B10 · Probabilités

Probabilités totales et théorème de Bayes

Appliquer la formule des probabilités totales à un système complet d'événements. Utiliser le théorème de Bayes pour inverser un conditionnement, notamment dans le cas d'une partition binaire.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

1. Du conditionnement à la décomposition d'une probabilité

La probabilité conditionnelle et l'indépendance sont définies dans la fiche précédente. Ici, on utilise principalement la relation, valable lorsque $P(A) > 0$ :

P(A \cap B)=P(A)\,P(B\mid A)

Elle exprime que, pour que $A$ et $B$ se réalisent simultanément, il faut d'abord se placer dans $A$ , puis mesurer la probabilité de $B$ parmi les issues appartenant à $A$ .

Les deux propriétés d'un système complet sont donc :

incompatibilité deux à deux : si $i \neq j$ , alors $A_i \cap A_j=\varnothing$ ;
exhaustivité : $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_i=\Omega$ .

Chaque issue appartient ainsi à une et une seule partie de la partition. Tout événement $B$ peut alors être décomposé selon la partie $A_i$ dans laquelle il survient :

B=\bigcup_{i=1}^{n}(B\cap A_i)

Les événements $B\cap A_i$ étant deux à deux incompatibles, l'additivité des probabilités donne :

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)

Puis l'identité du produit permet d'écrire chaque terme sous la forme $P(A_i)P(B\mid A_i)$ .

2. Formule des probabilités totales

Cette formule additionne les différentes voies incompatibles par lesquelles $B$ peut survenir. Le produit $P(A_i)P(B\mid A_i)$ est la probabilité de la voie $A_i\cap B$ . Comme le système est exhaustif, aucune voie n'est oubliée ; comme ses parties sont incompatibles, aucune n'est comptée deux fois.

La formule écrite avec des probabilités conditionnelles suppose que les événements $A_i$ utilisés vérifient $P(A_i)>0$ . Une partie de probabilité nulle ne contribue pas à la somme et peut être écartée.

Partition binaire

La partition la plus simple est formée par un événement $A$ et son événement contraire $\overline A$ . Ils sont incompatibles et leur réunion vaut $\Omega$ .

Comme $P(\overline A)=1-P(A)$ , une seule des deux probabilités de la partition doit être connue indépendamment.

Exemple

Calculer la probabilité totale d'un test positif

Dans une population, l'événement $A$ est « être atteint d'une maladie » et l'événement $B$ est « avoir un test positif ».

Les données sont :

$P(A)=0{,}02$ ;
$P(B\mid A)=0{,}90$ ;
$P(B\mid \overline A)=0{,}05$ .

La probabilité de ne pas être atteint est :

$P(\overline A)=1-0{,}02=0{,}98$ .

Les deux voies menant à un test positif sont :

$P(A)P(B\mid A)=0{,}02\times0{,}90=0{,}018$

$P(\overline A)P(B\mid \overline A)=0{,}98\times0{,}05=0{,}049$ .

Ainsi :

$P(B)=0{,}018+0{,}049=0{,}067$ .

La probabilité d'obtenir un test positif est donc de $6{,}7\%$ . Les probabilités conditionnelles $0{,}90$ et $0{,}05$ ne sont pas additionnées directement : chacune est pondérée par la fréquence de la partie correspondante.

3. Inverser un conditionnement

Connaître $P(B\mid A)$ ne permet pas de lire directement $P(A\mid B)$ . La première probabilité mesure la fréquence de $B$ à l'intérieur de $A$ ; la seconde mesure la fréquence de $A$ à l'intérieur de $B$ . Les ensembles de référence ne sont donc pas les mêmes.

Comparaison

Sens direct et sens inverse du conditionnement

Quantité	Ensemble de référence	Interprétation
$P(B\mid A)$	$A$	probabilité de $B$ parmi les issues de $A$
$P(A\mid B)$	$B$	probabilité de $A$ parmi les issues de $B$

Inverser l'ordre des événements modifie le dénominateur de la probabilité conditionnelle.

À partir de la définition de la probabilité conditionnelle, si $P(B)>0$ :

P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}

Or l'identité du produit donne $P(A_i\cap B)=P(A_i)P(B\mid A_i)$ , tandis que la formule des probabilités totales fournit le dénominateur $P(B)$ .

4. Théorème de Bayes

Le numérateur est la probabilité de l'intersection $A_i\cap B$ . Le dénominateur est la probabilité totale de $B$ , obtenue en additionnant toutes les voies possibles menant à $B$ . Le théorème ne crée donc pas une nouvelle règle indépendante : il combine la définition du conditionnement avec les probabilités totales.

Probabilité a priori et probabilité a posteriori

Le facteur $P(B\mid A_i)$ mesure la compatibilité de l'information $B$ avec la partie $A_i$ . Toutefois, la probabilité a posteriori dépend également de la probabilité a priori : une forte probabilité conditionnelle ne suffit pas, à elle seule, à rendre $A_i$ très probable après observation de $B$ .

5. Théorème de Bayes dans une partition binaire

Lorsque le système complet est formé de $A$ et $\overline A$ , le théorème prend une forme particulièrement importante.

Le numérateur correspond à la voie $A\cap B$ . Le dénominateur ajoute les deux voies incompatibles conduisant à $B$ : $A\cap B$ et $\overline A\cap B$ .

