B10 · Métrologie

Incertitudes de mesure et propagation des erreurs

Distinguer erreur systématique et erreur aléatoire, justesse et fidélité. Exprimer une incertitude, la propager dans une somme, un produit ou un quotient et présenter correctement un résultat de mesure.

Biostatistiques et méthodes d'analyse6 min de lecture17 QCM corrigés

Mesure, erreur et incertitude

Une mesure ne fournit pas la valeur parfaitement connue d’une grandeur. Elle produit une estimation accompagnée d’une information sur le doute associé à cette estimation.

La valeur vraie étant généralement inaccessible, l’erreur exacte reste inconnue. On peut toutefois comparer la mesure à une valeur de référence suffisamment fiable, issue d’un étalon ou d’une méthode de référence.

L’incertitude ne prétend donc pas donner l’erreur commise. Elle quantifie le doute sur le résultat à partir des informations disponibles.

Erreurs systématiques et erreurs aléatoires

Erreur systématique

Elle déplace les résultats dans une direction déterminée. Elle peut provenir d’un mauvais étalonnage, d’un décalage constant de l’instrument ou d’une procédure introduisant toujours le même effet.

Un biais identifié peut être corrigé. Toutefois, la correction elle-même possède une incertitude, car le biais n’est jamais connu avec une précision absolue.

Erreur aléatoire

Les erreurs aléatoires entraînent une dispersion des résultats de part et d’autre de leur moyenne. Leur effet sur la moyenne diminue lorsque le nombre de mesures indépendantes augmente, mais elles ne peuvent pas être supprimées par une simple correction constante.

Comparaison

Erreurs systématiques et aléatoires

Critère	Erreur systématique	Erreur aléatoire
Effet principal	décalage des résultats	dispersion des résultats
Comportement lors des répétitions	constant ou prévisible	fluctuant et imprévisible
Réduction par répétition	non	oui pour la moyenne
Traitement	étalonnage et correction	analyse statistique

Justesse et fidélité

La justesse dépend principalement de la faiblesse du biais. Une série de mesures peut être peu dispersée tout en étant décalée par rapport à la référence.

La fidélité décrit la dispersion et dépend donc principalement des erreurs aléatoires. Plus les résultats sont regroupés, meilleure est la fidélité.

Comparaison

Justesse et fidélité

Critère	Justesse	Fidélité
Question posée	la moyenne est-elle proche de la référence ?	les résultats sont-ils proches entre eux ?
Composante dominante	erreur systématique	erreur aléatoire
Indicateur usuel	biais	écart-type
Amélioration	étalonnage et correction	maîtrise des conditions et répétitions

Exprimer une incertitude

Incertitude absolue et incertitude relative

L’incertitude relative peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage. Elle permet de comparer la qualité métrologique de mesures dont les valeurs ou les unités diffèrent.

Incertitude-type issue de répétitions

Pour $n$ mesures indépendantes, de même qualité et réalisées dans les mêmes conditions, l’écart-type expérimental $s$ caractérise la dispersion des mesures. L’incertitude-type associée à leur moyenne diminue avec la racine carrée du nombre de répétitions.

Cette diminution suppose que les fluctuations sont aléatoires et que les mesures sont indépendantes. Répéter une mesure ne corrige pas un biais commun à toutes les observations.

Incertitude élargie

La signification probabiliste de l’intervalle dépend du modèle de distribution et du facteur $k$ . Une incertitude élargie ne doit donc être communiquée qu’en précisant ce facteur.

Propager les incertitudes

Lorsqu’une grandeur $y$ est calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées, leurs incertitudes se transmettent au résultat. Les relations usuelles suivantes supposent des incertitudes faibles, une approximation au premier ordre et des grandeurs d’entrée indépendantes.

Somme ou différence

Les incertitudes absolues quadratiques s’additionnent. Une soustraction entre valeurs ne provoque donc pas une soustraction entre incertitudes.

Exemple

Propager l’incertitude dans une différence

Deux longueurs indépendantes sont mesurées : $a=\pu{12,4 cm}$ avec $u(a)=\pu{0,3 cm}$ , et $b=\pu{7,8 cm}$ avec $u(b)=\pu{0,2 cm}$ . La différence cherchée est $y=a-b$ .

La valeur calculée est :

y=\pu{12,4 cm}-\pu{7,8 cm}=\pu{4,6 cm}

L’incertitude-type sur cette différence est :

u(y)=\sqrt{u(a)^2+u(b)^2}=\sqrt{\pu{0,3 cm}^2+\pu{0,2 cm}^2}=\pu{0,36 cm}

Le résultat est donc une différence de $\pu{4,6 cm}$ , associée à une incertitude-type de $\pu{0,36 cm}$ . Malgré la soustraction des longueurs, les incertitudes se combinent par addition quadratique.

Produit ou quotient

Dans un produit ou un quotient, ce sont donc les incertitudes relatives quadratiques qui s’additionnent.

Exemple

Propager l’incertitude dans un quotient

Une masse indépendante de $a=\pu{10,0 g}$ est mesurée avec $u(a)=\pu{0,2 g}$ . Elle est dissoute dans un volume indépendant de $b=\pu{50,0 mL}$ mesuré avec $u(b)=\pu{0,5 mL}$ . La concentration massique est $y=\frac{a}{b}$ .

La concentration calculée vaut :

y=\frac{\pu{10,0 g}}{\pu{50,0 mL}}=\pu{0,200 g/mL}

Les incertitudes relatives sont $\frac{u(a)}{|a|}=\frac{\pu{0,2 g}}{\pu{10,0 g}}=0{,}020$ et $\frac{u(b)}{|b|}=\frac{\pu{0,5 mL}}{\pu{50,0 mL}}=0{,}010$ .

