B7 · Mécanique des fluides

Fluides parfaits : équation de continuité et théorème de Bernoulli

Établir la conservation du débit dans une conduite de section variable. Énoncer le théorème de Bernoulli, interpréter ses termes énergétiques et décrire l'effet Venturi.

Biophysique6 min de lecture15 QCM corrigés

Modèle du fluide parfait

L’étude d’un écoulement repose sur des grandeurs définies en chaque point et à chaque instant : la pression $p$ , la masse volumique $\rho$ et la vitesse d’écoulement $\vec v$ .

L’absence de viscosité n’implique pas nécessairement que la masse volumique soit constante. Pour établir les relations de cette fiche sous leur forme usuelle, on ajoute donc plusieurs hypothèses :

le fluide est incompressible, donc $\rho$ est constante ;
l’écoulement est stationnaire, donc les grandeurs en un point ne varient pas au cours du temps ;
la conduite est entièrement remplie ;
il n’existe ni apport ni retrait de fluide entre les sections considérées.

Dans un écoulement stationnaire, les lignes de courant ne changent pas avec le temps. Une particule fluide suit alors une ligne de courant.

Débit dans une conduite

Débit volumique

Si un volume $\Delta V$ traverse une section pendant une durée $\Delta t$ , le débit volumique moyen vaut $Q_v = \Delta V/\Delta t$ . Son unité dans le Système international est le mètre cube par seconde, $\mathrm{m^3\,s^{-1}}$ .

Pour une section plane d’aire $S$ , perpendiculaire à un écoulement dont la vitesse moyenne est $v$ , le volume traversant la section pendant $\Delta t$ est celui d’un cylindre de base $S$ et de longueur $v\Delta t$ . Il vaut donc $\Delta V = Sv\Delta t$ .

Exemple

Calculer un débit volumique à partir d’une section et d’une vitesse

Une conduite est traversée par un fluide à la vitesse moyenne $v = \mathrm{0{,}50\ m\,s^{-1}}$ à travers une section $S = \mathrm{4{,}0\ cm^2}$ .

La section doit d’abord être exprimée dans une unité SI :

S = \mathrm{4{,}0\ cm^2} = 4{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}

Le débit volumique vaut alors :

Q_v = Sv = 4{,}0 \times 10^{-4} \times 0{,}50 = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}

Ainsi, $\mathrm{2{,}0 \times 10^{-4}\ m^3}$ de fluide traversent cette section chaque seconde, soit $\mathrm{0{,}20\ L\,s^{-1}}$ .

La vitesse réelle peut ne pas être uniforme sur toute la section. Dans cette relation, $v$ désigne alors la vitesse moyenne perpendiculaire à la section.

Débit massique

La masse contenue dans un volume $\Delta V$ vaut $\Delta m = \rho\Delta V$ . Le débit massique est donc relié au débit volumique par $Q_m = \rho Q_v$ .

Conservation du débit

Considérons une portion de conduite comprise entre deux sections d’aires $S_1$ et $S_2$ . En régime stationnaire, aucune masse ne s’accumule durablement dans cette portion : pendant une même durée, la masse qui entre est égale à la masse qui sort. Cette propriété traduit la conservation de la masse.

Pour un fluide dont les masses volumiques aux deux sections sont $\rho_1$ et $\rho_2$ , la conservation du débit massique impose :

\rho_1S_1v_1 = \rho_2S_2v_2

Si le fluide est incompressible, $\rho_1 = \rho_2$ . La masse volumique se simplifie et le débit volumique devient constant.

Cette égalité montre que la vitesse varie en sens inverse de la section. Lorsque la conduite se rétrécit, un même volume doit franchir une aire plus petite pendant la même durée : la vitesse augmente. Lorsque la section s’élargit, la vitesse diminue.

Théorème de Bernoulli

Origine énergétique

Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie mécanique d’un fluide parfait. Considérons un même volume de fluide passant d’une première section à une seconde.

Les forces de pression fournissent un travail au fluide. Ce travail peut modifier :

son énergie cinétique, par variation de sa vitesse ;
son énergie potentielle de pesanteur, par variation d’altitude.

