B10 · Statistiques descriptives
Indices de position et de dispersion
Calculer et interpréter moyenne, médiane, mode et quantiles. Comparer variance, écart-type, étendue et intervalle interquartile et choisir l'indice adapté à la distribution.
Biostatistiques et méthodes d'analyse7 min de lecture17 QCM corrigés
Situer une distribution
Une série statistique associe à chaque individu une valeur prise par une variable. La nature qualitative, ordinale ou quantitative de cette variable est étudiée dans la fiche précédente ; elle détermine quels calculs ont un sens.
Décrire une distribution suppose de répondre à deux questions complémentaires :
- où se situent les observations : c'est le rôle des indices de position ;
- à quel point elles sont dispersées : c'est le rôle des indices de dispersion.
Un indice isolé ne suffit donc généralement pas. Deux distributions peuvent avoir la même position centrale tout en présentant des dispersions très différentes.
Pour une variable quantitative, les observations ordonnées sont notées , avec la plus petite valeur et la plus grande.
Indices de position centrale
Moyenne arithmétique
Lorsque la série contient valeurs distinctes, chaque valeur étant observée fois, la moyenne peut être calculée à partir des effectifs.
La moyenne utilise toutes les valeurs et conserve l'information sur leur amplitude. Cette propriété la rend très informative, mais aussi sensible aux valeurs extrêmes : modifier fortement une seule observation modifie directement la somme, donc la moyenne.
La moyenne n'est pertinente que pour une variable quantitative dont les opérations arithmétiques ont un sens.
Médiane
La médiane dépend principalement du rang des observations et non de leur distance numérique. Elle résiste donc mieux aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Pour une variable ordinale, la médiane correspond à la modalité où l'effectif cumulé atteint la moitié de l'effectif total. Une moyenne entre deux modalités ordinales n'a pas nécessairement de sens.
Mode
Le mode est le seul indice de position utilisable pour toute nature de variable, y compris qualitative nominale. Il peut être unique ou multiple en cas d'égalité des fréquences maximales.
Lorsque des données quantitatives sont regroupées en classes, on identifie une classe modale, mais les données regroupées ne permettent généralement pas de connaître exactement le mode initial. Si les classes ont des amplitudes inégales, leurs effectifs bruts ne sont pas directement comparables.
Quantiles et position relative
Les quantiles découpent une série ordonnée selon des proportions déterminées. Ils ne mesurent pas une distance au centre, mais une position dans la distribution.
Ainsi, correspond à la médiane. Selon la convention française courante, est la plus petite valeur telle qu'au moins des observations lui soient inférieures ou égales ; est défini de même pour .
Indices de dispersion
Étendue
L'étendue est simple, mais elle ne dépend que de deux observations. Elle est donc très sensible aux valeurs extrêmes et renseigne peu sur la répartition interne de la série.
Variance
La somme des écarts à la moyenne est nulle : les écarts positifs compensent les écarts négatifs. Pour mesurer leur importance sans annulation, on élève donc chaque écart au carré.
La variance est toujours positive ou nulle. Elle vaut zéro uniquement lorsque toutes les observations sont identiques. Comme les écarts sont élevés au carré, son unité est le carré de l'unité de la variable, ce qui limite son interprétation directe.
Écart-type
L'écart-type est nul lorsque toutes les observations sont identiques et augmente lorsque les observations s'éloignent de la moyenne. Comme la variance, il est sensible aux valeurs extrêmes.
Intervalle et écart interquartiles
L'écart interquartile ignore les quarts inférieur et supérieur de la distribution. Il décrit donc la dispersion centrale tout en étant peu influencé par les valeurs extrêmes.
Choisir les indices adaptés
Une distribution quantitative approximativement symétrique et sans valeur extrême est bien décrite par la moyenne et l'écart-type. Ces deux indices sont cohérents : l'un fixe le centre arithmétique, l'autre mesure la dispersion autour de ce centre.
Une distribution dissymétrique ou comportant des valeurs extrêmes est mieux résumée par la médiane et l'écart interquartile. Ces indices reposent principalement sur les rangs et restent donc plus stables.
Pour une variable qualitative nominale, seul le mode est un indice de position pertinent. Pour une variable ordinale, le mode, la médiane et les quantiles peuvent être utilisés, mais la moyenne et l'écart-type exigent une distance numérique interprétable entre les valeurs.
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