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Sommaire

  • 1La viscosité, signature d’un fluide réel
  • 2Fluides newtoniens et non newtoniens
  • 3Écoulement laminaire dans un tube cylindrique
    • 3.1Établissement du profil de vitesse
  • 4Loi de Poiseuille lock — section verrouillée
    • 4.1Résistance hydraulique lock — section verrouillée
  • 5Nombre de Reynolds et nature du régime lock — section verrouillée
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B7 · Mécanique des fluides

Fluides réels : viscosité, loi de Poiseuille et nombre de Reynolds

Définir la viscosité et distinguer fluides newtoniens et non newtoniens. Établir la loi de Poiseuille et la résistance à l'écoulement, et utiliser le nombre de Reynolds pour caractériser un régime laminaire ou turbulent.

Biophysique·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

La viscosité, signature d’un fluide réel

Un fluide parfait est un modèle sans viscosité, étudié avec l’équation de continuité et le théorème de Bernoulli dans la fiche précédente. Un fluide réel, au contraire, dissipe une partie de l’énergie mécanique lorsqu’il s’écoule, car ses couches voisines exercent des forces tangentielles les unes sur les autres.

Définition

Viscosité dynamique η\etaη

Grandeur qui mesure la résistance interne d’un fluide au glissement relatif de ses couches. Son unité dans le Système international est le pascal-seconde, noté Pa ⋅ s\pu{Pa.s}Pa⋅s.

Considérons des couches parallèles se déplaçant à des vitesses différentes. La variation de la vitesse selon la direction perpendiculaire à l’écoulement constitue le gradient de vitesse. Plus ce gradient est élevé, plus les couches tendent à glisser rapidement les unes par rapport aux autres.

La force tangentielle rapportée à la surface sur laquelle elle s’exerce définit la contrainte de cisaillement τ\tauτ, exprimée en pascals. Dans un fluide newtonien, cette contrainte est proportionnelle au gradient de vitesse.

Formule

Loi de viscosité de Newton

τ=ηdvdy\tau = \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}τ=ηdydv​
  • τ\tauτ : contrainte de cisaillement, en pascals
  • η\etaη : viscosité dynamique, en pascal-secondes
  • vvv : vitesse locale du fluide, en mètres par seconde
  • yyy : coordonnée perpendiculaire à la direction de l’écoulement, en mètres
  • dvdy\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}dydv​ : gradient de vitesse, en secondes moins un

Le signe de la force visqueuse est opposé au glissement relatif. La relation précédente exprime donc surtout la proportionnalité entre les valeurs de la contrainte et du gradient.

La viscosité dépend notamment de la température. Elle ne doit pas être confondue avec la masse volumique ρ\rhoρ, qui représente la masse par unité de volume.

Définition

Viscosité cinématique ν\nuν

Rapport entre la viscosité dynamique η\etaη et la masse volumique ρ\rhoρ, soit ν=ηρ\nu=\frac{\eta}{\rho}ν=ρη​. Elle s’exprime en mètres carrés par seconde.

Fluides newtoniens et non newtoniens

Définition

Fluide newtonien

Fluide pour lequel la contrainte de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse, avec une viscosité η\etaη indépendante de ce gradient à température et pression fixées.

La représentation de τ\tauτ en fonction du gradient de vitesse est alors une droite passant par l’origine. La pente de cette droite est la viscosité dynamique.

Définition

Fluide non newtonien

Fluide pour lequel la contrainte de cisaillement n’est pas proportionnelle au gradient de vitesse. Sa viscosité apparente dépend des conditions de cisaillement et parfois de leur durée.

La viscosité apparente est le rapport entre la contrainte de cisaillement et le gradient de vitesse à un état donné. Elle peut diminuer quand le cisaillement augmente, augmenter avec lui, ou dépendre de l’histoire mécanique du fluide. Certains fluides ne commencent à s’écouler qu’après le dépassement d’une contrainte seuil.

