B10 · Tests d'hypothèses

Test de significativité d'une corrélation linéaire

Formuler l'hypothèse d'absence de liaison et construire la statistique fondée sur le coefficient de corrélation observé. Préciser l'hypothèse de normalité, les degrés de liberté et la règle de décision.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Objet du test

On observe, chez $n$ individus, deux variables quantitatives $X$ et $Y$ . Chaque individu fournit donc une paire $(X_i,Y_i)$ , où $i$ désigne l'individu. Le test cherche à déterminer si la liaison linéaire observée dans l'échantillon est compatible avec une absence de liaison linéaire dans la population.

Le calcul descriptif de $r$ à partir de la covariance et des écarts-types est traité dans la fiche consacrée aux distributions à deux dimensions, à la covariance et à la corrélation.

Une valeur de $r$ éloignée de zéro suggère une liaison linéaire, mais elle ne suffit pas à conclure dans la population. En effet, même lorsque $\rho=0$ , les fluctuations d'échantillonnage peuvent produire une valeur de $r$ non nulle. Le test quantifie précisément si l'écart observé par rapport à zéro est trop important pour être raisonnablement attribué à ces fluctuations.

Formulation des hypothèses

Test bilatéral

Le test bilatéral recherche une liaison linéaire sans présumer son sens. Les hypothèses sont :

hypothèse nulle : $H_0\colon \rho=0$ ;
hypothèse alternative : $H_1\colon \rho\neq 0$ .

Sous $H_0$ , il n'existe pas de corrélation linéaire dans la population. Sous $H_1$ , la corrélation linéaire est positive ou négative.

Tests unilatéraux

Lorsqu'une direction a été fixée avant l'analyse, une hypothèse alternative unilatérale peut être formulée :

pour rechercher une corrélation positive : $H_1\colon \rho>0$ ;
pour rechercher une corrélation négative : $H_1\colon \rho<0$ .

L'hypothèse nulle est alors formulée comme l'ensemble complémentaire, respectivement $\rho\leq 0$ ou $\rho\geq 0$ . La construction de la statistique repose néanmoins sur sa distribution à la frontière $\rho=0$ .

Le caractère bilatéral ou unilatéral du test doit être décidé avant l'observation du résultat. Choisir après coup le sens correspondant au signe de $r$ réduirait artificiellement la valeur de la probabilité critique.

Conditions de validité

Le test exact fondé sur la loi de Student suppose que :

les $n$ paires $(X_i,Y_i)$ sont obtenues par échantillonnage aléatoire ;
les paires correspondant à des individus différents sont indépendantes ;
les deux variables sont quantitatives ;
la population suit une loi normale bivariée ;
la relation étudiée est linéaire ;
aucune observation atypique ne domine artificiellement le coefficient.

La normalité séparée de $X$ et de $Y$ ne suffit pas, à elle seule, à démontrer leur normalité conjointe. Cette dernière constitue l'hypothèse permettant d’obtenir exactement la loi de Student utilisée par le test.

L’examen graphique du nuage des couples observés permet de rechercher une forme non linéaire ou une observation atypique. Cette vérification est importante, car $r$ peut être fortement modifié par quelques valeurs extrêmes.

Construction de la statistique de test

Sous $H_0\colon \rho=0$ , le coefficient observé $r$ est transformé afin d'obtenir une statistique dont la loi est connue.

Sous l’hypothèse nulle et sous les conditions de validité, la variable aléatoire correspondant à cette statistique suit une loi de Student à $n-2$ degrés de liberté.

Le nombre de degrés de liberté est inférieur de deux à l'effectif, car l'analyse de la liaison linéaire repose sur l'estimation préalable de deux paramètres de position, les moyennes de $X$ et de $Y$ . La statistique n'est donc définie dans le cadre usuel que pour $n>2$ .

La transformation conserve le signe de $r$ :

si $r>0$ , alors $t_{\mathrm{obs}}>0$ ;
si $r<0$ , alors $t_{\mathrm{obs}}<0$ ;
si $r=0$ , alors $t_{\mathrm{obs}}=0$ .

