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Sommaire

  • 1Primitives d’une fonction
    • 1.1Primitives usuelles
  • 2Intégrale définie
  • 3Propriétés fondamentales de l’intégrale
  • 4Intégration par parties lock — section verrouillée
  • 5Changement de variable lock — section verrouillée
  • 6Parité et intervalle symétrique lock — section verrouillée
  • 7Interprétation géométrique lock — section verrouillée
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B10 · Outils mathématiques

Primitives, intégration et applications

Reconnaître les primitives des fonctions usuelles et calculer une intégrale définie. Maîtriser l'intégration par parties, le changement de variable et les propriétés de parité, et interpréter une intégrale comme une aire.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule5 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Primitives d’une fonction

La dérivation, étudiée dans la fiche précédente, associe à une fonction son taux de variation. La recherche d’une primitive réalise l’opération inverse.

Définition

Primitive

Soit une fonction fff définie sur un intervalle III. Une primitive de fff sur III est une fonction FFF, dérivable sur III, telle que F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x) pour tout xxx de III.

Une fonction continue sur un intervalle y admet au moins une primitive. Cette condition est suffisante, mais elle n’est pas nécessaire.

Si FFF est une primitive de fff, alors F+CF+CF+C est également une primitive de fff pour toute constante réelle CCC, car la dérivée d’une constante est nulle. Réciproquement, sur un intervalle, deux primitives d’une même fonction diffèrent nécessairement d’une constante.

À retenir

Ensemble des primitives

Si FFF est une primitive de fff sur un intervalle III, alors toutes les primitives de fff sur III sont les fonctions x↦F(x)+Cx\mapsto F(x)+Cx↦F(x)+C, où CCC est une constante réelle.

La notation ∫f(x) dx\int f(x)\,\mathrm{d}x∫f(x)dx désigne l’ensemble des primitives de fff. Elle doit donc comporter la constante CCC lorsqu’on cherche une primitive générale.

Primitives usuelles

Dans les relations suivantes, aaa, bbb et α\alphaα sont des constantes réelles, avec a≠0a\neq 0a=0.

Comparaison

Primitives algébriques et exponentielles

Fonction f(x)f(x)f(x)Une primitive F(x)F(x)F(x)Condition
xαx^\alphaxαxα+1α+1\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}α+1xα+1​α≠−1\alpha\neq -1α=−1, sur un intervalle où la puissance est définie
1x\dfrac{1}{x}x1​ln⁡∣x∣\ln\lvert x\rvertln∣x∣intervalle ne contenant pas 000
eax+b\mathrm{e}^{ax+b}eax+b1aeax+b\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax+b}a1​eax+ba≠0a\neq 0a=0
1ax+b\dfrac{1}{ax+b}ax+b1​1aln⁡∣ax+b∣\dfrac{1}{a}\ln\lvert ax+b\rverta1​ln∣ax+b∣ax+b≠0ax+b\neq 0ax+b=0
Comparaison

Primitives trigonométriques

Fonction f(x)f(x)f(x)Une primitive F(x)F(x)F(x)Condition
cos⁡(ax+b)\cos(ax+b)cos(ax+b)1asin⁡(ax+b)\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)a1​sin(ax+b)a≠0a\neq 0a=0
sin⁡(ax+b)\sin(ax+b)sin(ax+b)−1acos⁡(ax+b)-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)−a1​cos(ax+b)a≠0a\neq 0a=0
1cos⁡2(ax+b)\dfrac{1}{\cos^2(ax+b)}cos2(ax+b)1​1atan⁡(ax+b)\dfrac{1}{a}\tan(ax+b)a1​tan(ax+b)cos⁡(ax+b)≠0\cos(ax+b)\neq 0cos(ax+b)=0
11+x2\dfrac{1}{1+x^2}1+x21​arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R
11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}1−x2​1​arcsin⁡(x)\arcsin(x)arcsin(x)x∈]−1,1[x\in ]-1,1[x∈]−1,1[

Le facteur 1/a1/a1/a provient de la dérivation d’une fonction composée : la dérivée de ax+bax+bax+b vaut aaa. Reconnaître cette structure permet d’éviter de mémoriser chaque forme séparément.

