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Sommaire

  • 1Variable aléatoire discrète et loi de probabilité
    • 1.1Loi de probabilité
  • 2Fonction de répartition
  • 3Paramètres d’une variable aléatoire
    • 3.1Espérance
    • 3.2Variance et écart-type
  • 4Lois conjointes et lois marginales lock — section verrouillée
  • 5Indépendance et dépendance lock — section verrouillée
  • 6Opérations sur les variables aléatoires lock — section verrouillée
    • 6.1Transformation d’une variable lock — section verrouillée
    • 6.2Somme de variables lock — section verrouillée
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B10 · Probabilités

Variables aléatoires discrètes : loi, espérance et variance

Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, sa fonction de répartition et ses paramètres. Traiter les lois conjointes et marginales, l'indépendance et les opérations sur les variables aléatoires.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule5 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité

Une expérience aléatoire produit une issue appartenant à un univers Ω\OmegaΩ. Une variable aléatoire associe à chaque issue une valeur numérique, ce qui permet de remplacer l’étude directe des issues par celle de nombres.

Définition

Variable aléatoire discrète

Application XXX définie sur l’univers Ω\OmegaΩ et prenant ses valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable de nombres réels. L’événement « X=xX=xX=x » regroupe toutes les issues auxquelles XXX attribue la valeur xxx.

Les valeurs possibles de XXX constituent son support, noté ici SXS_XSX​. Si elles sont indexées par un entier iii, on écrit SX={xi}S_X=\lbrace x_i\rbraceSX​={xi​}. Une variable discrète peut donc avoir un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs possibles.

Loi de probabilité

Définition

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

Ensemble des probabilités associées aux valeurs possibles de XXX. Elle est déterminée par la fonction pXp_XpX​ définie par pX(x)=P(X=x)p_X(x)=\mathbb{P}(X=x)pX​(x)=P(X=x) pour tout xxx appartenant au support de XXX.

La fonction pXp_XpX​ est aussi appelée fonction de masse. Elle vérifie deux conditions indispensables :

  • chaque probabilité est positive ou nulle ;
  • la somme des probabilités sur toutes les valeurs possibles vaut 111.
Formule

Conditions définissant une loi discrète

pX(xi)≥0et∑ipX(xi)=1p_X(x_i)\geq 0 \qquad\text{et}\qquad \sum_i p_X(x_i)=1pX​(xi​)≥0eti∑​pX​(xi​)=1
  • XXX : variable aléatoire discrète
  • xix_ixi​ : valeur possible de XXX, repérée par l’indice iii
  • pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​) : probabilité P(X=xi)\mathbb{P}(X=x_i)P(X=xi​)
  • iii : indice parcourant toutes les valeurs du support de XXX

Pour tout sous-ensemble AAA de valeurs numériques, la probabilité que XXX appartienne à AAA s’obtient en additionnant les masses correspondant aux valeurs de AAA : P(X∈A)=∑xi∈ApX(xi)\mathbb{P}(X\in A)=\sum_{x_i\in A}p_X(x_i)P(X∈A)=∑xi​∈A​pX​(xi​).

Attention

Variable aléatoire et valeur observée

XXX désigne une fonction aléatoire avant la réalisation de l’expérience ; xxx désigne une valeur possible ou observée. Écrire P(X=x)\mathbb{P}(X=x)P(X=x) ne signifie pas que XXX et xxx sont deux variables.

Fonction de répartition

Définition

Fonction de répartition

Fonction FXF_XFX​ qui associe à tout réel xxx la probabilité que la variable aléatoire XXX prenne une valeur inférieure ou égale à xxx.

Formule

Fonction de répartition d’une variable discrète

FX(x)=P(X≤x)=∑xi≤xpX(xi)F_X(x)=\mathbb{P}(X\leq x)=\sum_{x_i\leq x}p_X(x_i)FX​(x)=P(X≤x)=xi​≤x∑​pX​(xi​)
  • FXF_XFX​ : fonction de répartition de XXX
  • XXX : variable aléatoire discrète
  • xxx : seuil réel
  • xix_ixi​ : valeur possible de XXX
  • pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​) : probabilité associée à la valeur xix_ixi​
  • P(X≤x)\mathbb{P}(X\leq x)P(X≤x) : probabilité que XXX soit inférieure ou égale à xxx

La fonction de répartition est croissante, comprise entre 000 et 111 et continue à droite. Elle tend vers 000 lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞ et vers 111 lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞.

Pour une variable discrète, FXF_XFX​ est une fonction en escalier. Son saut au point xix_ixi​ est exactement égal à pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​). La fonction de répartition contient donc toute l’information de la loi.

Paramètres d’une variable aléatoire

Espérance

Définition

Espérance mathématique

Moyenne théorique des valeurs de XXX, pondérées par leurs probabilités. Elle décrit la position centrale de la loi et se note E(X)\mathbb{E}(X)E(X).

