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Sommaire

  • 1Champ magnétique et magnétostatique
    • 1.1Sources du champ magnétique
  • 2Action du champ sur une charge en mouvement
  • 3Dipôle et moment magnétique lock — section verrouillée
  • 4Moment magnétique nucléaire lock — section verrouillée
  • 5Comportement dans un champ magnétique appliqué lock — section verrouillée
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B7 · Ondes électromagnétiques et magnétisme

Magnétostatique et moment magnétique

Définir le champ magnétique, ses sources et l'action d'un champ sur une charge en mouvement. Introduire le moment magnétique nucléaire et son comportement dans un champ appliqué.

Biophysique·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Champ magnétique et magnétostatique

Définition

Magnétostatique

Étude des champs magnétiques indépendants du temps, produits par des courants électriques stationnaires ou par des distributions permanentes de moments magnétiques.

Définition

Champ magnétique B⃗\vec BB

Champ vectoriel qui caractérise, en chaque point de l’espace, l’action magnétique susceptible de s’exercer sur une charge électrique en mouvement ou sur un dipôle magnétique.

Le champ magnétique est noté B⃗\vec BB et s’exprime dans le Système international en teslas, de symbole T\mathrm{T}T. Sa direction et son sens sont représentés par des lignes de champ tangentes à B⃗\vec BB en chaque point.

Les lignes de champ magnétique sont toujours fermées. Contrairement aux lignes d’un champ électrique, elles ne partent pas d’une charge magnétique positive pour aboutir à une charge magnétique négative, car aucun monopôle magnétique isolé n’est introduit en magnétostatique classique.

Sources du champ magnétique

Un champ magnétique est produit par des charges électriques en mouvement. À l’échelle macroscopique, leur déplacement ordonné constitue un courant électrique.

Définition

Courant électrique stationnaire

Déplacement collectif de charges dont l’intensité et la distribution spatiale ne varient pas au cours du temps.

La contribution élémentaire d’un courant au champ magnétique est décrite par la loi de Biot et Savart.

Formule

Loi de Biot et Savart

dB⃗=μ04πI dℓ⃗×u⃗rr2\mathrm d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,\mathrm d\vec \ell \times \vec u_r}{r^2}dB=4πμ0​​r2Idℓ×ur​​
  • dB⃗\mathrm d\vec BdB : contribution élémentaire au champ magnétique, en teslas
  • μ0\mu_0μ0​ : perméabilité magnétique du vide, en henrys par mètre
  • III : intensité du courant électrique, en ampères
  • dℓ⃗\mathrm d\vec \elldℓ : élément vectoriel orienté dans le sens du courant, en mètres
  • u⃗r\vec u_rur​ : vecteur unitaire dirigé de l’élément de courant vers le point étudié
  • rrr : distance entre l’élément de courant et le point étudié, en mètres
  • ×\times× : produit vectoriel

Le champ total est obtenu en additionnant vectoriellement les contributions de tous les éléments de courant. Le produit vectoriel impose que dB⃗\mathrm d\vec BdB soit perpendiculaire à la fois à l’élément de courant et à la direction reliant cet élément au point étudié.

Dans la matière, les propriétés magnétiques macroscopiques proviennent également de mouvements électroniques microscopiques et de moments magnétiques intrinsèques. Un aimant permanent ne constitue donc pas une nouvelle catégorie de source fondamentale indépendante des charges en mouvement et des moments magnétiques microscopiques.

À retenir

Les sources du champ magnétique sont les charges en mouvement et les moments magnétiques. Les lignes de B⃗\vec BB sont fermées, ce qui traduit l’absence de monopôles magnétiques isolés dans le modèle classique.

Action du champ sur une charge en mouvement

Une charge électrique immobile ne subit aucune force magnétique. Lorsqu’elle se déplace dans un champ magnétique, elle subit la composante magnétique de la force de Lorentz.

Formule

Force magnétique de Lorentz

F⃗m=q v⃗×B⃗\vec F_m = q\,\vec v \times \vec BFm​=qv×B
  • F⃗m\vec F_mFm​ : force magnétique exercée sur la charge, en newtons
  • qqq : charge électrique de la particule, en coulombs
  • v⃗\vec vv : vitesse de la particule, en mètres par seconde
  • B⃗\vec BB : champ magnétique, en teslas
  • ×\times× : produit vectoriel

La norme de cette force vaut Fm=∣q∣vBsin⁡θF_m = \lvert q\rvert vB\sin\thetaFm​=∣q∣vBsinθ, où θ\thetaθ est l’angle entre v⃗\vec vv et B⃗\vec BB. Elle est donc :

  • nulle si la particule est immobile ou si son mouvement est parallèle au champ ;
  • maximale si la vitesse est perpendiculaire au champ ;
  • perpendiculaire à la vitesse et au champ.

Le sens de F⃗m\vec F_mFm​ est donné par l’orientation du produit vectoriel pour une charge positive. Il est inversé pour une charge négative.

Puisque la force magnétique est perpendiculaire à la vitesse, sa puissance instantanée est nulle. Elle peut modifier la direction du mouvement, mais pas directement la norme de la vitesse ni l’énergie cinétique de la particule.