Comparaison

Fluides newtoniens et non newtoniens

CritèreFluide newtonienFluide non newtonien
Relation entre contrainte et gradientproportionnellenon proportionnelle
Viscosité à température fixéeconstanteapparente et variable
Courbe de cisaillementdroite passant par l’originecourbe ou présence d’un seuil
Validité directe de la loi de Poiseuilleoui sous ses autres hypothèsesnon en général
Attention

Viscosité élevée et vitesse élevée

Une viscosité élevée signifie une forte résistance au cisaillement. Elle n’implique pas une vitesse élevée et tend au contraire, à différence de pression fixée, à diminuer le débit.

Écoulement laminaire dans un tube cylindrique

Définition

Écoulement laminaire

Régime dans lequel les particules fluides suivent des trajectoires régulières organisées en couches, sans mélange transversal macroscopique.

Considérons un tube cylindrique droit de rayon intérieur RRR et de longueur LLL. Le fluide est supposé newtonien, incompressible, en régime permanent et laminaire. Le tube est rigide, son rayon est constant et l’écoulement est pleinement établi. La vitesse est donc parallèle à l’axe et ne dépend que de la distance rrr à cet axe.

La condition de non-glissement impose que la vitesse du fluide soit nulle au contact de la paroi. Elle est maximale sur l’axe, où le gradient radial de vitesse est nul.

Établissement du profil de vitesse

Isolons un cylindre de fluide de rayon rrr et de longueur LLL. La différence de pression ΔP\Delta PΔP entre l’entrée et la sortie exerce sur lui une force motrice :

FP=ΔP πr2F_P=\Delta P\,\pi r^2FP​=ΔPπr2

La viscosité exerce sur sa surface latérale une force opposée au mouvement :

Fη=−ηdvdr 2πrLF_\eta=-\eta\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\,2\pi rLFη​=−ηdrdv​2πrL

En régime permanent, l’accélération est nulle et ces forces se compensent. On obtient :

−dvdr=ΔP2ηLr-\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=\frac{\Delta P}{2\eta L}r−drdv​=2ηLΔP​r

L’intégration selon rrr, associée à la condition v(R)=0v(R)=0v(R)=0, donne un profil parabolique :

v(r)=ΔP4ηL(R2−r2)v(r)=\frac{\Delta P}{4\eta L}\left(R^2-r^2\right)v(r)=4ηLΔP​(R2−r2)

La vitesse est donc maximale sur l’axe et décroît jusqu’à zéro à la paroi. Le débit volumique QQQ s’obtient en additionnant les débits traversant les couronnes concentriques de surface élémentaire 2πr dr2\pi r\,\mathrm{d}r2πrdr.

Loi de Poiseuille

Formule

Loi de Poiseuille

Q=πR48ηLΔPQ=\frac{\pi R^4}{8\eta L}\Delta PQ=8ηLπR4​ΔP
  • QQQ : débit volumique, en mètres cubes par seconde
  • RRR : rayon intérieur du tube, en mètres
  • η\etaη : viscosité dynamique du fluide, en pascal-secondes
  • LLL : longueur du tube, en mètres
  • ΔP\Delta PΔP : différence de pression motrice entre l’entrée et la sortie, en pascals
  • π\piπ : constante géométrique sans dimension

Le débit est proportionnel à la différence de pression et inversement proportionnel à la viscosité et à la longueur. Sa dépendance en R4R^4R4 signifie qu’une variation du rayon modifie très fortement le débit.