Formule

Espérance d’une variable discrète

E(X)=∑ixipX(xi)\mathbb{E}(X)=\sum_i x_i p_X(x_i)E(X)=i∑​xi​pX​(xi​)
  • E(X)\mathbb{E}(X)E(X) : espérance de XXX
  • XXX : variable aléatoire discrète
  • xix_ixi​ : valeur possible de XXX
  • pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​) : probabilité associée à xix_ixi​
  • iii : indice parcourant le support de XXX

L’espérance existe comme nombre réel lorsque la série ∑i∣xi∣pX(xi)\sum_i |x_i|p_X(x_i)∑i​∣xi​∣pX​(xi​) converge. Elle ne correspond pas nécessairement à une valeur effectivement prise par XXX.

Pour une fonction numérique ggg, l’espérance de la variable transformée g(X)g(X)g(X) s’obtient directement par E(g(X))=∑ig(xi)pX(xi)\mathbb{E}\bigl(g(X)\bigr)=\sum_i g(x_i)p_X(x_i)E(g(X))=∑i​g(xi​)pX​(xi​), lorsque cette somme est définie.

L’espérance est linéaire : pour des constantes réelles aaa et bbb, E(aX+b)=aE(X)+b\mathbb{E}(aX+b)=a\mathbb{E}(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b. Plus généralement, E(X+Y)=E(X)+E(Y)\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y) sans qu’il soit nécessaire que XXX et YYY soient indépendantes.

Variance et écart-type

Définition

Variance

Espérance du carré de l’écart entre XXX et son espérance. La variance, notée Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)Var(X), mesure la dispersion de la loi autour de sa position centrale.

Formule

Variance et formule de calcul

Var⁡(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right] = \mathbb{E}(X^2)-\left[\mathbb{E}(X)\right]^2Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2
  • Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)Var(X) : variance de XXX
  • XXX : variable aléatoire discrète
  • E(X)\mathbb{E}(X)E(X) : espérance de XXX
  • E(X2)\mathbb{E}(X^2)E(X2) : espérance du carré de XXX

La variance est toujours positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si XXX est constante avec une probabilité égale à 111. Pour des constantes aaa et bbb, Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)Var(aX+b)=a2Var(X) : l’ajout de bbb déplace la loi sans modifier sa dispersion.

Exemple

Effet d’une transformation affine sur la variance

Soit une variable XXX, exprimée en points, telle que :

  • E(X)=10\mathbb{E}(X)=10E(X)=10 points ;
  • Var⁡(X)=4\operatorname{Var}(X)=4Var(X)=4 points2^22.

On définit Z=2X+3Z=2X+3Z=2X+3, également exprimée en points.

L’espérance de ZZZ vaut :

E(Z)=E(2X+3)=2×10+3=23 points\mathbb{E}(Z)=\mathbb{E}(2X+3)=2\times 10+3=23\ \text{points}E(Z)=E(2X+3)=2×10+3=23 points

La variance de ZZZ vaut :

Var⁡(Z)=Var⁡(2X+3)=22×4=16 points2\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}(2X+3)=2^2\times 4=16\ \text{points}^2Var(Z)=Var(2X+3)=22×4=16 points2

L’ajout de 333 points augmente seulement la position centrale. La multiplication par 222 double les écarts à l’espérance et multiplie donc la variance par 444.

Définition

Écart-type

Racine carrée positive de la variance, notée σX=Var⁡(X)\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}σX​=Var(X)​. Contrairement à la variance, il possède la même unité que XXX.

À retenir

L’espérance décrit la position de la loi, tandis que la variance et l’écart-type décrivent sa dispersion. Deux lois peuvent avoir la même espérance tout en ayant des dispersions différentes.

Lois conjointes et lois marginales

L’étude simultanée de deux variables XXX et YYY exige de connaître la probabilité de chaque couple de valeurs possibles.

Définition

Loi conjointe

Loi du couple aléatoire (X,Y)(X,Y)(X,Y), définie par les probabilités pX,Y(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj)p_{X,Y}(x_i,y_j)=\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j)pX,Y​(xi​,yj​)=P(X=xi​,Y=yj​) pour tous les couples de valeurs possibles.

La somme de toutes les probabilités conjointes vaut 111. La loi conjointe contient davantage d’information que les deux lois prises séparément, car elle décrit également la manière dont les variables varient ensemble.

Définition

Loi marginale

Loi d’une seule variable obtenue à partir de la loi conjointe en additionnant les probabilités sur toutes les valeurs possibles de l’autre variable.

