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Sommaire

  • 1Grandeur, valeur numérique et unité
  • 2Grandeurs et unités de base du SI
  • 3Grandeurs dérivées et dimensions
  • 4Équations aux dimensions lock — section verrouillée
  • 5Conversion des unités lock — section verrouillée
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  5. Grandeurs, unités du Système international et équations aux dimensions

B10 · Métrologie

Grandeurs, unités du Système international et équations aux dimensions

Distinguer grandeurs de base et grandeurs dérivées et écrire leurs dimensions. Contrôler l'homogénéité d'une relation et convertir une grandeur d'un système d'unités à un autre.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Grandeur, valeur numérique et unité

Définition

Grandeur

Propriété d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance que l’on peut exprimer quantitativement par un nombre associé à une référence.

Une grandeur QQQ s’écrit comme le produit d’une valeur numérique qqq par une unité uuu :

Q=q uQ = q\,uQ=qu

La grandeur physique ne dépend pas de l’unité choisie. En revanche, sa valeur numérique change lorsque l’unité change. Une unité plus petite conduit ainsi à une valeur numérique plus grande pour une même grandeur.

Exemple

Changer d’unité modifie la valeur numérique

Une longueur vaut 2,4 m2{,}4\ \mathrm{m}2,4 m.

Comme 1 m=100 cm1\ \mathrm{m} = 100\ \mathrm{cm}1 m=100 cm :

2,4 m=2,4×100 cm=240 cm2{,}4\ \mathrm{m} = 2{,}4\times 100\ \mathrm{cm} = 240\ \mathrm{cm}2,4 m=2,4×100 cm=240 cm.

La grandeur est inchangée, mais sa valeur numérique passe de 2,42{,}42,4 à 240240240 car le centimètre est une unité plus petite que le mètre.

Définition

Unité de mesure

Grandeur particulière, définie par convention, utilisée comme référence pour exprimer les grandeurs de même nature.

Deux grandeurs sont de même nature lorsqu’elles peuvent être comparées entre elles et exprimées dans la même unité. Une distance et une hauteur sont de même nature, tandis qu’une longueur et une durée ne le sont pas.

Définition

Système international d’unités

Système cohérent d’unités, noté SI, construit à partir de sept unités de base et des unités dérivées qui en résultent.

Un système est dit cohérent lorsque les unités dérivées sont obtenues à partir des unités de base sans introduire de facteur numérique supplémentaire.

Grandeurs et unités de base du SI

Définition

Grandeur de base

Grandeur choisie comme indépendante des autres grandeurs dans un système donné. Sa dimension constitue l’une des dimensions fondamentales de ce système.

Le SI repose sur sept grandeurs de base :

  • la longueur, de dimension L\mathrm{L}L, dont l’unité est le mètre, symbole m\mathrm{m}m ;
  • la masse, de dimension M\mathrm{M}M, dont l’unité est le kilogramme, symbole kg\mathrm{kg}kg ;
  • la durée, de dimension T\mathrm{T}T, dont l’unité est la seconde, symbole s\mathrm{s}s ;
  • l’intensité du courant électrique, de dimension I\mathrm{I}I, dont l’unité est l’ampère, symbole A\mathrm{A}A ;
  • la température thermodynamique, de dimension Θ\mathrm{\Theta}Θ, dont l’unité est le kelvin, symbole K\mathrm{K}K ;
  • la quantité de matière, de dimension N\mathrm{N}N, dont l’unité est la mole, symbole mol\mathrm{mol}mol ;
  • l’intensité lumineuse, de dimension J\mathrm{J}J, dont l’unité est la candela, symbole cd\mathrm{cd}cd.

Les symboles des unités sont invariables et ne prennent pas de point final, sauf lorsqu’ils terminent une phrase. Ils se distinguent des noms d’unités, qui sont écrits en toutes lettres.

Attention

Masse et poids

La masse est une grandeur de base exprimée en kilogrammes. Le poids est une force, donc une grandeur dérivée exprimée en newtons. Ces deux grandeurs n’ont ni la même nature ni la même dimension.