Comme le fluide est parfait, aucune énergie mécanique n’est dissipée par viscosité. La somme des trois contributions reste donc constante le long d’une ligne de courant.

Entre deux points d’une même ligne de courant, cette relation s’écrit :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gz_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gz_2

Exemple

Calculer une pression avec Bernoulli dans une conduite horizontale

De l’eau de masse volumique $\rho = \mathrm{1000\ kg\,m^{-3}}$ s’écoule dans une conduite horizontale. Au point 1, sa vitesse est $v_1 = \mathrm{1{,}0\ m\,s^{-1}}$ et sa pression est $p_1 = \mathrm{100\,000\ Pa}$ . Au point 2, la vitesse atteint $v_2 = \mathrm{3{,}0\ m\,s^{-1}}$ .

La conduite étant horizontale, les altitudes sont identiques. L’équation de Bernoulli donne :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2

Donc :

p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right)

p_2 = 100\,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times \left(1{,}0^2-3{,}0^2\right) = \mathrm{96\,000\ Pa}

La pression statique diminue de $\mathrm{4000\ Pa}$ entre les deux points. L’augmentation de l’énergie cinétique associée à l’accélération est compensée par cette baisse de pression.

Interprétation des termes

Chaque terme possède l’unité d’une pression, le pascal, mais aussi celle d’une énergie par unité de volume :

$p$ représente l’énergie de pression par unité de volume ;
$\frac{1}{2}\rho v^2$ représente l’énergie cinétique par unité de volume, parfois appelée pression dynamique ;
$\rho gz$ représente l’énergie potentielle de pesanteur par unité de volume.

Une augmentation de l’une de ces formes d’énergie doit être compensée par une diminution d’au moins une autre. Ainsi, une accélération du fluide peut s’accompagner d’une baisse de pression ou d’altitude.

Comparaison

Les trois termes de Bernoulli

Terme	Nature énergétique	Dépend principalement de
$p$	énergie de pression par unité de volume	pression statique
$\frac{1}{2}\rho v^2$	énergie cinétique par unité de volume	vitesse
$\rho gz$	énergie potentielle par unité de volume	altitude

Les lois de l’hydrostatique, étudiées dans la fiche précédente, correspondent au cas particulier où $v = 0$ . La viscosité, les pertes de charge et les écoulements réels relèvent de la fiche suivante.

Conditions de validité

Le théorème sous cette forme exige :

un écoulement stationnaire ;
un fluide parfait ;
un fluide incompressible ;
une comparaison le long d’une même ligne de courant ;
l’absence de dispositif ajoutant ou retirant de l’énergie mécanique entre les points étudiés.

Si l’écoulement est irrotationnel, la constante de Bernoulli est la même sur toutes les lignes de courant. Dans le cas général, elle peut différer d’une ligne à l’autre.

Effet Venturi

Dans une conduite horizontale, les deux points comparés ont la même altitude, donc $z_1 = z_2$ . Le terme gravitationnel se simplifie et Bernoulli devient :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2

Si $S_2$ est inférieure à $S_1$ , l’équation de continuité impose $v_2$ supérieure à $v_1$ . Le terme cinétique augmente donc dans le rétrécissement. Pour conserver la somme de Bernoulli, la pression statique doit diminuer : $p_2$ est inférieure à $p_1$ .

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B7 · Mécanique des fluides

Fluides parfaits : équation de continuité et théorème de Bernoulli

Établir la conservation du débit dans une conduite de section variable. Énoncer le théorème de Bernoulli, interpréter ses termes énergétiques et décrire l'effet Venturi.

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Modèle du fluide parfait

le fluide est incompressible, donc $\rho$ est constante ;
l’écoulement est stationnaire, donc les grandeurs en un point ne varient pas au cours du temps ;
la conduite est entièrement remplie ;
il n’existe ni apport ni retrait de fluide entre les sections considérées.

Dans un écoulement stationnaire, les lignes de courant ne changent pas avec le temps. Une particule fluide suit alors une ligne de courant.