Formule

Obtention des lois marginales

pX(xi)=∑jpX,Y(xi,yj)etpY(yj)=∑ipX,Y(xi,yj)p_X(x_i)=\sum_j p_{X,Y}(x_i,y_j) \qquad\text{et}\qquad p_Y(y_j)=\sum_i p_{X,Y}(x_i,y_j)pX​(xi​)=j∑​pX,Y​(xi​,yj​)etpY​(yj​)=i∑​pX,Y​(xi​,yj​)
  • pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​) : probabilité marginale de la valeur xix_ixi​ de XXX
  • pY(yj)p_Y(y_j)pY​(yj​) : probabilité marginale de la valeur yjy_jyj​ de YYY
  • pX,Y(xi,yj)p_{X,Y}(x_i,y_j)pX,Y​(xi​,yj​) : probabilité conjointe du couple (xi,yj)(x_i,y_j)(xi​,yj​)
  • xix_ixi​ : valeur possible de XXX, repérée par iii
  • yjy_jyj​ : valeur possible de YYY, repérée par jjj
  • iii et jjj : indices parcourant les supports respectifs de XXX et de YYY

Indépendance et dépendance

La notion générale d’indépendance entre événements est étudiée dans la fiche précédente. Pour des variables discrètes, elle se traduit par une factorisation de toute la loi conjointe.

Définition

Variables aléatoires indépendantes

Les variables XXX et YYY sont indépendantes lorsque, pour tout couple (xi,yj)(x_i,y_j)(xi​,yj​), la probabilité conjointe est le produit des probabilités marginales : pX,Y(xi,yj)=pX(xi)pY(yj)p_{X,Y}(x_i,y_j)=p_X(x_i)p_Y(y_j)pX,Y​(xi​,yj​)=pX​(xi​)pY​(yj​).

Si XXX et YYY sont indépendantes et possèdent des espérances finies, alors E(XY)=E(X)E(Y)\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)E(XY)=E(X)E(Y).

Définition

Covariance

Paramètre mesurant la variation conjointe de deux variables autour de leurs espérances, défini par Cov⁡(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\bigl[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\bigr]Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))].

La covariance peut aussi s’écrire Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y). L’indépendance implique une covariance nulle, à condition que les moments nécessaires existent.

Attention

Covariance nulle et indépendance

Une covariance nulle ne suffit généralement pas à prouver l’indépendance. Elle exclut seulement une dépendance linéaire moyenne, alors que d’autres formes de dépendance peuvent subsister.

Opérations sur les variables aléatoires

Transformation d’une variable

Si Z=g(X)Z=g(X)Z=g(X), la loi de ZZZ est obtenue en regroupant toutes les valeurs de XXX ayant la même image par ggg. Pour toute valeur zzz, on additionne donc les probabilités des xix_ixi​ vérifiant g(xi)=zg(x_i)=zg(xi​)=z.

Méthode

Déterminer la loi d’une variable transformée

  1. Déterminer toutes les valeurs possibles de la variable transformée
  2. Rechercher, pour chaque valeur transformée, les valeurs initiales qui lui correspondent
  3. Additionner les probabilités de ces valeurs initiales
  4. Vérifier que les probabilités obtenues sont positives et que leur somme vaut 111

Somme de variables

La loi de Z=X+YZ=X+YZ=X+Y se déduit de la loi conjointe en additionnant les probabilités de tous les couples satisfaisant xi+yj=zx_i+y_j=zxi​+yj​=z. Lorsque XXX et YYY sont indépendantes, la loi conjointe se factorise : cette opération porte le nom de convolution discrète.

Pour les paramètres :

  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y), indépendamment de toute hypothèse d’indépendance ;
  • Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)+2Cov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) ;
  • si XXX et YYY sont indépendantes, alors Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).
À retenir

La linéarité de l’espérance ne requiert pas l’indépendance. En revanche, l’addition directe des variances exige une covariance nulle, notamment obtenue lorsque les variables sont indépendantes.

Points clés
  • La loi discrète associe à chaque valeur possible xix_ixi​ une probabilité pX(xi)p_X(x_i)pX​(xi​), positive ou nulle, dont la somme vaut 111
  • La fonction de répartition FX(x)F_X(x)FX​(x) cumule les probabilités des valeurs inférieures ou égales à xxx
  • L’espérance mesure la position centrale, tandis que la variance mesure la dispersion autour de cette espérance
  • Les lois marginales s’obtiennent en sommant la loi conjointe sur les valeurs de l’autre variable
  • L’indépendance équivaut à la factorisation de toutes les probabilités conjointes en produits des probabilités marginales
  • La loi d’une transformation ou d’une somme s’obtient en regroupant les probabilités de toutes les valeurs initiales conduisant au même résultat

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Probabilités.

  • Fiche 01Langage des événements et axiomes des probabilitésProbabilités
  • Fiche 02Probabilités conditionnelles et indépendanceProbabilités
  • Fiche 03Probabilités totales et théorème de BayesProbabilités
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