Attention

Primitive et fonction réciproque

Une primitive n’est pas une fonction réciproque. La primitive inverse la dérivation, tandis qu’une fonction réciproque inverse la correspondance entre les valeurs d’une fonction.

Intégrale définie

Définition

Intégrale définie

Pour une fonction fff continue sur un intervalle contenant aaa et bbb, l’intégrale définie de fff entre aaa et bbb, notée ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx, est le nombre obtenu par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes.

Formule

Formule de Newton-Leibniz

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
  • fff : fonction continue à intégrer
  • FFF : une primitive de fff, telle que F′=fF'=fF′=f
  • aaa : borne inférieure de l’intégrale
  • bbb : borne supérieure de l’intégrale
  • xxx : variable d’intégration
  • dx\mathrm{d}xdx : indication que l’intégration porte sur la variable xxx

La constante d’une primitive disparaît dans la différence, puisque les termes constants se compensent. L’intégrale définie est donc un nombre, alors qu’une primitive est une fonction.

Méthode

Calculer une intégrale définie

  1. Identifier la fonction intégrée et les bornes
  2. Reconnaître une primitive usuelle ou transformer l’expression
  3. Déterminer une primitive FFF sans conserver de constante additive
  4. Calculer F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)
  5. Vérifier la cohérence du signe à partir du signe de la fonction et de l’ordre des bornes
Exemple

Calculer une intégrale définie par Newton-Leibniz

Considérons l’intégrale ∫02(3x2+1) dx\int_0^2 \left(3x^2+1\right)\,\mathrm{d}x∫02​(3x2+1)dx.

Une primitive de 3x2+13x^2+13x2+1 est F(x)=x3+xF(x)=x^3+xF(x)=x3+x.

∫02(3x2+1) dx=F(2)−F(0)=(23+2)−(03+0)=10.\int_0^2 \left(3x^2+1\right)\,\mathrm{d}x =F(2)-F(0) =\left(2^3+2\right)-\left(0^3+0\right) =10.∫02​(3x2+1)dx=F(2)−F(0)=(23+2)−(03+0)=10.

L’intégrale définie vaut 101010. La constante additive d’une primitive n’intervient pas, car elle se compense entre les deux bornes.

Propriétés fondamentales de l’intégrale

L’intégrale est linéaire. Pour des fonctions intégrables fff et ggg et des constantes réelles λ\lambdaλ et μ\muμ :

∫ab(λf(x)+μg(x)) dx=λ∫abf(x) dx+μ∫abg(x) dx.\int_a^b \left(\lambda f(x)+\mu g(x)\right)\,\mathrm{d}x = \lambda\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \mu\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.∫ab​(λf(x)+μg(x))dx=λ∫ab​f(x)dx+μ∫ab​g(x)dx.

Elle est également additive par rapport aux intervalles. Pour tout réel ccc situé dans l’intervalle considéré :

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx.

L’ordre des bornes détermine l’orientation :

∫baf(x) dx=−∫abf(x) dxet∫aaf(x) dx=0.\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \qquad\text{et}\qquad \int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0.∫ba​f(x)dx=−∫ab​f(x)dxet∫aa​f(x)dx=0.

Enfin, si f(x)≥0f(x)\geq 0f(x)≥0 sur [a,b][a,b][a,b] avec a≤ba\leq ba≤b, alors son intégrale est positive ou nulle. Plus généralement, si f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)f(x)≤g(x) sur cet intervalle, alors :

∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leq\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx.

Ces propriétés permettent de contrôler un résultat sans recalculer directement l’intégrale.

Intégration par parties

L’intégration par parties transforme l’intégrale d’un produit en utilisant la formule de dérivation d’un produit. Elle est utile lorsqu’un facteur devient plus simple après dérivation tandis que l’autre possède une primitive facilement identifiable.

