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Sommaire

  • 1Principes généraux d'une représentation graphique
  • 2Diagramme en bâtons
  • 3Histogramme
  • 4Boîte à moustaches lock — section verrouillée
  • 5Courbe cumulative lock — section verrouillée
  • 6Choisir la représentation adaptée lock — section verrouillée
  • 7Lire et critiquer un graphique lock — section verrouillée
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B10 · Statistiques descriptives

Représentations graphiques d'une distribution

Choisir la représentation adaptée au type de variable : diagramme en bâtons, histogramme, boîte à moustaches, courbe cumulative. Lire et critiquer un graphique statistique.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule7 min de lecture·quiz17 QCM corrigés

Principes généraux d'une représentation graphique

Définition

Distribution statistique

Répartition des observations d'une variable entre ses différentes modalités ou valeurs, décrite par leurs effectifs ou leurs fréquences.

Une représentation graphique traduit visuellement cette distribution. Elle doit permettre d'identifier rapidement la localisation des observations, leur dispersion, leur asymétrie et d'éventuelles concentrations, sans déformer l'information.

Le choix du graphique dépend d'abord de la nature de la variable. La distinction détaillée entre variables qualitatives, quantitatives discrètes et quantitatives continues relève de la fiche précédente ; ici, elle sert uniquement de règle de choix.

Définition

Effectif

Nombre d'observations appartenant à une modalité, prenant une valeur donnée ou comprises dans une classe donnée.

Définition

Fréquence

Proportion des observations correspondant à une modalité, une valeur ou une classe. Elle est obtenue en divisant l'effectif concerné par l'effectif total.

Une fréquence peut être exprimée par un nombre compris entre 000 et 111, ou en pourcentage. Les effectifs et les fréquences donnent la même forme générale lorsque toutes les observations appartiennent à une seule population étudiée, mais les fréquences facilitent la comparaison de groupes d'effectifs différents.

Diagramme en bâtons

Définition

Diagramme en bâtons

Graphique formé de rectangles étroits et séparés, dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de chaque modalité ou valeur.

Le diagramme en bâtons convient :

  • aux variables qualitatives, dont chaque bâton représente une modalité ;
  • aux variables quantitatives discrètes, dont chaque bâton représente une valeur possible.

Les bâtons sont séparés parce que les modalités ou les valeurs représentées sont distinctes. Pour une variable qualitative nominale, l'ordre des modalités est conventionnel et peut être choisi pour faciliter la lecture. Pour une variable qualitative ordinale ou une variable quantitative discrète, l'ordre naturel doit être respecté.

L'axe horizontal porte les modalités ou les valeurs. L'axe vertical porte les effectifs ou les fréquences. La hauteur constitue l'information quantitative essentielle ; sa comparaison n'est valable que si l'échelle verticale est régulière.

Attention

Bâtons et rectangles contigus

Des bâtons séparés ne représentent pas des intervalles continus. Les accoler peut faire croire à tort que toutes les valeurs intermédiaires sont possibles et que leur largeur porte une information.

Histogramme

Définition

Classe

Intervalle de valeurs utilisé pour regrouper les observations d'une variable quantitative.

Définition

Histogramme

Représentation d'une variable quantitative continue, ou d'une variable quantitative regroupée en classes, par des rectangles contigus dont l'aire représente l'effectif ou la fréquence de chaque classe.

Les rectangles sont contigus car les classes se succèdent sur un axe numérique continu. Contrairement au diagramme en bâtons, la largeur a un sens : elle correspond à l’amplitude de la classe.

Lorsque toutes les classes ont la même amplitude, leurs aires et leurs hauteurs varient dans les mêmes proportions. La hauteur peut alors être directement graduée en effectif ou en fréquence.

Lorsque les amplitudes diffèrent, comparer seulement les hauteurs est faux. La hauteur doit représenter une densité d'effectif ou une densité de fréquence, afin que l'aire du rectangle reste proportionnelle à la quantité d'observations.

Formule

Densité d'une classe

dj=fjajd_j = \frac{f_j}{a_j}dj​=aj​fj​​
  • djd_jdj​ : densité de fréquence de la classe jjj
  • fjf_jfj​ : fréquence de la classe jjj
  • aja_jaj​ : amplitude de la classe jjj
  • jjj : indice identifiant la classe
Exemple

Calculer la densité de fréquence d’une classe

Une étude porte sur l’âge de 100100100 participants. La classe d’âge allant de 202020 à 303030 ans contient 303030 participants.