Grandeurs dérivées et dimensions

Définition

Grandeur dérivée

Grandeur définie à partir des grandeurs de base par une relation algébrique faisant intervenir des produits, des quotients ou des puissances.

La vitesse possède ainsi une dimension construite à partir d’une longueur divisée par une durée. Une grandeur dérivée peut être exprimée directement avec les unités de base ou au moyen d’une unité dérivée portant un nom particulier.

Parmi les dimensions dérivées fondamentales à reconnaître figurent :

  • une surface : L2\mathrm{L^2}L2, en m2\mathrm{m^2}m2 ;
  • un volume : L3\mathrm{L^3}L3, en m3\mathrm{m^3}m3 ;
  • une vitesse : L T−1\mathrm{L\,T^{-1}}LT−1, en m s−1\mathrm{m\,s^{-1}}ms−1 ;
  • une accélération : L T−2\mathrm{L\,T^{-2}}LT−2, en m s−2\mathrm{m\,s^{-2}}ms−2 ;
  • une force : M L T−2\mathrm{M\,L\,T^{-2}}MLT−2, en newtons, avec N=kg m s−2\mathrm{N = kg\,m\,s^{-2}}N=kgms−2 ;
  • une énergie : M L2 T−2\mathrm{M\,L^2\,T^{-2}}ML2T−2, en joules, avec J=kg m2 s−2\mathrm{J = kg\,m^2\,s^{-2}}J=kgm2s−2 ;
  • une pression : M L−1 T−2\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}}ML−1T−2, en pascals, avec Pa=kg m−1 s−2\mathrm{Pa = kg\,m^{-1}\,s^{-2}}Pa=kgm−1s−2 ;
  • une concentration en quantité de matière : N L−3\mathrm{N\,L^{-3}}NL−3, en mol m−3\mathrm{mol\,m^{-3}}molm−3.
Attention

Symboles identiques, significations différentes

Dans une équation aux dimensions, N\mathrm{N}N désigne la dimension de la quantité de matière et J\mathrm{J}J celle de l’intensité lumineuse. Dans une expression d’unité, N\mathrm{N}N désigne le newton et J\mathrm{J}J le joule. Le contexte permet de les distinguer.

Formule

Écriture générale d’une dimension

[Q]=LαMβTγIδΘεNζJη[Q] = \mathrm{L^{\alpha}M^{\beta}T^{\gamma}I^{\delta}\Theta^{\varepsilon}N^{\zeta}J^{\eta}}[Q]=LαMβTγIδΘεNζJη
  • [Q][Q][Q] : dimension de la grandeur QQQ
  • L\mathrm{L}L : dimension de longueur
  • M\mathrm{M}M : dimension de masse
  • T\mathrm{T}T : dimension de durée
  • I\mathrm{I}I : dimension d’intensité électrique
  • Θ\mathrm{\Theta}Θ : dimension de température thermodynamique
  • N\mathrm{N}N : dimension de quantité de matière
  • J\mathrm{J}J : dimension d’intensité lumineuse
  • α\alphaα, β\betaβ, γ\gammaγ, δ\deltaδ, ε\varepsilonε, ζ\zetaζ et η\etaη : exposants réels caractérisant la grandeur
Définition

Grandeur sans dimension

Grandeur dont tous les exposants dimensionnels sont nuls, de sorte que sa dimension vaut 111.

Un rapport de deux grandeurs de même dimension est sans dimension. Son unité cohérente dans le SI est le nombre 111, généralement omis. Les arguments d’une exponentielle, d’un logarithme ou d’une fonction trigonométrique doivent être sans dimension.

Comparaison

Dimension et unité

CritèreDimensionUnité
Significationnature algébrique de la grandeurréférence choisie pour la mesurer
Dépendance au système d’unitésindépendante du choix des unitésdépend du système adopté
Notation[Q][Q][Q] ou combinaison de dimensions de basesymbole tel que m\mathrm{m}m, s\mathrm{s}s ou kg\mathrm{kg}kg
Changement d’unitéreste inchangéemodifie la valeur numérique associée

Équations aux dimensions

Définition

Équation aux dimensions

Relation obtenue en remplaçant chaque grandeur d’une équation par sa dimension.