Lorsque la valeur absolue de $r$ augmente, celle de $t_{\mathrm{obs}}$ augmente également. Une corrélation observée plus éloignée de zéro apporte donc davantage d'arguments contre $H_0$ .

Règle de décision

On fixe avant l'analyse un seuil de significativité $\alpha$ . Il représente le risque maximal accepté de rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie.

Décision par valeur critique

Pour un test bilatéral, on rejette $H_0$ lorsque :

\left|t_{\mathrm{obs}}\right|>t_{1-\alpha/2\,;\,n-2}

où $t_{1-\alpha/2\,;\,n-2}$ est le quantile d'ordre $1-\alpha/2$ de la loi de Student à $n-2$ degrés de liberté. Le risque $\alpha$ est réparti entre les deux extrémités de la distribution, car des valeurs fortement positives comme fortement négatives contredisent $H_0$ .

Pour un test unilatéral positif, on rejette $H_0$ lorsque $t_{\mathrm{obs}}>t_{1-\alpha\,;\,n-2}$ . Pour un test unilatéral négatif, on rejette $H_0$ lorsque $t_{\mathrm{obs}}<-t_{1-\alpha\,;\,n-2}$ .

Exemple

Décider à partir d'un coefficient de corrélation observé

Dans un échantillon de $n=12$ paires d'observations, le coefficient de corrélation observé est $r=0{,}65$ . Un test bilatéral est réalisé au seuil $\alpha=0{,}05$ .

La statistique observée vaut :

t_{\mathrm{obs}}=0{,}65\sqrt{\frac{12-2}{1-0{,}65^2}} =0{,}65\sqrt{\frac{10}{0{,}5775}} \approx 2{,}70

La loi de Student possède $12-2=10$ degrés de liberté. Pour un test bilatéral au seuil $0{,}05$ , la valeur critique est $t_{0{,}975\,;\,10}\approx 2{,}23$ .

Comme $\left|2{,}70\right|>2{,}23$ , $H_0$ est rejetée. Les données apportent des arguments en faveur d'une corrélation linéaire statistiquement significative. Le coefficient $r$ étant positif, la corrélation observée est positive.

Décision par probabilité critique

Pour le test bilatéral, si $T$ suit une loi de Student à $n-2$ degrés de liberté, la probabilité critique est :

p=P\left(\left|T\right|\geq\left|t_{\mathrm{obs}}\right|\right)

La décision est alors :

si $p\leq\alpha$ , rejet de $H_0$ ;
si $p>\alpha$ , non-rejet de $H_0$ .

Le rejet de $H_0$ conduit à conclure à une corrélation linéaire statistiquement significative, dans le sens indiqué par $r$ . Le non-rejet signifie seulement que les données ne fournissent pas suffisamment d'arguments contre $\rho=0$ au seuil choisi.

Comparaison

Interprétation des deux décisions

Décision	Signification correcte	Interprétation incorrecte
Rejet de $H_0$	Données incompatibles avec $\rho=0$ au seuil choisi	Preuve d'une causalité
Non-rejet de $H_0$	Arguments insuffisants contre $\rho=0$	Preuve que $\rho=0$

Démarche complète

Méthode

Tester la significativité d'une corrélation linéaire

Vérifier que les données sont constituées de paires indépendantes de variables quantitatives
Examiner la linéarité, les observations atypiques et la plausibilité de la normalité bivariée
Formuler $H_0\colon \rho=0$ et choisir avant l'analyse une alternative bilatérale ou unilatérale
Fixer le seuil de significativité $\alpha$
Calculer le coefficient de corrélation observé $r$
Calculer $t_{\mathrm{obs}}=r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$
Utiliser la loi de Student à $n-2$ degrés de liberté
Comparer la statistique à la valeur critique ou comparer la probabilité critique à $\alpha$
Formuler la conclusion en termes de corrélation linéaire dans la population

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