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Sommaire

  • 1Écriture décimale et puissances de dix
    • 1.1Notation scientifique
  • 2Préfixes décimaux lock — section verrouillée
  • 3Ordre de grandeur lock — section verrouillée
  • 4Chiffres significatifs lock — section verrouillée
  • 5Arrondir correctement lock — section verrouillée
  • 6Conservation des chiffres significatifs dans un calcul lock — section verrouillée
    • 6.1Multiplication et division lock — section verrouillée
    • 6.2Addition et soustraction lock — section verrouillée
    • 6.3Calculs comportant plusieurs opérations lock — section verrouillée
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B10 · Métrologie

Ordres de grandeur et chiffres significatifs

Manipuler les préfixes décimaux et la notation scientifique et estimer un ordre de grandeur. Appliquer les règles de conservation des chiffres significatifs dans un calcul.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule3 min de lecture·quiz17 QCM corrigés

Écriture décimale et puissances de dix

Une mesure ou un résultat peut être très grand ou très petit. Les puissances de dix permettent d’en simplifier l’écriture et de comparer rapidement les échelles numériques.

Définition

Puissance de dix

Nombre de la forme 10n10^n10n, où nnn est un entier relatif appelé exposant. Un exposant positif correspond à une multiplication répétée par 101010, tandis qu’un exposant négatif correspond à une division répétée par 101010.

Les règles de calcul essentielles sont :

  • 10p×10q=10p+q10^p \times 10^q = 10^{p+q}10p×10q=10p+q
  • 10p10q=10p−q\dfrac{10^p}{10^q} = 10^{p-q}10q10p​=10p−q
  • (10p)q=10pq\left(10^p\right)^q = 10^{pq}(10p)q=10pq

où ppp et qqq sont des entiers relatifs.

Notation scientifique

Définition

Notation scientifique

Écriture d’un nombre non nul sous la forme a×10na \times 10^na×10n, avec 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10, où aaa est la mantisse décimale et nnn un entier relatif.

Le signe du nombre est porté par aaa. L’écriture scientifique est normalisée, donc unique pour un nombre donné dès que le nombre de chiffres conservés est fixé.

Méthode

Écrire un nombre en notation scientifique

  1. Déplacer la virgule afin de n’avoir qu’un seul chiffre non nul avant celle-ci
  2. Compter le nombre de rangs parcourus par la virgule
  3. Affecter un exposant positif si la virgule a été déplacée vers la gauche
  4. Affecter un exposant négatif si la virgule a été déplacée vers la droite
  5. Conserver uniquement les chiffres significatifs autorisés par la donnée
Exemple

Écrire un petit nombre en notation scientifique

La valeur 0,0045600{,}0045600,004560 s’écrit avec un seul chiffre non nul avant la virgule en déplaçant celle-ci de trois rangs vers la droite :

0,004560=4,560×10−30{,}004560 = 4{,}560 \times 10^{-3}0,004560=4,560×10−3

L’exposant est négatif car la virgule a été déplacée vers la droite. La mantisse 4,5604{,}5604,560 comporte quatre chiffres significatifs : le zéro final écrit est significatif.

La notation scientifique rend explicites à la fois l’échelle du nombre, portée par 10n10^n10n, et la précision de son écriture, portée par les chiffres de aaa.

Préfixes décimaux

Définition

Préfixe décimal

Symbole placé devant une unité pour indiquer que celle-ci est multipliée par une puissance déterminée de dix.

