B10 · Probabilités

Lois discrètes usuelles : Bernoulli, binomiale et Poisson

Reconnaître le schéma expérimental conduisant à chaque loi et en écrire les paramètres. Calculer une probabilité, une espérance et une variance et appliquer l'approximation de la binomiale par la loi de Poisson.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Cadre général des lois discrètes

Une variable aléatoire discrète associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire et ne peut prendre qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Sa loi indique la probabilité associée à chacune de ces valeurs.

Les notions d’indépendance, d’espérance et de variance sont établies dans les fiches précédentes du sous-bloc. Ici, elles servent à reconnaître et à caractériser trois lois usuelles.

Pour toute variable discrète $X$ , les probabilités élémentaires vérifient deux propriétés :

$\mathbb{P}(X=x) \geq 0$ pour toute valeur $x$ du support ;
la somme des probabilités sur l’ensemble du support vaut $1$ .

L’espérance mesure la valeur moyenne théorique de $X$ lors d’un grand nombre de répétitions. La variance mesure la dispersion quadratique de $X$ autour de son espérance.

Loi de Bernoulli

Schéma expérimental

La variable indicatrice $X$ associée à l’épreuve vaut :

$X=1$ si le succès se produit ;
$X=0$ si l’échec se produit.

On note alors $X \sim \operatorname{Ber}(p)$ , où $p$ est la probabilité de succès et vérifie $0 \leq p \leq 1$ . Le support de $X$ est $\{0,1\}$ .

Cette écriture compacte donne bien $\mathbb{P}(X=1)=p$ et $\mathbb{P}(X=0)=1-p$ .

Espérance et variance

L’espérance vaut $p$ parce que la variable prend la valeur $1$ avec probabilité $p$ et la valeur $0$ sinon. La variance est nulle lorsque $p=0$ ou $p=1$ , car l’issue est alors certaine. Elle est maximale lorsque les deux issues sont équiprobables.

Loi binomiale

Répétition d’épreuves de Bernoulli

Si $X$ compte les succès obtenus, alors :

X \sim \operatorname{Bin}(n,p).

Le paramètre $n$ est un entier naturel strictement positif et $p$ vérifie $0 \leq p \leq 1$ . Le support est $\{0,1,\ldots,n\}$ .

La loi binomiale exige simultanément :

un nombre d’épreuves fixé à l’avance ;
deux issues par épreuve ;
une probabilité de succès constante ;
l’indépendance des épreuves ;
le comptage du nombre de succès.

Si $X_i$ est l’indicatrice du succès à la $i$ -ème épreuve, alors $X=X_1+\cdots+X_n$ . Cette décomposition explique que la loi binomiale soit une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ .

Probabilité d’obtenir exactement $k$ succès

Le facteur $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’une disposition déterminée comportant $k$ succès et $n-k$ échecs. Le coefficient binomial compte toutes les dispositions différentes ayant cette même composition.

Pour obtenir une probabilité portant sur plusieurs valeurs de $X$ , il faut additionner les probabilités élémentaires correspondantes. En particulier, une probabilité cumulée s’écrit comme une somme de termes binomiaux.

Espérance et variance

L’espérance est la somme des espérances des $n$ indicatrices. La variance est la somme de leurs variances parce qu’elles sont indépendantes.

Loi de Poisson

Schéma de comptage

On note $X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$ , avec $\lambda>0$ . Le paramètre $\lambda$ représente le nombre moyen d’événements dans le domaine étudié. Le support est l’ensemble $\{0,1,2,\ldots\}$ .

Le domaine peut être découpé en sous-domaines disjoints. Le modèle de Poisson suppose que les nombres d’événements observés dans ces sous-domaines sont indépendants et que leur moyenne est proportionnelle à leur étendue.

Espérance et variance

L’égalité entre moyenne et variance est une propriété caractéristique du modèle de Poisson. Une dispersion très différente de la moyenne signale que les hypothèses du modèle peuvent ne pas être adaptées.

Comparaison

Reconnaître les trois lois

Critère	Bernoulli	Binomiale	Poisson
Variable étudiée	indicatrice d’un succès	nombre de succès parmi $n$ épreuves	nombre d’événements dans un domaine fixé
Support	$\{0,1\}$	$\{0,\ldots,n\}$	$\{0,1,2,\ldots\}$
Paramètres	$p$	$n$ et $p$	$\lambda$
Espérance	$p$	$np$	$\lambda$
Variance	$p(1-p)$	$np(1-p)$	$\lambda$

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Lorsque $n$ est grand et $p$ faible, le nombre de succès d’une loi binomiale peut être approché par une loi de Poisson. Il faut conserver le produit $np$ , car il représente l’espérance du nombre de succès.

Exemple

Approcher un comptage binomial de succès rares par une loi de Poisson

Un test rare est positif avec une probabilité $p=0{,}002$ pour chacun de $1\,000$ prélèvements indépendants. Si $X$ désigne le nombre de tests positifs, alors $X\sim\operatorname{Bin}(1000,0{,}002)$ .

