B10 · Statistiques descriptives

Distributions à deux dimensions, covariance et corrélation

Décrire une distribution bivariée par ses lois marginales et conditionnelles et tester l'indépendance des caractères. Calculer covariance et coefficient de corrélation linéaire et interpréter leur signe et leur intensité.

Biostatistiques et méthodes d'analyse6 min de lecture15 QCM corrigés

Organiser une distribution à deux dimensions

Une distribution à deux dimensions, ou distribution bivariée, décrit simultanément deux variables observées sur les mêmes unités statistiques. Chaque unité fournit donc un couple de valeurs, noté $(x_i,y_i)$ pour deux variables quantitatives, où $i$ désigne l’unité observée.

Pour des variables discrètes ou qualitatives, la distribution conjointe est organisée dans un tableau de contingence. Les lignes correspondent aux modalités de $X$ , les colonnes à celles de $Y$ , et chaque cellule contient un effectif conjoint.

On note :

$n$ l’effectif total ;
$n_{ij}$ l’effectif possédant simultanément la modalité $i$ de $X$ et la modalité $j$ de $Y$ ;
$n_{i\cdot}$ le total de la ligne $i$ ;
$n_{\cdot j}$ le total de la colonne $j$ .

La somme de tous les effectifs conjoints vaut $n$ , tandis que la somme de toutes les fréquences conjointes vaut $1$ .

Lois marginales

La distribution marginale de $X$ est obtenue en totalisant chaque ligne. Celle de $Y$ est obtenue en totalisant chaque colonne. Elle décrit chaque variable séparément et ne conserve donc aucune information sur leur association.

Les moyennes et les variances de $X$ et de $Y$ sont calculées à partir de leurs distributions marginales respectives. Leur définition détaillée relève de la fiche consacrée aux indices de position et de dispersion.

Distributions conditionnelles

La fréquence conditionnelle se calcule en divisant l’effectif de chaque cellule par l’effectif total de la ligne correspondante.

Formule

Fréquences conditionnelles

f_{j\mid i}=\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}} =\frac{f_{ij}}{f_{i\cdot}}, \qquad f_{i\mid j}=\frac{n_{ij}}{n_{\cdot j}} =\frac{f_{ij}}{f_{\cdot j}}

Pour une ligne donnée, la somme des fréquences $f_{j\mid i}$ sur toutes les modalités de $Y$ vaut $1$ . De même, pour une colonne donnée, la somme des fréquences $f_{i\mid j}$ vaut $1$ .

Indépendance de deux caractères

Dans une distribution observée, l’indépendance signifie que toutes les distributions conditionnelles de $Y$ sont identiques à sa distribution marginale. De manière équivalente, chaque fréquence conjointe est le produit des deux fréquences marginales correspondantes.

Exemple

Vérifier l’indépendance à partir des fréquences

Dans une population de $100$ personnes, la variable $X$ possède deux modalités, $A$ et $B$ , avec $50$ personnes dans chaque modalité. La variable $Y$ possède les modalités « oui » et « non ».

Parmi les personnes de modalité $A$ , $20$ répondent « oui » et $30$ répondent « non ».
Parmi les personnes de modalité $B$ , $20$ répondent « oui » et $30$ répondent « non ».

Les fréquences marginales sont :

f_{A\cdot}=f_{B\cdot}=\frac{50}{100}=0{,}5 \qquad\text{et}\qquad f_{\cdot \mathrm{oui}}=\frac{40}{100}=0{,}4

Pour la cellule associant $A$ et « oui » :

f_{A,\mathrm{oui}}=\frac{20}{100}=0{,}2 =0{,}5\times 0{,}4 =f_{A\cdot}f_{\cdot \mathrm{oui}}

De même, les cellules associant $A$ ou $B$ à « non » ont une fréquence de $0{,}3$ , égale à $0{,}5\times 0{,}6$ . Toutes les fréquences conjointes sont donc égales au produit des fréquences marginales correspondantes : les variables $X$ et $Y$ sont descriptivement indépendantes dans cette population.

Dans un échantillon, de petits écarts peuvent résulter des fluctuations d’échantillonnage. Le test inférentiel du khi-deux, traité dans le sous-bloc consacré aux tests d’hypothèses, permet d’évaluer si ces écarts sont compatibles avec l’indépendance dans la population.

Covariance de deux variables quantitatives

Lorsque $X$ et $Y$ sont quantitatives, leur variation conjointe peut être résumée par la covariance.

Le signe provient du produit des écarts :

une covariance positive indique que les écarts à la moyenne ont tendance à être de même signe ;
une covariance négative indique qu’ils ont tendance à être de signes opposés ;
une covariance nulle indique l’absence de liaison linéaire mise en évidence par cette mesure.

L’intensité brute de la covariance est difficile à interpréter, car elle dépend des unités de $X$ et de $Y$ . Elle s’exprime dans le produit de ces unités.

