B10 · Probabilités

Langage des événements et axiomes des probabilités

Définir expérience aléatoire, univers, événement élémentaire, certain et impossible et les opérations sur les événements. Énoncer les axiomes des probabilités, le cas d'équiprobabilité et l'estimation d'une probabilité par une fréquence observée.

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Décrire une expérience aléatoire

Chaque résultat possible est appelé une issue. Le caractère aléatoire ne signifie donc pas que les résultats sont inconnus, mais qu'il existe une incertitude sur l'issue qui se réalisera.

La définition de l'univers dépend de la précision avec laquelle l'expérience est décrite. Il doit néanmoins être exhaustif : toute issue possible doit appartenir à $\Omega$ .

Ainsi, une issue est un résultat individuel, tandis qu'un événement peut regrouper plusieurs issues.

Dans un univers fini ou dénombrable, un événement peut être décrit comme une réunion d'événements élémentaires. Dans un univers continu, les événements élémentaires peuvent avoir une probabilité nulle sans être impossibles.

Comparaison

Événements remarquables

Événement	Ensemble associé	Signification
Certain	$\Omega$	Il est réalisé quelle que soit l'issue
Impossible	$\varnothing$	Il ne peut être réalisé
Élémentaire	singleton de $\Omega$	Il correspond à une seule issue

Opérations sur les événements

Les événements étant des ensembles, les opérations logiques se traduisent par des opérations ensemblistes.

Réunion et intersection

Le mot « ou » est ici inclusif : la réalisation simultanée de $A$ et de $B$ appartient à $A \cup B$ .

L'incompatibilité est une propriété logique des événements. Elle ne doit pas être confondue avec l'indépendance, notion probabiliste étudiée dans la fiche suivante.

Complémentaire, différence et inclusion

On a donc $A \cup A^{c} = \Omega$ et $A \cap A^{c} = \varnothing$ .

La différence $A \setminus B$ rassemble les issues qui appartiennent à $A$ mais pas à $B$ . Elle s'écrit aussi $A \cap B^{c}$ .

L’inclusion $A \subseteq B$ signifie que toute issue appartenant à $A$ appartient aussi à $B$ . Par conséquent, la réalisation de $A$ entraîne nécessairement celle de $B$ .

Les lois de De Morgan permettent de transformer le contraire d'une opération :

\left(A \cup B\right)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \qquad \text{et} \qquad \left(A \cap B\right)^{c} = A^{c} \cup B^{c}.

Probabilité d'un événement

Cette mesure n'est pas attribuée arbitrairement : elle doit respecter les axiomes de Kolmogorov.

Le premier axiome impose la positivité. Le deuxième normalise la probabilité totale à $1$ . Le troisième, appelé additivité dénombrable, affirme que les probabilités s'additionnent lorsque les événements ne se recouvrent pas.

Conséquences des axiomes

Les propriétés usuelles se déduisent des trois axiomes :

$P(\varnothing)=0$ ;
$0 \leq P(A) \leq 1$ ;
$P(A^{c})=1-P(A)$ ;
si $A \subseteq B$ , alors $P(A) \leq P(B)$ ;
pour deux événements quelconques, il faut retrancher leur intersection, comptée deux fois dans la somme.

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B)=0$ et la relation devient $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ .

Exemple

Calculer la probabilité d'une réunion

Dans une population, $P(A)=0{,}35$ représente la probabilité qu'une personne présente le caractère $A$ , et $P(B)=0{,}40$ celle qu'elle présente le caractère $B$ . Les deux caractères sont présents simultanément avec la probabilité $P(A \cap B)=0{,}15$ .

La probabilité de présenter au moins l'un des deux caractères est :

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

P(A \cup B)=0{,}35+0{,}40-0{,}15=0{,}60

Ainsi, la probabilité de présenter $A$ ou $B$ , y compris les deux à la fois, est $0{,}60$ , soit $60\%$ . L'intersection est retranchée car les personnes ayant les deux caractères ont d'abord été comptées deux fois.

Cas d'équiprobabilité

Si l'univers contient $N$ issues équiprobables, chacune possède une probabilité égale à $\frac{1}{N}$ . La probabilité d'un événement dépend alors uniquement du nombre d'issues qu'il contient.

Cette formule ne définit pas toute probabilité. Elle n'est valable que si l'univers est fini et si l'équiprobabilité est justifiée.

Estimer une probabilité par une fréquence

Une probabilité théorique n'est pas toujours directement connue. Elle peut être approchée en répétant l'expérience dans des conditions comparables et en observant la proportion de réalisations de l'événement.

La fréquence $f_n(A)$ est une estimation de la probabilité inconnue $P(A)$ . Elle dépend des observations et fluctue d'une série de répétitions à l'autre. Lorsque le nombre de répétitions augmente dans des conditions appropriées, elle tend à se stabiliser autour de $P(A)$ .

La probabilité appartient au modèle théorique, tandis que la fréquence appartient aux données recueillies. Leur rapprochement est justifié par des résultats probabilistes ultérieurs, notamment les lois de convergence.

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