B10 · Probabilités

Loi normale, centrage-réduction et usage des tables

Décrire la loi normale, ses paramètres et ses propriétés de symétrie. Passer à la loi normale centrée réduite et lire les tables pour déterminer une probabilité ou un fractile.

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La loi normale

La notion générale de variable aléatoire continue et le calcul d'une probabilité par intégration de sa densité relèvent de la fiche précédente ; ici, ils sont appliqués à une loi particulière.

La loi normale est donc entièrement déterminée par deux paramètres :

$\mu$ fixe la position de la distribution sur l'axe réel ;
$\sigma$ fixe sa dispersion autour de $\mu$ .

Une modification de $\mu$ translate la courbe sans changer sa forme. Une augmentation de $\sigma$ étale la distribution : les valeurs sont plus dispersées et le sommet de la densité est moins élevé. La surface totale sous la courbe reste cependant égale à $1$ , conformément à la définition d'une densité de probabilité.

Symétrie et forme de la distribution

La densité est maximale en $x=\mu$ et décroît de part et d'autre de cette valeur. Elle vérifie, pour tout réel $h$ :

f_X(\mu-h)=f_X(\mu+h)

où $h$ représente une distance à la moyenne. La distribution est donc symétrique par rapport à $\mu$ . Cette symétrie entraîne que la moyenne, la médiane et le mode coïncident :

la moyenne est l'espérance $\mu$ ;
la médiane partage la probabilité totale en deux moitiés ;
le mode est la valeur où la densité atteint son maximum.

Ainsi :

P(X\leq\mu)=P(X\geq\mu)=\frac{1}{2}

Les extrémités de la courbe se rapprochent de l'axe réel sans l'atteindre. Toute valeur réelle reste théoriquement possible, mais les valeurs très éloignées de $\mu$ ont une faible densité.

Fonction de répartition

Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , cette fonction vaut :

F_X(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,\mathrm{d}t

où $F_X$ est la fonction de répartition de $X$ , $t$ est la variable d'intégration et $\mathrm{d}t$ son élément différentiel.

L'intégrale de la densité normale ne possède pas d'expression simple à l'aide des fonctions usuelles. Les probabilités sont donc obtenues par des tables, des logiciels ou des calculatrices. Pour éviter de construire une table différente pour chaque couple $(\mu,\sigma)$ , toute loi normale est transformée en une loi unique : la loi normale centrée réduite.

Centrage et réduction

Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , sa transformation centrée réduite est notée $Z$ .

La soustraction de $\mu$ mesure l'écart de $X$ à sa moyenne. La division par $\sigma$ exprime ensuite cet écart en nombre d'écarts-types. La valeur prise par $Z$ est appelée valeur centrée réduite.

La transformation inverse est :

X=\mu+\sigma Z

Elle permet de revenir de l'échelle centrée réduite à l'échelle initiale.

Transformer une probabilité

Comme $\sigma$ est strictement positif, la division par $\sigma$ conserve le sens des inégalités. Pour deux réels $a$ et $b$ tels que $a\leq b$ :

P(a\leq X\leq b) = P\left( \frac{a-\mu}{\sigma} \leq Z\leq \frac{b-\mu}{\sigma} \right)

Le centrage-réduction ramène ainsi tout calcul concernant $X$ à un calcul concernant $Z$ .

Exemple

Calculer une probabilité après centrage-réduction

Une mesure biologique $X$ suit une loi normale de moyenne $\pu{100 mmHg}$ et d'écart-type $\pu{15 mmHg}$ . La probabilité recherchée est $P(X\leq\pu{118,75 mmHg})$ .

Valeur centrée réduite du seuil :

z=\frac{118{,}75-100}{15}=1{,}25

Dans une table donnant $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ , la lecture de $z=1{,}25$ donne $\Phi(1{,}25)=0{,}8944$ .

P(X\leq\pu{118,75 mmHg})=P(Z\leq1{,}25)=0{,}8944

La probabilité vaut $0{,}8944$ , soit 89,44 %. Environ 89 mesures sur 100 sont donc inférieures ou égales à $\pu{118,75 mmHg}$ dans cette distribution.

Probabilités associées à la loi centrée réduite

La fonction de répartition de $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ est traditionnellement notée $\Phi$ :

La symétrie de la loi autour de $0$ donne la relation fondamentale :

\Phi(-z)=1-\Phi(z)

Cette égalité permet de déduire les probabilités associées aux valeurs négatives à partir des valeurs positives.

Les autres formes de probabilités se ramènent à $\Phi$ :

P(Z>z)=1-\Phi(z)

P(a\leq Z\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)

Pour $z\geq 0$ , la symétrie fournit également :

P(-z\leq Z\leq z)=2\Phi(z)-1

P(Z\leq-z\ \text{ou}\ Z\geq z)=2\left[1-\Phi(z)\right]

Lire une table de la loi normale

Les tables ne présentent pas toutes la même quantité. Il faut lire leur titre et leur définition avant d'utiliser une valeur.

Comparaison

Principales conventions des tables normales

Quantité tabulée	Expression	Conversion vers $\Phi(z)$
Probabilité cumulée à gauche	$P(Z\leq z)$	lecture directe
Aire entre $0$ et $z$ , pour $z\geq0$	$P(0\leq Z\leq z)$	ajouter $\frac{1}{2}$
Probabilité de la queue droite	$P(Z\geq z)$	soustraire la valeur à $1$

Dans une table décimale usuelle, la ligne indique généralement les premiers chiffres de $z$ , tandis que la colonne précise le chiffre décimal suivant. Leur réunion donne la valeur de $z$ . La cellule située à leur intersection fournit la probabilité définie par la table.

Fractiles de la loi normale

Il s'écrit :

z_p=\Phi^{-1}(p)

où $\Phi^{-1}$ désigne la fonction réciproque de $\Phi$ . Chercher un fractile revient donc à effectuer une lecture inverse de la table : la probabilité est connue et la valeur de $z$ est recherchée.

La symétrie entraîne :

z_{1-p}=-z_p

Pour obtenir le fractile correspondant de $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , il faut revenir à l'échelle initiale :

x_p=\mu+\sigma z_p

où $x_p$ est le fractile d'ordre $p$ de $X$ et $z_p$ celui de la loi normale centrée réduite.

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