Exemple

Effet d’un doublement du rayon sur le débit

Dans un tube cylindrique, les paramètres restent constants sauf le rayon :

  • différence de pression : ΔP=1,0⋅103 Pa\Delta P=\pu{1,0e3 Pa}ΔP=1,0⋅103 Pa
  • viscosité dynamique : η=1,0⋅10−3 Pa ⋅ s\eta=\pu{1,0e-3 Pa.s}η=1,0⋅10−3 Pa⋅s
  • longueur : L=0,10 mL=\pu{0,10 m}L=0,10 m
  • rayon initial : R1=1,0 mmR_1=\pu{1,0 mm}R1​=1,0 mm

Le débit initial vaut :

Q1=πR14ΔP8ηL=3,9⋅10−6 m3/s=3,9 mL/sQ_1=\frac{\pi R_1^4\Delta P}{8\eta L}=\pu{3,9e-6 m3/s}=\pu{3,9 mL/s}Q1​=8ηLπR14​ΔP​=3,9⋅10−6 m3/s=3,9 mL/s

Si le rayon est doublé, R2=2R1R_2=2R_1R2​=2R1​, les autres paramètres étant inchangés :

Q2Q1=(R2R1)4=24=16\frac{Q_2}{Q_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^4=2^4=16Q1​Q2​​=(R1​R2​​)4=24=16

Le nouveau débit est donc Q2=16Q1=62 mL/sQ_2=16Q_1=\pu{62 mL/s}Q2​=16Q1​=62 mL/s. Un doublement du rayon multiplie le débit par 161616, ce qui illustre la forte dépendance de la loi de Poiseuille au rayon.

La vitesse moyenne vˉ\bar vvˉ est reliée au débit par Q=vˉπR2Q=\bar v\pi R^2Q=vˉπR2. Pour le profil parabolique de Poiseuille, elle vaut la moitié de la vitesse maximale située sur l’axe.

Résistance hydraulique

Définition

Résistance hydraulique R\mathcal{R}R

Rapport entre la différence de pression nécessaire à l’écoulement et le débit volumique obtenu, soit R=ΔPQ\mathcal{R}=\frac{\Delta P}{Q}R=QΔP​.

Formule

Résistance d’un tube cylindrique

R=8ηLπR4etΔP=RQ\mathcal{R}=\frac{8\eta L}{\pi R^4} \qquad\text{et}\qquad \Delta P=\mathcal{R}QR=πR48ηL​etΔP=RQ
  • R\mathcal{R}R : résistance hydraulique, en pascal-secondes par mètre cube
  • η\etaη : viscosité dynamique, en pascal-secondes
  • LLL : longueur du tube, en mètres
  • π\piπ : constante géométrique sans dimension
  • RRR : rayon intérieur du tube, en mètres
  • ΔP\Delta PΔP : différence de pression, en pascals
  • QQQ : débit volumique, en mètres cubes par seconde
À retenir

Dépendance au rayon

La résistance hydraulique est proportionnelle à 1R4\frac{1}{R^4}R41​. Le rayon est donc le paramètre géométrique qui influence le plus fortement l’écoulement de Poiseuille.

Attention

Domaine de validité de Poiseuille

La loi de Poiseuille exige un fluide newtonien, un régime laminaire permanent, un tube droit, cylindrique et rigide, ainsi qu’un écoulement pleinement établi. Elle n’est pas directement applicable si ces hypothèses ne sont pas satisfaites.

Nombre de Reynolds et nature du régime

Lorsque la vitesse augmente, les effets d’inertie favorisent les perturbations, tandis que la viscosité tend à les amortir. Le rapport entre ces deux influences est mesuré par le nombre de Reynolds.

Définition

Nombre de Reynolds Re\mathrm{Re}Re

Nombre sans dimension qui compare les effets d’inertie aux effets visqueux dans un écoulement.