  • Fréquence de la classe : f=30100=0,30f = \frac{30}{100} = 0{,}30f=10030​=0,30
  • Amplitude de la classe : a=30−20=10 ansa = 30 - 20 = \pu{10 ans}a=30−20=10 ans
  • Densité de fréquence : d=0,3010=0,030d = \frac{0{,}30}{10} = 0{,}030d=100,30​=0,030 par an

La fréquence de cette classe est 0,300{,}300,30, soit 303030 %. Dans un histogramme où les amplitudes de classes diffèrent, un rectangle de largeur 101010 ans et de hauteur 0,0300{,}0300,030 par an possède une aire égale à 0,300{,}300,30 : cette aire représente la fréquence de la classe.

Le découpage en classes influence fortement l'aspect de l'histogramme. Des classes trop larges masquent la structure de la distribution ; des classes trop étroites produisent une représentation irrégulière, très sensible aux fluctuations des observations. Les bornes et la règle d'appartenance aux classes doivent donc être explicites.

À retenir

Principe fondamental de l'histogramme

Dans un histogramme, c'est l'aire de chaque rectangle, et non nécessairement sa hauteur, qui est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la classe.

Comparaison

Diagramme en bâtons et histogramme

CritèreDiagramme en bâtonsHistogramme
Variable adaptéequalitative ou quantitative discrètequantitative continue ou regroupée en classes
Éléments graphiquesbâtons séparésrectangles contigus
Signification de la largeuraucune information quantitativeamplitude de la classe
Quantité proportionnelle à la fréquencehauteuraire

Boîte à moustaches

Définition

Boîte à moustaches

Représentation synthétique d'une variable quantitative fondée sur la médiane, les quartiles et des limites définissant l'extension des moustaches.

La boîte s'étend du premier quartile Q1Q_1Q1​ au troisième quartile Q3Q_3Q3​. Elle contient donc la moitié centrale des observations. Un trait intérieur indique la médiane Q2Q_2Q2​. Sa position dans la boîte renseigne sur l'asymétrie de la partie centrale de la distribution.

La longueur de la boîte est l'écart interquartile, noté Q3−Q1Q_3-Q_1Q3​−Q1​. Elle mesure la dispersion de la moitié centrale des données. Les moustaches prolongent la boîte vers les valeurs basses et hautes.

Deux conventions principales existent :

  • les moustaches peuvent atteindre les valeurs minimale et maximale ;
  • elles peuvent atteindre les observations les plus extrêmes restant sous des limites fixées à partir de l'écart interquartile, les observations au-delà étant signalées séparément.

La convention employée doit toujours être précisée. La boîte à moustaches est particulièrement utile pour comparer visuellement plusieurs distributions quantitatives sur une même échelle.

Attention

Valeur isolée et anomalie

Une observation placée au-delà d'une moustache n'est pas automatiquement une erreur. Elle est seulement atypique selon la convention graphique retenue et doit être interprétée à partir du contexte de recueil.

Cette représentation résume efficacement une distribution, mais elle ne montre ni toutes les valeurs ni les concentrations internes. Des distributions de formes différentes peuvent donc produire des boîtes similaires.

Courbe cumulative

Définition

Fréquence cumulée

Proportion des observations dont la valeur est inférieure ou égale à un seuil donné.

Définition

Courbe cumulative

Graphique associant à chaque valeur xxx la fréquence des observations inférieures ou égales à xxx.

La courbe cumulative concerne une variable quantitative, car ses valeurs doivent être ordonnées. Pour une série non regroupée, elle prend la forme d'une fonction en escalier. Pour des données regroupées en classes, elle est construite à partir des fréquences cumulées aux bornes des classes.