Les préfixes les plus courants pour les multiples sont :

  • déca, symbole da\mathrm{da}da : facteur 10110^1101
  • hecto, symbole h\mathrm{h}h : facteur 10210^2102
  • kilo, symbole k\mathrm{k}k : facteur 10310^3103
  • méga, symbole M\mathrm{M}M : facteur 10610^6106
  • giga, symbole G\mathrm{G}G : facteur 10910^9109
  • téra, symbole T\mathrm{T}T : facteur 101210^{12}1012

Les préfixes les plus courants pour les sous-multiples sont :

  • déci, symbole d\mathrm{d}d : facteur 10−110^{-1}10−1
  • centi, symbole c\mathrm{c}c : facteur 10−210^{-2}10−2
  • milli, symbole m\mathrm{m}m : facteur 10−310^{-3}10−3
  • micro, symbole μ\mathrm{\mu}μ : facteur 10−610^{-6}10−6
  • nano, symbole n\mathrm{n}n : facteur 10−910^{-9}10−9
  • pico, symbole p\mathrm{p}p : facteur 10−1210^{-12}10−12
  • femto, symbole f\mathrm{f}f : facteur 10−1510^{-15}10−15
Formule

Signification d’un préfixe décimal

x pU=x×10k Ux\,\mathrm{pU} = x \times 10^k\,\mathrm{U}xpU=x×10kU
  • xxx : valeur numérique
  • p\mathrm{p}p : symbole du préfixe
  • U\mathrm{U}U : symbole de l’unité sans préfixe
  • kkk : exposant décimal associé au préfixe

Pour convertir une valeur, il faut remplacer chaque préfixe par sa puissance de dix, effectuer le calcul sur les puissances, puis choisir l’écriture finale souhaitée. Le changement de préfixe modifie la valeur numérique affichée, mais pas la grandeur physique représentée.

Exemple

Convertir des millimoles en moles

Une concentration de 2,50 mmol ⋅ L−12{,}50\,\pu{mmol.L^{-1}}2,50mmol⋅L−1 doit être exprimée en mol ⋅ L−1\pu{mol.L^{-1}}mol⋅L−1.

Le préfixe milli correspond à 10−310^{-3}10−3 :

2,50 mmol ⋅ L−1=2,50×10−3 mol ⋅ L−12{,}50\,\pu{mmol.L^{-1}} = 2{,}50 \times 10^{-3}\,\pu{mol.L^{-1}}2,50mmol⋅L−1=2,50×10−3mol⋅L−1

La concentration physique est inchangée ; seule sa valeur numérique est écrite avec une autre unité. Les trois chiffres significatifs de 2,502{,}502,50 sont conservés.

Attention

Respecter la casse des préfixes

Les symboles sont sensibles aux majuscules et aux minuscules. Ainsi, m\mathrm{m}m désigne le facteur 10−310^{-3}10−3 tandis que M\mathrm{M}M désigne le facteur 10610^6106.

La définition des grandeurs, des unités du Système international et des équations aux dimensions relève de la fiche précédente. Ici, l’unité sert seulement de support à la manipulation des préfixes.

Ordre de grandeur

Définition

Ordre de grandeur

Puissance de dix la plus proche de la valeur absolue d’une quantité non nulle. Il permet d’indiquer son échelle sans en conserver les détails numériques.

Soit une valeur écrite x=a×10nx = a \times 10^nx=a×10n avec 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10. La puissance 10n10^n10n est la plus proche si ∣a∣<10|a| < \sqrt{10}∣a∣<10​. Lorsque ∣a∣>10|a| > \sqrt{10}∣a∣>10​, la puissance la plus proche est 10n+110^{n+1}10n+1. Le seuil 10\sqrt{10}10​ vaut approximativement 3,163{,}163,16.

Exemple

Choisir l’ordre de grandeur selon la mantisse

Deux valeurs sont déjà écrites en notation scientifique :

  • Pour x=2,7×105x = 2{,}7 \times 10^5x=2,7×105, la mantisse vérifie 2,7<3,162{,}7 < 3{,}162,7<3,16. Son ordre de grandeur est donc 10510^5105.
  • Pour y=6,3×105y = 6{,}3 \times 10^5y=6,3×105, la mantisse vérifie 6,3>3,166{,}3 > 3{,}166,3>3,16. Son ordre de grandeur est donc 10610^6106.