Formule

Nombre de Reynolds dans un tube

Re=ρvˉDη=vˉDν\mathrm{Re}=\frac{\rho\bar vD}{\eta} =\frac{\bar vD}{\nu}Re=ηρvˉD​=νvˉD​
  • Re\mathrm{Re}Re : nombre de Reynolds, sans dimension
  • ρ\rhoρ : masse volumique du fluide, en kilogrammes par mètre cube
  • vˉ\bar vvˉ : vitesse moyenne, en mètres par seconde
  • DDD : diamètre intérieur du tube, en mètres
  • η\etaη : viscosité dynamique, en pascal-secondes
  • ν\nuν : viscosité cinématique, en mètres carrés par seconde

Un faible nombre de Reynolds traduit une domination des effets visqueux et favorise un régime laminaire. Un nombre élevé traduit une domination de l’inertie et favorise un régime turbulent.

Définition

Écoulement turbulent

Régime irrégulier comportant des fluctuations de vitesse et des mouvements transversaux qui provoquent un mélange macroscopique et une dissipation énergétique accrue.

Dans un tube cylindrique droit, un régime est généralement laminaire pour Re<2000\mathrm{Re} < 2000Re<2000, transitionnel entre environ 200020002000 et 400040004000, puis turbulent au-delà de 400040004000. Ces valeurs ne sont pas universelles : la géométrie, les irrégularités des parois et les perturbations d’entrée déplacent la transition.

Exemple

Calcul du nombre de Reynolds dans un tube

Un liquide newtonien circule dans un tube cylindrique droit avec les données suivantes :

  • masse volumique : ρ=1,0⋅103 kg/m3\rho=\pu{1,0e3 kg/m3}ρ=1,0⋅103 kg/m3
  • viscosité dynamique : η=1,0⋅10−3 Pa ⋅ s\eta=\pu{1,0e-3 Pa.s}η=1,0⋅10−3 Pa⋅s
  • vitesse moyenne : vˉ=0,20 m/s\bar v=\pu{0,20 m/s}vˉ=0,20 m/s
  • diamètre intérieur : D=4,0 mm=4,0⋅10−3 mD=\pu{4,0 mm}=\pu{4,0e-3 m}D=4,0 mm=4,0⋅10−3 m

Le nombre de Reynolds est :

Re=ρvˉDη=1,0×103×0,20×4,0×10−31,0×10−3=800\mathrm{Re}=\frac{\rho\bar vD}{\eta}=\frac{1{,}0\times10^3\times0{,}20\times4{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=800Re=ηρvˉD​=1,0×10−31,0×103×0,20×4,0×10−3​=800

Comme 800800800 est inférieur à 200020002000, l’écoulement est généralement laminaire dans ce tube. Les effets visqueux dominent suffisamment les effets d’inertie pour amortir les perturbations.

En régime turbulent, le profil de vitesse n’est plus parabolique et la relation linéaire ΔP=RQ\Delta P=\mathcal{R}QΔP=RQ issue de Poiseuille n’est plus valable.

Méthode

Caractériser un écoulement dans un tube

  1. Vérifier la nature newtonienne du fluide et identifier ρ\rhoρ, η\etaη, vˉ\bar vvˉ et DDD
  2. Calculer le nombre de Reynolds Re=ρvˉDη\mathrm{Re}=\frac{\rho\bar vD}{\eta}Re=ηρvˉD​
  3. Comparer sa valeur aux domaines laminaire, transitionnel et turbulent
  4. N’utiliser la loi de Poiseuille que si le régime est laminaire et si ses autres hypothèses sont satisfaites
Points clés
  • La viscosité mesure la résistance interne d’un fluide au cisaillement
  • Un fluide newtonien possède une viscosité indépendante du gradient de vitesse à température fixée
  • La loi de Poiseuille donne Q=πR4ΔP8ηLQ=\frac{\pi R^4\Delta P}{8\eta L}Q=8ηLπR4ΔP​ pour un écoulement laminaire pleinement établi
  • La résistance hydraulique vaut R=8ηLπR4\mathcal{R}=\frac{8\eta L}{\pi R^4}R=πR48ηL​
  • Le nombre de Reynolds compare l’inertie aux effets visqueux et caractérise le régime d’écoulement
  • La loi de Poiseuille cesse d’être valide en régime turbulent

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