Formule

Fonction de répartition empirique

Fn(x)=1n∑i=1n1Xi≤xF_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}_{X_i\leq x}Fn​(x)=n1​i=1∑n​1Xi​≤x​
  • Fn(x)F_n(x)Fn​(x) : fréquence cumulée jusqu'à la valeur xxx
  • nnn : effectif total observé
  • xxx : seuil considéré
  • iii : indice d'une observation
  • XiX_iXi​ : valeur de la variable pour l'observation iii
  • 1Xi≤x\mathbf{1}_{X_i\leq x}1Xi​≤x​ : indicatrice valant 111 si Xi≤xX_i\leq xXi​≤x, et 000 sinon

Une courbe cumulative est toujours croissante ou constante : lorsque le seuil augmente, aucune observation déjà comptée ne peut être retirée. Elle part d'une fréquence nulle avant la plus petite valeur et atteint 111, soit 100100100 %, à partir de la plus grande valeur.

Elle permet de lire :

  • la proportion d'observations ne dépassant pas un seuil ;
  • un quantile, en recherchant la valeur correspondant à une fréquence cumulée donnée ;
  • la médiane, correspondant à une fréquence cumulée de 0,50{,}50,5 ;
  • les quartiles, associés aux niveaux 0,250{,}250,25 et 0,750{,}750,75.
Comparaison

Boîte à moustaches et courbe cumulative

CritèreBoîte à moustachesCourbe cumulative
Information principalerésumé par quantiles et extensionfréquence sous chaque seuil
Forme de la distributionpeu détailléevisible par les variations de pente
Lecture des quantilesdirecte pour les quartilespossible pour tout niveau cumulé
Comparaison de groupestrès synthétiqueplus détaillée mais plus chargée

Choisir la représentation adaptée

Méthode

Choisir un graphique statistique

  1. Identifier si la variable est qualitative, quantitative discrète ou quantitative continue
  2. Déterminer si l'objectif porte sur les modalités, la forme de la distribution, un résumé par quantiles ou les fréquences sous des seuils
  3. Choisir respectivement un diagramme en bâtons, un histogramme, une boîte à moustaches ou une courbe cumulative
  4. Vérifier que les axes, les unités, les effectifs et les conventions sont explicitement indiqués
  5. Contrôler que l'échelle et la construction graphique ne déforment pas les comparaisons
À retenir

Le type de graphique n'est pas un choix esthétique : il dépend de la nature de la variable et de l'information que l'on souhaite rendre visible.

Lire et critiquer un graphique

La lecture commence par le titre, la population étudiée, la variable représentée et son unité. Il faut ensuite identifier ce que porte chaque axe et distinguer effectifs, fréquences simples, densités et fréquences cumulées.

La critique porte sur plusieurs points :

  • échelle des axes : une échelle irrégulière ou une rupture peu visible modifie l'impression d'écart ;
  • origine de l'axe vertical : pour des bâtons ou des rectangles, une origine non nulle exagère les différences de hauteur ;
  • largeur des classes : dans un histogramme à classes inégales, l'aire doit être comparée et la hauteur doit être une densité ;
  • choix des classes : il peut lisser artificiellement la distribution ou, au contraire, amplifier ses irrégularités ;
  • conventions : la définition des moustaches et le traitement des valeurs atypiques doivent être connus ;
  • information manquante : l'effectif total, les unités, les sources ou les catégories absentes peuvent empêcher une interprétation fiable ;
  • effets visuels : les volumes, les perspectives et les surfaces décoratives peuvent accentuer ou réduire artificiellement les écarts.

Enfin, un graphique décrit les observations représentées. Il ne démontre à lui seul ni causalité, ni représentativité de l'échantillon, ni signification statistique d'une différence.

Points clés
  • Le diagramme en bâtons représente des modalités qualitatives ou des valeurs quantitatives discrètes
  • L'histogramme représente une variable quantitative continue et repose sur des aires proportionnelles aux fréquences
  • La boîte à moustaches résume une distribution par sa médiane, ses quartiles et ses moustaches
  • La courbe cumulative donne la proportion d'observations inférieures ou égales à chaque seuil
  • La critique d'un graphique vérifie les axes, les échelles, les classes, les conventions et l'information disponible
  • Une représentation graphique décrit une distribution sans établir à elle seule une causalité ou une significativité

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Statistiques descriptives.

  • Fiche 01Types de variables et organisation des donnéesStatistiques descriptives
  • Fiche 02Indices de position et de dispersionStatistiques descriptives
  • Fiche 04Distributions à deux dimensions, covariance et corrélationStatistiques descriptives
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