B10 · Probabilités

Probabilités conditionnelles et indépendance

Définir la probabilité conditionnelle et la règle du produit. Caractériser l'indépendance de deux événements et de deux expériences et énoncer la loi des grands nombres.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Conditionner une probabilité

Une expérience aléatoire est une procédure dont l'issue ne peut pas être prévue avec certitude. L'ensemble de ses issues possibles est l'univers, noté $\Omega$ . Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$ .

Les axiomes généraux des probabilités relèvent de la fiche précédente. Ici, on cherche à modifier l'évaluation d'un événement lorsqu'une information supplémentaire est connue.

Principe du conditionnement

Supposons que l'événement $A$ soit réalisé. Les issues situées hors de $A$ deviennent impossibles. L'univers pertinent n'est donc plus $\Omega$ , mais $A$ . Pour évaluer la probabilité d'un autre événement $B$ , on ne conserve que les issues appartenant simultanément à $A$ et à $B$ , c'est-à-dire à l'intersection $A\cap B$ .

Le conditionnement définit une nouvelle loi de probabilité sur l'univers réduit à $A$ . Il vérifie donc les propriétés usuelles d'une probabilité :

$0\leq P(B\mid A)\leq 1$ ;
$P(\Omega\mid A)=1$ ;
$P(A\mid A)=1$ ;
$P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)$ , où $\overline{B}$ désigne l'événement contraire de $B$ ;
si $B$ et $C$ sont incompatibles, alors $P(B\cup C\mid A)=P(B\mid A)+P(C\mid A)$ .

Règle du produit

La définition précédente peut être réarrangée afin de calculer la probabilité d'une réalisation simultanée. Cette écriture est appelée règle du produit ou formule des probabilités composées.

Lorsque $P(B)>0$ , la même intersection peut également s'écrire :

P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B).

L'ordre choisi ne change donc pas la probabilité de l'intersection, mais il change la probabilité conditionnelle utilisée. Dans une succession d'étapes, la règle se lit comme le produit de la probabilité de la première étape par celle de la seconde conditionnellement à la première.

Exemple

Appliquer la règle du produit à deux tirages sans remise

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. Deux boules sont tirées successivement sans remise.

Soit $A$ l'événement « la première boule est rouge » et $B$ l'événement « la deuxième boule est rouge ».

$P(A)=\frac{4}{10}$ .
Après une première boule rouge, il reste $3$ boules rouges parmi $9$ boules. Ainsi, $P(B\mid A)=\frac{3}{9}$ .
La probabilité de tirer deux boules rouges vaut donc :

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{2}{15}.

La probabilité d'obtenir deux boules rouges successives est donc $\frac{2}{15}$ , soit environ $0{,}133$ . La seconde probabilité est conditionnelle à la première car le tirage se fait sans remise.

Le théorème des probabilités totales et le théorème de Bayes exploitent cette règle, mais sont traités dans la fiche suivante.

Indépendance de deux événements

Le conditionnement mesure l'effet de l'information « $A$ est réalisé » sur la probabilité de $B$ . Si cette information ne modifie pas la probabilité de $B$ , les deux événements sont indépendants.

Si $P(A)>0$ , cette condition équivaut à $P(B\mid A)=P(B)$ . Si $P(B)>0$ , elle équivaut aussi à $P(A\mid B)=P(A)$ . L’indépendance est donc une relation symétrique, même si le conditionnement ne l’est pas.

Exemple

Vérifier l'indépendance avec une pièce et un dé

Une pièce équilibrée et un dé équilibré sont lancés simultanément.

Soit $A$ l'événement « obtenir pile » et $B$ l'événement « obtenir un nombre pair au dé ».

$P(A)=\frac{1}{2}$ .
$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .
Il y a $12$ issues équiprobables pour l'expérience composée. Les issues favorables à la fois à A et à B sont « pile et 2 », « pile et 4 » et « pile et 6 » ; ainsi $P(A\cap B)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .
Or $P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Comme $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , les événements A et B sont indépendants. Le résultat de la pièce ne modifie pas la probabilité d'obtenir un nombre pair au dé.

Indépendance et incompatibilité

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément, donc lorsque $A\cap B=\varnothing$ et $P(A\cap B)=0$ .

Comparaison

Indépendance et incompatibilité

Critère	Événements indépendants	Événements incompatibles
Probabilité conjointe	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	$P(A\cap B)=0$
Effet de la réalisation de $A$ sur $B$	aucun effet probabiliste	réalisation de $B$ impossible
Coexistence possible si les probabilités sont positives	oui	non

L'indépendance signifie absence d'influence probabiliste, et non impossibilité de coexistence.

Ainsi, deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont jamais indépendants. En effet, leur intersection a une probabilité nulle alors que le produit de leurs probabilités est strictement positif.

L'indépendance se transmet aux événements contraires : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ , $\overline{A}$ et $B$ , ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont également indépendants.