Attention

Champ magnétique et énergie cinétique

Un champ magnétique statique peut courber une trajectoire, mais il ne fournit pas de travail à une charge ponctuelle. Il ne faut pas confondre modification de la quantité de mouvement vectorielle et modification de l’énergie cinétique.

Dipôle et moment magnétique

Définition

Dipôle magnétique

Système dont le comportement à distance est caractérisé par un moment magnétique vectoriel, comme une petite boucle parcourue par un courant.

Définition

Moment magnétique μ⃗\vec\muμ​

Grandeur vectorielle qui mesure l’intensité et l’orientation du comportement dipolaire magnétique d’un système. Elle s’exprime en joules par tesla.

Pour une boucle plane parcourue par un courant, le moment magnétique est orienté perpendiculairement au plan de la boucle. Placé dans un champ uniforme, un dipôle subit un couple qui tend à aligner son moment magnétique avec le champ.

Formule

Couple et énergie d’un dipôle magnétique

Γ⃗=μ⃗×B⃗U=−μ⃗⋅B⃗=−μBcos⁡θ\vec\Gamma = \vec\mu \times \vec B \qquad U = -\vec\mu \cdot \vec B = -\mu B\cos\thetaΓ=μ​×BU=−μ​⋅B=−μBcosθ
  • Γ⃗\vec\GammaΓ : couple exercé sur le dipôle, en newton-mètres
  • μ⃗\vec\muμ​ : moment magnétique du dipôle, en joules par tesla
  • B⃗\vec BB : champ magnétique, en teslas
  • UUU : énergie potentielle magnétique, en joules
  • μ\muμ : norme du moment magnétique, en joules par tesla
  • BBB : norme du champ magnétique, en teslas
  • θ\thetaθ : angle entre μ⃗\vec\muμ​ et B⃗\vec BB
  • ×\times× : produit vectoriel
  • ⋅\cdot⋅ : produit scalaire

L’énergie est minimale lorsque μ⃗\vec\muμ​ est orienté dans le même sens que B⃗\vec BB. L’alignement parallèle correspond donc à la configuration énergétiquement favorisée, tandis que l’orientation opposée possède une énergie plus élevée.

Exemple

Énergie d’un dipôle selon son orientation

Pour un dipôle de moment magnétique μ=0,50 J/T\mu = \pu{0,50 J/T}μ=0,50 J/T placé dans un champ uniforme de norme B=2,0 TB = \pu{2,0 T}B=2,0 T, le produit μB\mu BμB vaut :

μB=0,50 J/T×2,0 T=1,0 J\mu B = \pu{0,50 J/T} \times \pu{2,0 T} = \pu{1,0 J}μB=0,50 J/T×2,0 T=1,0 J.

  • Si le moment est parallèle au champ, θ=0∘\theta = 0^\circθ=0∘ et U=−μBcos⁡θ=−1,0 JU = -\mu B\cos\theta = -\pu{1,0 J}U=−μBcosθ=−1,0 J.
  • Si le moment est perpendiculaire au champ, θ=90∘\theta = 90^\circθ=90∘ et U=0 JU = \pu{0 J}U=0 J.
  • Si le moment est opposé au champ, θ=180∘\theta = 180^\circθ=180∘ et U=+1,0 JU = +\pu{1,0 J}U=+1,0 J.

La configuration parallèle possède donc l’énergie potentielle la plus basse. Le dipôle tend à évoluer vers cette orientation favorable.

Moment magnétique nucléaire

Certains noyaux possèdent un moment cinétique intrinsèque quantifié, caractérisé par le nombre quantique de spin nucléaire III.

Définition

Moment cinétique nucléaire J⃗\vec JJ

Grandeur vectorielle quantifiée associée au spin nucléaire, dont la norme et les projections ne peuvent prendre que certaines valeurs.

La norme du moment cinétique nucléaire et sa projection sur un axe choisi sont données par :

Formule

Quantification du moment cinétique nucléaire

∥J⃗∥=ℏI(I+1)Jz=mIℏ\lVert\vec J\rVert = \hbar\sqrt{I(I+1)} \qquad J_z = m_I\hbar∥J∥=ℏI(I+1)​Jz​=mI​ℏ
  • J⃗\vec JJ : moment cinétique nucléaire
  • III : nombre quantique de spin nucléaire
  • ℏ\hbarℏ : constante de Planck réduite, en joule-secondes
  • JzJ_zJz​ : projection de J⃗\vec JJ sur l’axe zzz
  • mIm_ImI​ : nombre quantique magnétique nucléaire, prenant les valeurs de −I-I−I à III par pas entier

Le moment magnétique nucléaire est proportionnel au moment cinétique nucléaire.

Formule

Moment magnétique nucléaire

μ⃗=γJ⃗\vec\mu = \gamma\vec Jμ​=γJ
  • μ⃗\vec\muμ​ : moment magnétique nucléaire, en joules par tesla
  • γ\gammaγ : rapport gyromagnétique propre au type de noyau, en radians par seconde et par tesla
  • J⃗\vec JJ : moment cinétique nucléaire

Un noyau de spin nul, soit I=0I=0I=0, ne possède pas de moment magnétique nucléaire dans ce modèle. Lorsque III est non nul, les différentes valeurs de mIm_ImI​ correspondent à différentes orientations quantifiées par rapport à un axe.