Les deux valeurs ont le même exposant dans leur notation scientifique, mais 6,3×1056{,}3 \times 10^56,3×105 est plus proche de 10610^6106 que de 10510^5105.

Formule

Détermination de l’ordre de grandeur

ODG⁡(x)={10nsi 1≤∣a∣<1010n+1si 10≤∣a∣<10\operatorname{ODG}(x)= \begin{cases} 10^n & \text{si } 1 \leq |a| < \sqrt{10} \\ 10^{n+1} & \text{si } \sqrt{10} \leq |a| < 10 \end{cases}ODG(x)={10n10n+1​si 1≤∣a∣<10​si 10​≤∣a∣<10​
  • ODG⁡(x)\operatorname{ODG}(x)ODG(x) : ordre de grandeur de xxx
  • xxx : quantité non nulle étudiée
  • aaa : mantisse décimale de xxx
  • nnn : exposant de sa notation scientifique

Un calcul d’ordre de grandeur consiste à remplacer les données par des valeurs simplifiées, généralement limitées à un chiffre significatif, puis à effectuer le calcul sur ces approximations. Il sert à contrôler la cohérence d’un résultat, à anticiper son échelle et à repérer une erreur de puissance de dix.

Méthode

Estimer un ordre de grandeur d’un résultat

  1. Écrire chaque donnée en notation scientifique
  2. Arrondir les mantisses à un niveau compatible avec l’estimation recherchée
  3. Regrouper séparément les mantisses et les puissances de dix
  4. Effectuer le calcul approché
  5. Normaliser l’écriture scientifique obtenue
  6. Déterminer la puissance de dix la plus proche
Attention

Ne pas confondre exposant et ordre de grandeur

Dans a×10na \times 10^na×10n, l’ordre de grandeur n’est pas toujours 10n10^n10n. Si la mantisse est au moins égale à 10\sqrt{10}10​ en valeur absolue, la puissance la plus proche est 10n+110^{n+1}10n+1.

Chiffres significatifs

Définition

Chiffre significatif

Chiffre participant à l’expression de la valeur numérique d’une quantité, depuis le premier chiffre non nul jusqu’au dernier chiffre retenu.

Les règles de dénombrement sont les suivantes :

  • tout chiffre non nul est significatif ;
  • un zéro situé entre deux chiffres significatifs est significatif ;
  • les zéros placés avant le premier chiffre non nul ne sont pas significatifs ;
  • les zéros finaux placés après la virgule sont significatifs s’ils sont explicitement écrits ;
  • les zéros finaux d’un entier écrit sans virgule sont ambigus.

La notation scientifique supprime cette dernière ambiguïté : tous les chiffres écrits dans la mantisse sont significatifs. L’exposant ne participe pas au dénombrement.

Comparaison

Rôle des différents zéros

Position du zéroStatutJustification
Avant le premier chiffre non nulnon significatifil localise seulement la virgule
Entre des chiffres significatifssignificatifil appartient à la valeur écrite
À droite après la virgulesignificatif s’il est écritil indique le rang numérique conservé
À la fin d’un entier sans virguleambigul’écriture ne précise pas s’il est mesuré

Les nombres issus d’un comptage exhaustif, les coefficients entiers définissant une relation et les facteurs de conversion définis exactement ne limitent pas le nombre de chiffres significatifs d’un calcul.

À retenir

Le nombre de chiffres significatifs décrit la finesse de l’écriture d’une valeur, mais ne constitue pas à lui seul une évaluation complète de son incertitude. L’incertitude de mesure et sa propagation sont traitées dans la fiche suivante.

Arrondir correctement

Définition

Arrondi

Remplacement d’un nombre par une valeur comportant moins de chiffres, choisie pour être la plus proche possible au rang conservé.