Coefficient de corrélation linéaire

Exemple

Calculer un coefficient de corrélation linéaire

Dans un échantillon, $X$ est une taille mesurée en centimètres et $Y$ un poids mesuré en kilogrammes. La covariance est de $24$ cm kg, l’écart-type des tailles vaut $\pu{8 cm}$ et l’écart-type des poids vaut $\pu{6 kg}$ .

r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_Xs_Y} =\frac{24}{8\times 6} =\frac{24}{48} =0{,}5

Le coefficient de corrélation est $0{,}5$ , sans unité. Son signe positif indique une variation linéaire dans le même sens : les tailles supérieures à la moyenne tendent ici à être associées à des poids supérieurs à la moyenne. L’intensité s’interprète à partir de $|r|=0{,}5$ dans le contexte des mesures.

Le coefficient est défini seulement si les deux écarts-types sont non nuls. Il vérifie toujours $-1\leq r\leq 1$ .

Comparaison

Interprétation du coefficient de corrélation

Valeur de $r$	Sens de la liaison	Intensité linéaire
$r>0$	variation dans le même sens	augmente lorsque $r$ se rapproche de $1$
$r < 0$	variation en sens opposé	augmente lorsque $r$ se rapproche de $-1$
$r=0$	aucun sens linéaire privilégié	liaison linéaire nulle
$\|r\|=1$	relation affine exacte	intensité linéaire maximale

La force de la liaison dépend donc de $|r|$ , tandis que son sens dépend du signe de $r$ . Il n’existe pas de seuil universel séparant une corrélation faible d’une corrélation forte : l’interprétation dépend du contexte et de la variabilité des mesures.

Le coefficient $r$ est sensible aux observations très éloignées du reste de la distribution. Son interprétation doit donc rester associée à l’examen de la distribution conjointe, dont la représentation graphique est traitée dans la fiche correspondante.

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Distributions à deux dimensions, covariance et corrélation

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Organiser une distribution à deux dimensions

On note :

$n$ l’effectif total ;
$n_{ij}$ l’effectif possédant simultanément la modalité $i$ de $X$ et la modalité $j$ de $Y$ ;
$n_{i\cdot}$ le total de la ligne $i$ ;
$n_{\cdot j}$ le total de la colonne $j$ .

La somme de tous les effectifs conjoints vaut $n$ , tandis que la somme de toutes les fréquences conjointes vaut $1$ .

Lois marginales

Distributions conditionnelles

La fréquence conditionnelle se calcule en divisant l’effectif de chaque cellule par l’effectif total de la ligne correspondante.

Formule

Fréquences conditionnelles

f_{j\mid i}=\frac{n_{ij}}{n_{i\cdot}} =\frac{f_{ij}}{f_{i\cdot}}, \qquad f_{i\mid j}=\frac{n_{ij}}{n_{\cdot j}} =\frac{f_{ij}}{f_{\cdot j}}

Pour une ligne donnée, la somme des fréquences $f_{j\mid i}$ sur toutes les modalités de $Y$ vaut $1$ . De même, pour une colonne donnée, la somme des fréquences $f_{i\mid j}$ vaut $1$ .

Indépendance de deux caractères

Exemple

Vérifier l’indépendance à partir des fréquences

Parmi les personnes de modalité $A$ , $20$ répondent « oui » et $30$ répondent « non ».
Parmi les personnes de modalité $B$ , $20$ répondent « oui » et $30$ répondent « non ».

Les fréquences marginales sont :

f_{A\cdot}=f_{B\cdot}=\frac{50}{100}=0{,}5 \qquad\text{et}\qquad f_{\cdot \mathrm{oui}}=\frac{40}{100}=0{,}4

Pour la cellule associant $A$ et « oui » :

f_{A,\mathrm{oui}}=\frac{20}{100}=0{,}2 =0{,}5\times 0{,}4 =f_{A\cdot}f_{\cdot \mathrm{oui}}

Covariance de deux variables quantitatives

Lorsque $X$ et $Y$ sont quantitatives, leur variation conjointe peut être résumée par la covariance.

Le signe provient du produit des écarts :

une covariance positive indique que les écarts à la moyenne ont tendance à être de même signe ;
une covariance négative indique qu’ils ont tendance à être de signes opposés ;
une covariance nulle indique l’absence de liaison linéaire mise en évidence par cette mesure.

L’intensité brute de la covariance est difficile à interpréter, car elle dépend des unités de $X$ et de $Y$ . Elle s’exprime dans le produit de ces unités.

Coefficient de corrélation linéaire

Exemple

Calculer un coefficient de corrélation linéaire

r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_Xs_Y} =\frac{24}{8\times 6} =\frac{24}{48} =0{,}5

Le coefficient est défini seulement si les deux écarts-types sont non nuls. Il vérifie toujours $-1\leq r\leq 1$ .

Comparaison

Interprétation du coefficient de corrélation

Valeur de $r$	Sens de la liaison	Intensité linéaire
$r>0$	variation dans le même sens	augmente lorsque $r$ se rapproche de $1$
$r < 0$	variation en sens opposé	augmente lorsque $r$ se rapproche de $-1$
$r=0$	aucun sens linéaire privilégié	liaison linéaire nulle
$\|r\|=1$	relation affine exacte	intensité linéaire maximale

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