Débit dans une conduite

Débit volumique

Exemple

Calculer un débit volumique à partir d’une section et d’une vitesse

Une conduite est traversée par un fluide à la vitesse moyenne $v = \mathrm{0{,}50\ m\,s^{-1}}$ à travers une section $S = \mathrm{4{,}0\ cm^2}$ .

La section doit d’abord être exprimée dans une unité SI :

S = \mathrm{4{,}0\ cm^2} = 4{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}

Le débit volumique vaut alors :

Q_v = Sv = 4{,}0 \times 10^{-4} \times 0{,}50 = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}

Ainsi, $\mathrm{2{,}0 \times 10^{-4}\ m^3}$ de fluide traversent cette section chaque seconde, soit $\mathrm{0{,}20\ L\,s^{-1}}$ .

La vitesse réelle peut ne pas être uniforme sur toute la section. Dans cette relation, $v$ désigne alors la vitesse moyenne perpendiculaire à la section.

Débit massique

La masse contenue dans un volume $\Delta V$ vaut $\Delta m = \rho\Delta V$ . Le débit massique est donc relié au débit volumique par $Q_m = \rho Q_v$ .

Conservation du débit

Pour un fluide dont les masses volumiques aux deux sections sont $\rho_1$ et $\rho_2$ , la conservation du débit massique impose :

\rho_1S_1v_1 = \rho_2S_2v_2

Si le fluide est incompressible, $\rho_1 = \rho_2$ . La masse volumique se simplifie et le débit volumique devient constant.

Théorème de Bernoulli

Origine énergétique

Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie mécanique d’un fluide parfait. Considérons un même volume de fluide passant d’une première section à une seconde.

Les forces de pression fournissent un travail au fluide. Ce travail peut modifier :

son énergie cinétique, par variation de sa vitesse ;
son énergie potentielle de pesanteur, par variation d’altitude.

Comme le fluide est parfait, aucune énergie mécanique n’est dissipée par viscosité. La somme des trois contributions reste donc constante le long d’une ligne de courant.

Entre deux points d’une même ligne de courant, cette relation s’écrit :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gz_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gz_2

Exemple

Calculer une pression avec Bernoulli dans une conduite horizontale

La conduite étant horizontale, les altitudes sont identiques. L’équation de Bernoulli donne :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2

Donc :

p_2 = p_1 + \frac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right)

p_2 = 100\,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times \left(1{,}0^2-3{,}0^2\right) = \mathrm{96\,000\ Pa}

La pression statique diminue de $\mathrm{4000\ Pa}$ entre les deux points. L’augmentation de l’énergie cinétique associée à l’accélération est compensée par cette baisse de pression.

Interprétation des termes

Chaque terme possède l’unité d’une pression, le pascal, mais aussi celle d’une énergie par unité de volume :

$p$ représente l’énergie de pression par unité de volume ;
$\frac{1}{2}\rho v^2$ représente l’énergie cinétique par unité de volume, parfois appelée pression dynamique ;
$\rho gz$ représente l’énergie potentielle de pesanteur par unité de volume.

Comparaison

Les trois termes de Bernoulli

Terme	Nature énergétique	Dépend principalement de
$p$	énergie de pression par unité de volume	pression statique
$\frac{1}{2}\rho v^2$	énergie cinétique par unité de volume	vitesse
$\rho gz$	énergie potentielle par unité de volume	altitude

Conditions de validité

Le théorème sous cette forme exige :

un écoulement stationnaire ;
un fluide parfait ;
un fluide incompressible ;
une comparaison le long d’une même ligne de courant ;
l’absence de dispositif ajoutant ou retirant de l’énergie mécanique entre les points étudiés.

Si l’écoulement est irrotationnel, la constante de Bernoulli est la même sur toutes les lignes de courant. Dans le cas général, elle peut différer d’une ligne à l’autre.

Effet Venturi

Dans une conduite horizontale, les deux points comparés ont la même altitude, donc $z_1 = z_2$ . Le terme gravitationnel se simplifie et Bernoulli devient :

p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2

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