Les dimensions suivent les règles du calcul algébrique :

  • [Q1Q2]=[Q1][Q2][Q_1Q_2] = [Q_1][Q_2][Q1​Q2​]=[Q1​][Q2​] pour un produit ;
  • [Q1Q2]=[Q1][Q2]\left[\frac{Q_1}{Q_2}\right] = \frac{[Q_1]}{[Q_2]}[Q2​Q1​​]=[Q2​][Q1​]​ pour un quotient ;
  • [Qa]=[Q]a[Q^a] = [Q]^a[Qa]=[Q]a pour une puissance d’exposant aaa ;
  • un coefficient numérique pur est sans dimension.
Définition

Homogénéité dimensionnelle

Propriété d’une relation dans laquelle les deux membres d’une égalité, ainsi que tous les termes reliés par une addition ou une soustraction, possèdent la même dimension.

L’homogénéité est nécessaire parce qu’une égalité compare des grandeurs de même nature. Additionner des grandeurs de dimensions différentes n’a aucun sens physique, même si leurs valeurs numériques peuvent fortuitement être identiques.

Méthode

Contrôler l’homogénéité d’une relation

  1. Écrire la dimension de chaque grandeur présente dans la relation.
  2. Remplacer les produits, quotients et puissances par les opérations correspondantes sur les dimensions.
  3. Réduire chaque terme en puissances des sept dimensions de base.
  4. Vérifier que tous les termes additionnés ou soustraits ont la même dimension.
  5. Vérifier que les deux membres de l’égalité possèdent exactement les mêmes exposants dimensionnels.
Exemple

Contrôler l’homogénéité d’une relation de position

La relation x=vt+12at2x = v t + \frac{1}{2}a t^2x=vt+21​at2 est utilisée avec v=3 m s−1v = 3\ \mathrm{m\,s^{-1}}v=3 ms−1, a=2 m s−2a = 2\ \mathrm{m\,s^{-2}}a=2 ms−2 et t=4 st = 4\ \mathrm{s}t=4 s.

Les dimensions des deux termes du membre de droite sont :

[vt]=L T−1×T=L[v t] = \mathrm{L\,T^{-1}}\times\mathrm{T} = \mathrm{L}[vt]=LT−1×T=L

[at2]=L T−2×T2=L[a t^2] = \mathrm{L\,T^{-2}}\times\mathrm{T^2} = \mathrm{L}[at2]=LT−2×T2=L.

Les deux termes peuvent donc être additionnés et ont la même dimension que xxx, une longueur. Numériquement :

x=3×4+12×2×42=12+16=28 mx = 3\times 4 + \frac{1}{2}\times 2\times 4^2 = 12 + 16 = 28\ \mathrm{m}x=3×4+21​×2×42=12+16=28 m.

La relation est homogène. Le résultat représente une longueur de 28 m28\ \mathrm{m}28 m.

À retenir

Une relation non homogène est nécessairement fausse. Une relation homogène n’est pas nécessairement juste, car l’analyse dimensionnelle ne détermine ni les coefficients numériques sans dimension ni la forme complète de la loi.

Conversion des unités

Lors d’une conversion, la grandeur reste identique : seules l’unité et la valeur numérique qui lui est associée changent.

Formule

Relation générale de conversion

Q=q u=q′ u′⟹q′=q uu′Q = q\,u = q'\,u' \qquad\Longrightarrow\qquad q' = q\,\frac{u}{u'}Q=qu=q′u′⟹q′=qu′u​
  • QQQ : grandeur considérée
  • qqq : valeur numérique de QQQ dans l’unité uuu
  • uuu : unité initiale
  • q′q'q′ : valeur numérique de QQQ dans l’unité u′u'u′
  • u′u'u′ : unité finale

Les préfixes SI correspondent à des puissances de dix. Parmi les plus usuels, kilo vaut 10310^3103, centi vaut 10−210^{-2}10−2, milli vaut 10−310^{-3}10−3, micro vaut 10−610^{-6}10−6 et nano vaut 10−910^{-9}10−9. Le préfixe fait partie de l’unité : lorsqu’une unité est élevée à une puissance, son facteur de conversion l’est aussi.