\frac{u(y)}{|y|}=\sqrt{0{,}020^2+0{,}010^2}=0{,}0224

Ainsi, $u(y)=\pu{0,200 g/mL}\times 0{,}0224=\pu{0,0045 g/mL}$ . La concentration présente une incertitude relative d’environ $2{,}2\%$ , soit une incertitude-type absolue de $\pu{0,0045 g/mL}$ .

Présenter correctement un résultat

Un résultat doit associer sans ambiguïté la valeur mesurée, son incertitude et son unité.

L’incertitude est généralement arrondie à un chiffre significatif, parfois à deux lorsque son premier chiffre est faible. La valeur mesurée est ensuite arrondie au même rang décimal que l’incertitude. Les règles générales sur les chiffres significatifs relèvent de la fiche voisine consacrée aux ordres de grandeur et aux chiffres significatifs.

Il faut également préciser :

l’unité de la grandeur ;
la nature de l’incertitude annoncée ;
le facteur d’élargissement si $U$ est utilisé ;
les conditions de mesure lorsqu’elles influencent le mesurande.

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Mesure, erreur et incertitude

Une mesure ne fournit pas la valeur parfaitement connue d’une grandeur. Elle produit une estimation accompagnée d’une information sur le doute associé à cette estimation.

L’incertitude ne prétend donc pas donner l’erreur commise. Elle quantifie le doute sur le résultat à partir des informations disponibles.

Erreurs systématiques et erreurs aléatoires

Erreur systématique

Un biais identifié peut être corrigé. Toutefois, la correction elle-même possède une incertitude, car le biais n’est jamais connu avec une précision absolue.

Erreur aléatoire

Comparaison

Erreurs systématiques et aléatoires

Critère	Erreur systématique	Erreur aléatoire
Effet principal	décalage des résultats	dispersion des résultats
Comportement lors des répétitions	constant ou prévisible	fluctuant et imprévisible
Réduction par répétition	non	oui pour la moyenne
Traitement	étalonnage et correction	analyse statistique

Justesse et fidélité

La justesse dépend principalement de la faiblesse du biais. Une série de mesures peut être peu dispersée tout en étant décalée par rapport à la référence.

La fidélité décrit la dispersion et dépend donc principalement des erreurs aléatoires. Plus les résultats sont regroupés, meilleure est la fidélité.

Comparaison

Justesse et fidélité

Critère	Justesse	Fidélité
Question posée	la moyenne est-elle proche de la référence ?	les résultats sont-ils proches entre eux ?
Composante dominante	erreur systématique	erreur aléatoire
Indicateur usuel	biais	écart-type
Amélioration	étalonnage et correction	maîtrise des conditions et répétitions

Exprimer une incertitude

Incertitude absolue et incertitude relative

L’incertitude relative peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage. Elle permet de comparer la qualité métrologique de mesures dont les valeurs ou les unités diffèrent.

Incertitude-type issue de répétitions

Cette diminution suppose que les fluctuations sont aléatoires et que les mesures sont indépendantes. Répéter une mesure ne corrige pas un biais commun à toutes les observations.

Incertitude élargie

La signification probabiliste de l’intervalle dépend du modèle de distribution et du facteur $k$ . Une incertitude élargie ne doit donc être communiquée qu’en précisant ce facteur.

Propager les incertitudes

Somme ou différence

Les incertitudes absolues quadratiques s’additionnent. Une soustraction entre valeurs ne provoque donc pas une soustraction entre incertitudes.

Exemple

Propager l’incertitude dans une différence

Deux longueurs indépendantes sont mesurées : $a=\pu{12,4 cm}$ avec $u(a)=\pu{0,3 cm}$ , et $b=\pu{7,8 cm}$ avec $u(b)=\pu{0,2 cm}$ . La différence cherchée est $y=a-b$ .

La valeur calculée est :

y=\pu{12,4 cm}-\pu{7,8 cm}=\pu{4,6 cm}

L’incertitude-type sur cette différence est :

u(y)=\sqrt{u(a)^2+u(b)^2}=\sqrt{\pu{0,3 cm}^2+\pu{0,2 cm}^2}=\pu{0,36 cm}

Produit ou quotient

Dans un produit ou un quotient, ce sont donc les incertitudes relatives quadratiques qui s’additionnent.

Exemple

Propager l’incertitude dans un quotient

La concentration calculée vaut :

y=\frac{\pu{10,0 g}}{\pu{50,0 mL}}=\pu{0,200 g/mL}

Les incertitudes relatives sont $\frac{u(a)}{|a|}=\frac{\pu{0,2 g}}{\pu{10,0 g}}=0{,}020$ et $\frac{u(b)}{|b|}=\frac{\pu{0,5 mL}}{\pu{50,0 mL}}=0{,}010$ .

\frac{u(y)}{|y|}=\sqrt{0{,}020^2+0{,}010^2}=0{,}0224

Ainsi, $u(y)=\pu{0,200 g/mL}\times 0{,}0224=\pu{0,0045 g/mL}$ . La concentration présente une incertitude relative d’environ $2{,}2\%$ , soit une incertitude-type absolue de $\pu{0,0045 g/mL}$ .

Présenter correctement un résultat

Un résultat doit associer sans ambiguïté la valeur mesurée, son incertitude et son unité.

Il faut également préciser :

l’unité de la grandeur ;
la nature de l’incertitude annoncée ;
le facteur d’élargissement si $U$ est utilisé ;
les conditions de mesure lorsqu’elles influencent le mesurande.

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