Exemple

Inverser le conditionnement après un test positif

L'événement $A$ est « être atteint d'une maladie » et l'événement $B$ est « avoir un test positif ».

Les données sont :

$P(A)=0{,}01$ ;
$P(B\mid A)=0{,}95$ ;
$P(B\mid \overline A)=0{,}04$ .

La probabilité d'un test positif se calcule d'abord par les probabilités totales :

$P(B)=0{,}01\times0{,}95+0{,}99\times0{,}04$

$P(B)=0{,}0095+0{,}0396=0{,}0491$ .

La probabilité d'être atteint sachant que le test est positif vaut alors :

$P(A\mid B)=\frac{0{,}0095}{0{,}0491}=0{,}1935$ .

Ainsi, $P(A\mid B)$ est d'environ $19{,}4\%$ . Parmi les personnes ayant un test positif, environ $19$ sur $100$ sont réellement atteintes de la maladie.

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Probabilités totales et théorème de Bayes

Appliquer la formule des probabilités totales à un système complet d'événements. Utiliser le théorème de Bayes pour inverser un conditionnement, notamment dans le cas d'une partition binaire.

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1. Du conditionnement à la décomposition d'une probabilité

La probabilité conditionnelle et l'indépendance sont définies dans la fiche précédente. Ici, on utilise principalement la relation, valable lorsque $P(A) > 0$ :

P(A \cap B)=P(A)\,P(B\mid A)

Elle exprime que, pour que $A$ et $B$ se réalisent simultanément, il faut d'abord se placer dans $A$ , puis mesurer la probabilité de $B$ parmi les issues appartenant à $A$ .

Les deux propriétés d'un système complet sont donc :

incompatibilité deux à deux : si $i \neq j$ , alors $A_i \cap A_j=\varnothing$ ;
exhaustivité : $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_i=\Omega$ .

Chaque issue appartient ainsi à une et une seule partie de la partition. Tout événement $B$ peut alors être décomposé selon la partie $A_i$ dans laquelle il survient :

B=\bigcup_{i=1}^{n}(B\cap A_i)

Les événements $B\cap A_i$ étant deux à deux incompatibles, l'additivité des probabilités donne :

P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)

Puis l'identité du produit permet d'écrire chaque terme sous la forme $P(A_i)P(B\mid A_i)$ .

2. Formule des probabilités totales

Partition binaire

La partition la plus simple est formée par un événement $A$ et son événement contraire $\overline A$ . Ils sont incompatibles et leur réunion vaut $\Omega$ .

Comme $P(\overline A)=1-P(A)$ , une seule des deux probabilités de la partition doit être connue indépendamment.

Exemple

Calculer la probabilité totale d'un test positif

Dans une population, l'événement $A$ est « être atteint d'une maladie » et l'événement $B$ est « avoir un test positif ».

Les données sont :

$P(A)=0{,}02$ ;
$P(B\mid A)=0{,}90$ ;
$P(B\mid \overline A)=0{,}05$ .

La probabilité de ne pas être atteint est :

$P(\overline A)=1-0{,}02=0{,}98$ .

Les deux voies menant à un test positif sont :

$P(A)P(B\mid A)=0{,}02\times0{,}90=0{,}018$

$P(\overline A)P(B\mid \overline A)=0{,}98\times0{,}05=0{,}049$ .

Ainsi :

$P(B)=0{,}018+0{,}049=0{,}067$ .

3. Inverser un conditionnement

Comparaison

Sens direct et sens inverse du conditionnement

Quantité	Ensemble de référence	Interprétation
$P(B\mid A)$	$A$	probabilité de $B$ parmi les issues de $A$
$P(A\mid B)$	$B$	probabilité de $A$ parmi les issues de $B$

Inverser l'ordre des événements modifie le dénominateur de la probabilité conditionnelle.

À partir de la définition de la probabilité conditionnelle, si $P(B)>0$ :

P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}

Or l'identité du produit donne $P(A_i\cap B)=P(A_i)P(B\mid A_i)$ , tandis que la formule des probabilités totales fournit le dénominateur $P(B)$ .

4. Théorème de Bayes

Probabilité a priori et probabilité a posteriori

5. Théorème de Bayes dans une partition binaire

Lorsque le système complet est formé de $A$ et $\overline A$ , le théorème prend une forme particulièrement importante.

Le numérateur correspond à la voie $A\cap B$ . Le dénominateur ajoute les deux voies incompatibles conduisant à $B$ : $A\cap B$ et $\overline A\cap B$ .

Exemple

Inverser le conditionnement après un test positif

L'événement $A$ est « être atteint d'une maladie » et l'événement $B$ est « avoir un test positif ».

Les données sont :

$P(A)=0{,}01$ ;
$P(B\mid A)=0{,}95$ ;
$P(B\mid \overline A)=0{,}04$ .

La probabilité d'un test positif se calcule d'abord par les probabilités totales :

$P(B)=0{,}01\times0{,}95+0{,}99\times0{,}04$

$P(B)=0{,}0095+0{,}0396=0{,}0491$ .

La probabilité d'être atteint sachant que le test est positif vaut alors :

$P(A\mid B)=\frac{0{,}0095}{0{,}0491}=0{,}1935$ .

Ainsi, $P(A\mid B)$ est d'environ $19{,}4\%$ . Parmi les personnes ayant un test positif, environ $19$ sur $100$ sont réellement atteintes de la maladie.

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