Comportement dans un champ magnétique appliqué

Considérons un champ statique uniforme B⃗0\vec B_0B0​, choisi selon l’axe zzz. Le couple magnétique ne provoque pas un alignement instantané de μ⃗\vec\muμ​ sur le champ. Il entraîne une rotation de l’orientation du moment autour de B⃗0\vec B_0B0​, appelée précession.

Définition

Précession de Larmor

Mouvement de rotation du moment magnétique nucléaire autour de la direction d’un champ magnétique statique appliqué.

Formule

Pulsation et fréquence de Larmor

ω0=∣γ∣B0f0=ω02π=∣γ∣B02π\omega_0 = \lvert\gamma\rvert B_0 \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{\lvert\gamma\rvert B_0}{2\pi}ω0​=∣γ∣B0​f0​=2πω0​​=2π∣γ∣B0​​
  • ω0\omega_0ω0​ : pulsation de Larmor, en radians par seconde
  • γ\gammaγ : rapport gyromagnétique du noyau, en radians par seconde et par tesla
  • B0B_0B0​ : norme du champ magnétique statique appliqué, en teslas
  • f0f_0f0​ : fréquence de Larmor, en hertz
  • π\piπ : constante mathématique pi
Exemple

Fréquence de Larmor du proton dans un champ de 1,5 tesla

Pour le proton, la valeur de ∣γ∣/(2π)\lvert\gamma\rvert/(2\pi)∣γ∣/(2π) est 42,58 MHz/T\pu{42,58 MHz/T}42,58 MHz/T. Dans un champ statique de norme B0=1,5 TB_0 = \pu{1,5 T}B0​=1,5 T :

f0=∣γ∣B02π=42,58 MHz/T×1,5 T=63,87 MHzf_0 = \frac{\lvert\gamma\rvert B_0}{2\pi} = \pu{42,58 MHz/T} \times \pu{1,5 T} = \pu{63,87 MHz}f0​=2π∣γ∣B0​​=42,58 MHz/T×1,5 T=63,87 MHz

La fréquence de Larmor des protons est donc 63,87 MHz\pu{63,87 MHz}63,87 MHz. Chaque moment magnétique nucléaire réalise environ 63,8763{,}8763,87 millions de rotations de précession par seconde autour de B⃗0\vec B_0B0​.

Le champ appliqué lève également la dégénérescence énergétique des orientations nucléaires. L’énergie associée à une projection mIm_ImI​ vaut :

EmI=−γmIℏB0E_{m_I}=-\gamma m_I\hbar B_0EmI​​=−γmI​ℏB0​

où EmIE_{m_I}EmI​​ est l’énergie du niveau correspondant au nombre quantique magnétique mIm_ImI​. La séparation entre niveaux adjacents a pour valeur absolue ΔE=ℏ∣γ∣B0\Delta E=\hbar\lvert\gamma\rvert B_0ΔE=ℏ∣γ∣B0​. Elle augmente donc proportionnellement à l’intensité du champ appliqué.

À l’équilibre thermique, les niveaux de plus basse énergie sont légèrement plus peuplés que les niveaux de plus haute énergie. Cette faible différence de population produit, pour un ensemble de noyaux, une aimantation macroscopique nette dirigée selon le champ.

À retenir

Comportement d’un noyau magnétique dans B⃗0\vec B_0B0​

Dans un champ statique, un moment magnétique nucléaire précesse à la fréquence de Larmor et ses orientations quantifiées acquièrent des énergies différentes. La séparation énergétique est proportionnelle à ∣γ∣B0\lvert\gamma\rvert B_0∣γ∣B0​.

Remarque

L’interaction de ces niveaux avec un champ oscillant de radiofréquence fonde la résonance magnétique nucléaire et le principe de l’IRM, étudiés dans la fiche suivante.

Points clés
  • Un champ magnétique B⃗\vec BB est produit par des charges en mouvement et par des moments magnétiques
  • La force magnétique qv⃗×B⃗q\vec v\times\vec Bqv×B est perpendiculaire à la vitesse et ne modifie pas directement l’énergie cinétique
  • Un dipôle magnétique possède une énergie U=−μ⃗⋅B⃗U=-\vec\mu\cdot\vec BU=−μ​⋅B, minimale lorsque son moment est parallèle au champ
  • Le moment magnétique nucléaire est relié au moment cinétique par μ⃗=γJ⃗\vec\mu=\gamma\vec Jμ​=γJ
  • Dans un champ B⃗0\vec B_0B0​, le moment nucléaire précesse à la pulsation ω0=∣γ∣B0\omega_0=\lvert\gamma\rvert B_0ω0​=∣γ∣B0​
  • Le champ appliqué sépare les niveaux d’énergie et engendre une faible aimantation macroscopique à l’équilibre

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