une fonction puissance $x \mapsto x^\alpha$ , la base $x$ varie tandis que l’exposant $\alpha$ est fixé ;
dans une fonction exponentielle $x \mapsto a^x$ , la base $a$ est fixée tandis que l’exposant $x$ varie.

Fonctions puissances

Définition générale

Pour un exposant réel fixé $\alpha$ , la puissance réelle de $x$ est définie sur les réels strictement positifs par :

x^\alpha=\exp\left(\alpha\ln x\right), \qquad x>0.

Cette définition relie toutes les puissances réelles aux fonctions exponentielle et logarithme.

Lorsque $\alpha$ est entier, la fonction peut souvent être prolongée à un domaine plus large :

si $\alpha=n$ est un entier naturel non nul, $x^n$ est défini sur $\mathbb{R}$ ;
si $\alpha=0$ , alors $x^0=1$ pour $x\neq 0$ ;
si $\alpha=-n$ avec $n$ entier naturel non nul, alors $x^{-n}=1/x^n$ , défini sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Pour un exposant rationnel, l’extension aux nombres négatifs dépend de la parité du dénominateur. La définition sur $\mathbb{R}_+^*$ reste donc la définition générale la plus sûre.

Relations algébriques

Variations et représentation graphique

Sur $\mathbb{R}_+^*$ , la dérivée est :

Comme $x^{\alpha-1}>0$ pour $x>0$ , le signe de la dérivée est celui de $\alpha$ :

si $\alpha>0$ , la fonction est strictement croissante ;
si $\alpha=0$ , elle est constante, égale à $1$ ;
si $\alpha<0$ , elle est strictement décroissante.

Pour un entier naturel $n$ , la parité précise l’allure sur $\mathbb{R}$ : $x^n$ est paire si $n$ est pair et impaire si $n$ est impair.

Fonction exponentielle

Exponentielle népérienne

Sa dérivée étant toujours strictement positive, l’exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Son ensemble image est $\mathbb{R}_+^*$ et ses limites fondamentales sont :

\lim_{x\to-\infty}e^x=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.

Sa courbe passe par $(0,1)$ et admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale lorsque $x$ tend vers $-\infty$ . Elle ne coupe jamais cet axe, car $e^x>0$ pour tout réel $x$ .

Exponentielle de base quelconque

Pour une base réelle $a>0$ , on définit :

a^x=e^{x\ln a}.

Si $a=1$ , la fonction est constante. Lorsque $a\neq 1$ , elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}_+^*$ .

Le signe de $\ln a$ détermine les variations :

si $a>1$ , alors $\ln a>0$ et $x\mapsto a^x$ est strictement croissante ;
si $0<a<1$ , alors $\ln a<0$ et $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante.

Relations algébriques

Pour tous réels $x$ et $y$ , et pour toute base $a>0$ :

a^{x+y}=a^x a^y, \qquad a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}, \qquad a^{-x}=\frac{1}{a^x}.

Ces relations traduisent le fait qu’une addition des exposants devient une multiplication des valeurs.

Fonction logarithme

Logarithme népérien

Les relations de réciprocité sont :

\ln(e^x)=x \quad \text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad e^{\ln x}=x \quad \text{pour tout }x>0.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante car sa dérivée est positive :

Son ensemble image est $\mathbb{R}$ et ses limites sont :

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.

Logarithme de base quelconque

Pour $a>0$ et $a\neq1$ , le logarithme de base $a$ , noté $\log_a$ , est la fonction réciproque de $x\mapsto a^x$ :

\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}, \qquad x>0.

Sa dérivée vaut :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right)=\frac{1}{x\ln a}.

Il est croissant si $a>1$ et décroissant si $0<a<1$ . Son domaine est toujours $\mathbb{R}_+^*$ et son ensemble image est $\mathbb{R}$ .

Relations algébriques

Pour $x>0$ , $y>0$ et tout réel $\alpha$ :

\ln(xy)=\ln x+\ln y, \qquad \ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y, \qquad \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x.

Le logarithme transforme donc les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits.

Dérivées des fonctions composées

Si $u$ est une fonction dérivable, la dérivation doit tenir compte de la dérivée de la fonction intérieure.

Pour une puissance composée, si $u(x)>0$ :

\left(u(x)^\alpha\right)'=\alpha u'(x)u(x)^{\alpha-1}.

Comparaison

Puissance, exponentielle et logarithme

Fonction	Domaine général	Variation principale	Point remarquable
$x^\alpha$	$x>0$	selon le signe de $\alpha$	$(1,1)$
$a^x$	$\mathbb{R}$	selon la position de $a$ par rapport à $1$	$(0,1)$
$\log_a x$	$x>0$	selon la position de $a$ par rapport à $1$	$(1,0)$

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