Le nombre d’épreuves est grand et la probabilité de succès est faible. L’approximation de Poisson utilise :

\lambda=np=1000\times 0{,}002=2

Ainsi, $X$ est approchée par une loi $\operatorname{Pois}(2)$ . La probabilité de n’observer aucun test positif est alors :

\mathbb{P}(X=0)\approx e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}\approx 0{,}1353

La probabilité d’obtenir aucun test positif est approximativement $0{,}1353$ , soit $13{,}53\%$ . Le nombre moyen attendu de tests positifs dans les $1\,000$ prélèvements est $2$ .

Cette approximation est cohérente pour les deux premiers moments :

la moyenne binomiale $np$ devient exactement $\lambda$ ;
la variance binomiale $np(1-p)$ est proche de $np=\lambda$ lorsque $p$ est faible.

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Les notions d’indépendance, d’espérance et de variance sont établies dans les fiches précédentes du sous-bloc. Ici, elles servent à reconnaître et à caractériser trois lois usuelles.

Pour toute variable discrète $X$ , les probabilités élémentaires vérifient deux propriétés :

$\mathbb{P}(X=x) \geq 0$ pour toute valeur $x$ du support ;
la somme des probabilités sur l’ensemble du support vaut $1$ .

L’espérance mesure la valeur moyenne théorique de $X$ lors d’un grand nombre de répétitions. La variance mesure la dispersion quadratique de $X$ autour de son espérance.

Loi de Bernoulli

Schéma expérimental

La variable indicatrice $X$ associée à l’épreuve vaut :

$X=1$ si le succès se produit ;
$X=0$ si l’échec se produit.

On note alors $X \sim \operatorname{Ber}(p)$ , où $p$ est la probabilité de succès et vérifie $0 \leq p \leq 1$ . Le support de $X$ est $\{0,1\}$ .

Cette écriture compacte donne bien $\mathbb{P}(X=1)=p$ et $\mathbb{P}(X=0)=1-p$ .

Espérance et variance

Loi binomiale

Répétition d’épreuves de Bernoulli

Si $X$ compte les succès obtenus, alors :

X \sim \operatorname{Bin}(n,p).

Le paramètre $n$ est un entier naturel strictement positif et $p$ vérifie $0 \leq p \leq 1$ . Le support est $\{0,1,\ldots,n\}$ .

La loi binomiale exige simultanément :

un nombre d’épreuves fixé à l’avance ;
deux issues par épreuve ;
une probabilité de succès constante ;
l’indépendance des épreuves ;
le comptage du nombre de succès.

Probabilité d’obtenir exactement $k$ succès

Espérance et variance

L’espérance est la somme des espérances des $n$ indicatrices. La variance est la somme de leurs variances parce qu’elles sont indépendantes.

Loi de Poisson

Schéma de comptage

Espérance et variance

Comparaison

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Critère	Bernoulli	Binomiale	Poisson
Variable étudiée	indicatrice d’un succès	nombre de succès parmi $n$ épreuves	nombre d’événements dans un domaine fixé
Support	$\{0,1\}$	$\{0,\ldots,n\}$	$\{0,1,2,\ldots\}$
Paramètres	$p$	$n$ et $p$	$\lambda$
Espérance	$p$	$np$	$\lambda$
Variance	$p(1-p)$	$np(1-p)$	$\lambda$

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Exemple

Approcher un comptage binomial de succès rares par une loi de Poisson

Le nombre d’épreuves est grand et la probabilité de succès est faible. L’approximation de Poisson utilise :

\lambda=np=1000\times 0{,}002=2

Ainsi, $X$ est approchée par une loi $\operatorname{Pois}(2)$ . La probabilité de n’observer aucun test positif est alors :

\mathbb{P}(X=0)\approx e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}\approx 0{,}1353

La probabilité d’obtenir aucun test positif est approximativement $0{,}1353$ , soit $13{,}53\%$ . Le nombre moyen attendu de tests positifs dans les $1\,000$ prélèvements est $2$ .

Cette approximation est cohérente pour les deux premiers moments :

la moyenne binomiale $np$ devient exactement $\lambda$ ;
la variance binomiale $np(1-p)$ est proche de $np=\lambda$ lorsque $p$ est faible.

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Cadre général des lois discrètes

Loi de Bernoulli

Schéma expérimental

Espérance et variance

Loi binomiale

Répétition d’épreuves de Bernoulli

Probabilité d’obtenir exactement kkk succès

Espérance et variance

Loi de Poisson

Schéma de comptage

Espérance et variance

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

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Loi de Bernoulli

Schéma expérimental

Espérance et variance

Loi binomiale

Répétition d’épreuves de Bernoulli

Probabilité d’obtenir exactement kkk succès

Espérance et variance

Loi de Poisson

Schéma de comptage

Espérance et variance

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Probabilité d’obtenir exactement $k$ succès

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