Formule

Intégration par parties

∫abu(x)v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x∫ab​u(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab​−∫ab​u′(x)v(x)dx
  • uuu et vvv : fonctions dérivables sur [a,b][a,b][a,b]
  • u′u'u′ et v′v'v′ : dérivées respectives de uuu et vvv
  • aaa et bbb : bornes d’intégration
  • [u(x)v(x)]ab\left[u(x)v(x)\right]_a^b[u(x)v(x)]ab​ : différence u(b)v(b)−u(a)v(a)u(b)v(b)-u(a)v(a)u(b)v(b)−u(a)v(a)
  • xxx : variable d’intégration
Méthode

Effectuer une intégration par parties

  1. Décomposer l’intégrande sous la forme u(x)v′(x)u(x)v'(x)u(x)v′(x)
  2. Choisir uuu afin que sa dérivée u′u'u′ simplifie l’expression
  3. Déterminer une primitive vvv de v′v'v′
  4. Appliquer la formule en conservant les bornes
  5. Calculer le terme de bord puis l’intégrale restante
Exemple

Intégrer le produit de x par une exponentielle

Calculons ∫01xex dx\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x∫01​xexdx.

Le choix u(x)=xu(x)=xu(x)=x et v′(x)=exv'(x)=\mathrm{e}^xv′(x)=ex donne u′(x)=1u'(x)=1u′(x)=1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^xv(x)=ex.

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=e−[ex]01=e−(e−1)=1.\int_0^1 x\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x =\left[x\mathrm{e}^x\right]_0^1-\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x =\mathrm{e}-\left[\mathrm{e}^x\right]_0^1 =\mathrm{e}-\left(\mathrm{e}-1\right) =1.∫01​xexdx=[xex]01​−∫01​exdx=e−[ex]01​=e−(e−1)=1.

L’intégrale initiale, qui contenait un produit, est ramenée à l’intégrale plus simple de ex\mathrm{e}^xex. Sa valeur est 111.

L’objectif n’est pas seulement de déplacer une dérivée : l’intégrale obtenue doit être plus simple que l’intégrale initiale.

Changement de variable

Définition

Changement de variable

Le changement de variable consiste à remplacer la variable d’intégration par une nouvelle variable reliée à l’ancienne, afin de reconnaître une forme intégrable plus simple.

Si x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t), alors la différentielle devient dx=φ′(t) dt\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}tdx=φ′(t)dt. Les bornes doivent être transformées en même temps que l’intégrande.

Exemple

Changer de variable dans une intégrale définie

Calculons ∫012xex2 dx\int_0^1 2x\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x∫01​2xex2dx.

Posons t=x2t=x^2t=x2. Alors dt=2x dx\mathrm{d}t=2x\,\mathrm{d}xdt=2xdx. Lorsque x=0x=0x=0, t=0t=0t=0 et lorsque x=1x=1x=1, t=1t=1t=1.

∫012xex2 dx=∫01et dt=[et]01=e−1.\int_0^1 2x\mathrm{e}^{x^2}\,\mathrm{d}x =\int_0^1 \mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t =\left[\mathrm{e}^t\right]_0^1 =\mathrm{e}-1.∫01​2xex2dx=∫01​etdt=[et]01​=e−1.

La valeur de l’intégrale est e−1\mathrm{e}-1e−1, soit environ 1,721{,}721,72. Le facteur 2x dx2x\,\mathrm{d}x2xdx est devenu exactement la différentielle dt\mathrm{d}tdt, et les deux bornes ont été exprimées dans la nouvelle variable.