Pour arrondir à un rang donné, on observe le premier chiffre supprimé :

  • s’il est compris entre 000 et 444, le dernier chiffre conservé reste inchangé ;
  • s’il est compris entre 555 et 999, le dernier chiffre conservé augmente d’une unité.

Les chiffres situés au-delà du rang demandé sont supprimés ensemble. Les arrondis successifs peuvent déplacer artificiellement le résultat. Il faut donc conserver des chiffres de garde pendant les étapes intermédiaires et n’effectuer l’arrondi définitif qu’à la fin.

Conservation des chiffres significatifs dans un calcul

Multiplication et division

Pour une multiplication ou une division, le résultat final doit comporter autant de chiffres significatifs que la donnée qui en possède le moins. Cette règle convient car ces opérations combinent des précisions relatives.

Addition et soustraction

Pour une addition ou une soustraction, le critère n’est pas le nombre total de chiffres significatifs. Le résultat doit être arrondi au rang décimal de la donnée la moins détaillée, c’est-à-dire au rang le plus à gauche parmi les derniers chiffres significatifs des données.

Exemple

Additionner des volumes de précisions différentes

Un volume de 12,34 mL12{,}34\,\pu{mL}12,34mL est additionné à un volume de 3,2 mL3{,}2\,\pu{mL}3,2mL.

Le calcul non arrondi donne :

12,34+3,2=15,54 mL12{,}34 + 3{,}2 = 15{,}54\,\pu{mL}12,34+3,2=15,54mL

La seconde donnée n’est connue que jusqu’au dixième de millilitre. Le résultat doit donc être arrondi au dixième :

15,54 mL⟶15,5 mL15{,}54\,\pu{mL} \longrightarrow 15{,}5\,\pu{mL}15,54mL⟶15,5mL

Le volume total retenu est 15,5 mL15{,}5\,\pu{mL}15,5mL : les centièmes ne sont pas déterminés de manière fiable par l’addition.

La raison est que l’addition et la soustraction mettent en correspondance des positions décimales. Une donnée connue jusqu’aux unités ne peut pas déterminer de manière fiable les dixièmes du résultat, même si elle comporte plusieurs chiffres significatifs.

Comparaison

Règles selon l’opération

OpérationCritère limitantRègle finale
Multiplication ou divisionnombre de chiffres significatifsconserver le plus petit nombre disponible
Addition ou soustractionrang du dernier chiffre significatifconserver le rang le moins précis
Calcul mixterègle propre à chaque étapegarder des chiffres de garde puis arrondir à la fin

Calculs comportant plusieurs opérations

Il faut respecter les priorités opératoires, déterminer la règle applicable à chaque étape et mémoriser le rang ou le nombre de chiffres que cette étape autorise. Le résultat intermédiaire ne doit pas être arrondi prématurément : il est conservé avec quelques chiffres de garde, puis l’arrondi final est effectué selon la limitation issue du calcul.

À retenir

Une conversion exacte d’unité ou de préfixe ne crée ni ne supprime de chiffres significatifs. Elle change seulement l’écriture numérique de la même quantité.

Points clés
  • La notation scientifique s’écrit a×10na \times 10^na×10n avec 1≤∣a∣<101 \leq |a| < 101≤∣a∣<10
  • Un préfixe décimal remplace une puissance de dix et son symbole est sensible à la casse
  • L’ordre de grandeur est la puissance de dix la plus proche, avec un seuil à 10\sqrt{10}10​
  • Les zéros initiaux ne sont pas significatifs, tandis que les zéros internes le sont
  • Une multiplication ou une division conserve le plus petit nombre de chiffres significatifs
  • Une addition ou une soustraction conserve le rang décimal le moins précis

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Métrologie.

  • Fiche 01Grandeurs, unités du Système international et équations aux dimensionsMétrologie
  • Fiche 03Incertitudes de mesure et propagation des erreursMétrologie
  • Fiche 04Valeur et limites d'une mesure biologiqueMétrologie
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