Ainsi, si une unité préfixée est égale à 10p10^p10p fois l’unité de référence, alors :

(10pu)n=10pnun(10^p u)^n = 10^{pn}u^n(10pu)n=10pnun

Cette règle est indispensable pour les surfaces et les volumes. Convertir séparément le nombre et l’unité sans tenir compte de l’exposant produit une erreur.

Exemple

Convertir une surface de centimètres carrés en mètres carrés

Une surface de 2,5 cm22{,}5\ \mathrm{cm^2}2,5 cm2 doit être exprimée en mètres carrés.

Comme 1 cm=10−2 m1\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\ \mathrm{m}1 cm=10−2 m, le facteur doit être élevé au carré :

S=2,5×(10−2 m)2S = 2{,}5\times(10^{-2}\ \mathrm{m})^2S=2,5×(10−2 m)2

S=2,5×10−4 m2=0,00025 m2S = 2{,}5\times 10^{-4}\ \mathrm{m^2} = 0{,}00025\ \mathrm{m^2}S=2,5×10−4 m2=0,00025 m2.

La surface vaut donc 0,00025 m20{,}00025\ \mathrm{m^2}0,00025 m2. Le facteur de conversion est 10−410^{-4}10−4 et non 10−210^{-2}10−2, car il s’agit d’une surface.

Méthode

Convertir une grandeur

  1. Écrire la grandeur sous la forme valeur numérique multipliée par unité initiale.
  2. Exprimer l’unité initiale en fonction de l’unité finale.
  3. Élever le facteur de conversion à la puissance portée par l’unité.
  4. Regrouper les facteurs numériques sans modifier la grandeur.
  5. Vérifier que l’unité finale et la dimension attendue sont correctes.

Certaines échelles comportent un décalage d’origine. Leur conversion est alors affine et ne se réduit pas à une simple multiplication. C’est notamment le cas entre une température thermodynamique en kelvins et une température exprimée en degrés Celsius. Les écarts de température ont le même facteur d’échelle, mais les valeurs ne possèdent pas la même origine.

Exemple

Convertir une température Celsius en kelvins

Une température de 202020 °C est convertie en kelvins avec la relation T=θ+273,15T = \theta + 273{,}15T=θ+273,15, où TTT est la température en kelvins et θ\thetaθ la température en degrés Celsius.

T=20+273,15=293,15 KT = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\ \mathrm{K}T=20+273,15=293,15 K.

La température correspond donc à 293,15 K293{,}15\ \mathrm{K}293,15 K. En revanche, un écart entre 202020 °C et 252525 °C vaut 555 °C, soit aussi ΔT=5 K\Delta T = 5\ \mathrm{K}ΔT=5 K : le décalage d’origine disparaît pour un écart de température.

À retenir

Principe invariant

Une conversion correcte conserve la grandeur et sa dimension : q u=q′ u′q\,u = q'\,u'qu=q′u′. Elle ne conserve généralement pas la valeur numérique.

Les ordres de grandeur, les chiffres significatifs, les incertitudes et les qualités d’une mesure relèvent des fiches suivantes du sous-bloc.

Points clés
  • Le SI repose sur sept grandeurs de base et sept unités de base.
  • Toute grandeur dérivée possède une dimension exprimable comme un produit de puissances des dimensions fondamentales.
  • Une équation homogène impose la même dimension dans les deux membres et entre tous les termes additionnés.
  • L’analyse dimensionnelle peut réfuter une relation, mais ne suffit pas à en démontrer l’exactitude.
  • Une conversion modifie conjointement la valeur numérique et l’unité sans modifier la grandeur.
  • Pour une unité élevée à la puissance nnn, le facteur de conversion doit également être élevé à la puissance nnn.

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Métrologie.

  • Fiche 02Ordres de grandeur et chiffres significatifsMétrologie
  • Fiche 03Incertitudes de mesure et propagation des erreursMétrologie
  • Fiche 04Valeur et limites d'une mesure biologiqueMétrologie
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  • 2Grandeurs et unités de base du SI
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