Formule

Changement de variable dans une intégrale définie

∫abf(x) dx=∫αβf(φ(t))φ′(t) dt\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt
  • fff : fonction intégrée
  • xxx : variable initiale
  • ttt : nouvelle variable
  • φ\varphiφ : fonction dérivable définissant x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t)
  • aaa et bbb : bornes dans la variable xxx
  • α\alphaα et β\betaβ : bornes dans la variable ttt, telles que φ(α)=a\varphi(\alpha)=aφ(α)=a et φ(β)=b\varphi(\beta)=bφ(β)=b
  • φ′\varphi'φ′ : dérivée de φ\varphiφ
Attention

Ne pas mélanger les variables

Après un changement de variable, l’intégrande, la différentielle et les bornes doivent tous correspondre à la même variable. Mélanger des bornes en xxx avec une intégration en ttt rend l’écriture incohérente.

Parité et intervalle symétrique

Définition

Fonction paire

Une fonction fff est paire lorsque f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) pour tout xxx de son domaine. Son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Définition

Fonction impaire

Une fonction fff est impaire lorsque f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x) pour tout xxx de son domaine. Son graphe est symétrique par rapport à l’origine.

Sur un intervalle symétrique [−a,a][-a,a][−a,a], avec a≥0a\geq 0a≥0 :

∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dxsi f est paire,\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x \quad\text{si } f \text{ est paire},∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dxsi f est paire,

tandis que :

∫−aaf(x) dx=0si f est impaire.\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x=0 \quad\text{si } f \text{ est impaire}.∫−aa​f(x)dx=0si f est impaire.

Dans le premier cas, les contributions des deux moitiés sont égales. Dans le second, elles sont opposées et se compensent.

Exemple

Utiliser la parité d’une fonction impaire

Considérons f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 sur l’intervalle symétrique [−2,2][-2,2][−2,2].

La fonction est impaire, car f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x). Par conséquent :

∫−22x3 dx=0.\int_{-2}^{2}x^3\,\mathrm{d}x=0.∫−22​x3dx=0.

L’intégrale vaut 000 : les contributions négatives entre −2-2−2 et 000 compensent exactement les contributions positives entre 000 et 222.

Interprétation géométrique

Lorsque a≤ba\leq ba≤b, l’intégrale ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx représente une aire algébrique entre le graphe de fff, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=ax=ax=a et x=bx=bx=b.

Les régions situées au-dessus de l’axe contribuent positivement, tandis que celles situées au-dessous contribuent négativement. Une intégrale n’est donc pas toujours une aire géométrique positive.

L’aire géométrique totale s’écrit :

∫ab∣f(x)∣ dx.\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,\mathrm{d}x.∫ab​∣f(x)∣dx.

Si la fonction change de signe, il faut découper l’intervalle aux points où elle s’annule, puis additionner les valeurs absolues des intégrales obtenues.

À retenir

Sens géométrique

L’intégrale de fff est une aire algébrique ; l’intégrale de ∣f∣\lvert f\rvert∣f∣ est l’aire géométrique totale entre le graphe et l’axe des abscisses.

Points clés
  • Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante
  • La formule de Newton-Leibniz donne ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
  • L’intégration par parties transforme l’intégrale d’un produit grâce à la dérivation d’un produit
  • Un changement de variable impose de transformer simultanément l’intégrande, la différentielle et les bornes
  • Sur [−a,a][-a,a][−a,a], l’intégrale d’une fonction paire est doublée sur [0,a][0,a][0,a], tandis que celle d’une fonction impaire est nulle
  • Une intégrale représente une aire algébrique, et non nécessairement une aire géométrique positive
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Fiches connexes

Pour maîtriser tous le cours de Outils mathématiques.

  • Fiche 01Ensembles, dénombrement et analyse combinatoireOutils mathématiques
  • Fiche 02Fonctions usuelles : exponentielle, logarithme et puissancesOutils mathématiques
  • Fiche 03Dérivation et étude de fonctionsOutils mathématiques
Sommaire
  • 1Primitives d’une fonction
    • 1.1Primitives usuelles
  • 2Intégrale définie
  • 3Propriétés fondamentales de l’intégrale
  • 4Intégration par parties lock — section verrouillée
  • 5Changement de variable lock — section verrouillée
  • 6Parité et intervalle symétrique lock — section verrouillée
  • 7Interprétation géométrique lock — section verrouillée