Indépendance de deux expériences

Cette définition doit être vérifiée pour tous les événements considérés dans les deux expériences. Si $A$ dépend seulement de la première expérience et $B$ seulement de la seconde, l'indépendance impose :

P(A\cap B)=P(A)P(B).

L'univers de l'expérience composée est le produit des univers des deux expériences. L'indépendance signifie que la loi conjointe se factorise en produit des lois propres à chaque expérience.

Des expériences répétées sont dites identiquement distribuées lorsqu'elles obéissent toutes à la même loi de probabilité. Cette propriété est distincte de l'indépendance : des expériences peuvent suivre la même loi tout en restant dépendantes.

Loi des grands nombres

On répète une même expérience dans des conditions identiques et indépendantes. Pour un événement fixé de probabilité $p$ , sa fréquence observée tend à se rapprocher de $p$ lorsque le nombre de répétitions augmente.

Cette relation signifie que la probabilité d'observer un écart au moins égal à $\varepsilon$ entre la fréquence $F_n$ et la probabilité $p$ tend vers zéro. La fréquence n'est pas nécessairement égale à $p$ pour un nombre fini de répétitions : elle fluctue, mais les écarts importants deviennent de moins en moins probables.

Le théorème central limite, traité dans une fiche ultérieure, décrit plus précisément la forme des fluctuations autour de cette limite.

Entre ton email pour débloquer le reste de cette fiche

Il reste 2 sections à lire — plus les QCM corrigés, l'examen blanc et le suivi. 72 h d'essai gratuit, sans carte bancaire.

B10 · Probabilités

Probabilités conditionnelles et indépendance

Définir la probabilité conditionnelle et la règle du produit. Caractériser l'indépendance de deux événements et de deux expériences et énoncer la loi des grands nombres.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Conditionner une probabilité

Les axiomes généraux des probabilités relèvent de la fiche précédente. Ici, on cherche à modifier l'évaluation d'un événement lorsqu'une information supplémentaire est connue.

Principe du conditionnement

Le conditionnement définit une nouvelle loi de probabilité sur l'univers réduit à $A$ . Il vérifie donc les propriétés usuelles d'une probabilité :

$0\leq P(B\mid A)\leq 1$ ;
$P(\Omega\mid A)=1$ ;
$P(A\mid A)=1$ ;
$P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)$ , où $\overline{B}$ désigne l'événement contraire de $B$ ;
si $B$ et $C$ sont incompatibles, alors $P(B\cup C\mid A)=P(B\mid A)+P(C\mid A)$ .

Règle du produit

Lorsque $P(B)>0$ , la même intersection peut également s'écrire :

P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B).

Exemple

Appliquer la règle du produit à deux tirages sans remise

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. Deux boules sont tirées successivement sans remise.

Soit $A$ l'événement « la première boule est rouge » et $B$ l'événement « la deuxième boule est rouge ».

$P(A)=\frac{4}{10}$ .
Après une première boule rouge, il reste $3$ boules rouges parmi $9$ boules. Ainsi, $P(B\mid A)=\frac{3}{9}$ .
La probabilité de tirer deux boules rouges vaut donc :

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{2}{15}.

Le théorème des probabilités totales et le théorème de Bayes exploitent cette règle, mais sont traités dans la fiche suivante.

Indépendance de deux événements

Exemple

Vérifier l'indépendance avec une pièce et un dé

Une pièce équilibrée et un dé équilibré sont lancés simultanément.

Soit $A$ l'événement « obtenir pile » et $B$ l'événement « obtenir un nombre pair au dé ».

$P(A)=\frac{1}{2}$ .
$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .
Il y a $12$ issues équiprobables pour l'expérience composée. Les issues favorables à la fois à A et à B sont « pile et 2 », « pile et 4 » et « pile et 6 » ; ainsi $P(A\cap B)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .
Or $P(A)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Comme $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , les événements A et B sont indépendants. Le résultat de la pièce ne modifie pas la probabilité d'obtenir un nombre pair au dé.

Indépendance et incompatibilité

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément, donc lorsque $A\cap B=\varnothing$ et $P(A\cap B)=0$ .

Comparaison

Indépendance et incompatibilité

Critère	Événements indépendants	Événements incompatibles
Probabilité conjointe	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	$P(A\cap B)=0$
Effet de la réalisation de $A$ sur $B$	aucun effet probabiliste	réalisation de $B$ impossible
Coexistence possible si les probabilités sont positives	oui	non

L'indépendance signifie absence d'influence probabiliste, et non impossibilité de coexistence.

Indépendance de deux expériences

P(A\cap B)=P(A)P(B).

L'univers de l'expérience composée est le produit des univers des deux expériences. L'indépendance signifie que la loi conjointe se factorise en produit des lois propres à chaque expérience.

Loi des grands nombres

Le théorème central limite, traité dans une fiche ultérieure, décrit plus précisément la forme des fluctuations autour de cette limite.

Entre ton email pour débloquer le reste de cette fiche

Il reste 2 sections à lire — plus les QCM corrigés, l'examen blanc et le suivi. 72 h d'essai gratuit, sans carte bancaire.