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Sommaire

  • 1Du résultat du test à la probabilité de maladie
  • 2Valeurs prédictives positives et négatives
  • 3Dépendance à la prévalence
  • 4Rapports de vraisemblance lock — section verrouillée
  • 5Actualiser une probabilité de maladie lock — section verrouillée
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  5. Valeurs prédictives, prévalence et rapports de vraisemblance

B10 · Tests diagnostiques

Valeurs prédictives, prévalence et rapports de vraisemblance

Calculer les valeurs prédictives positive et négative et montrer leur dépendance à la prévalence. Définir les rapports de vraisemblance et leur usage pour actualiser une probabilité de maladie.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule6 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Du résultat du test à la probabilité de maladie

Un test diagnostique classe les sujets selon deux états du test, positif ou négatif, tandis que l’état réel est malade ou non malade. La fiche précédente définit la sensibilité Se=P(T+∣M)\mathrm{Se}=P(T+ \mid M)Se=P(T+∣M) et la spécificité Sp=P(T−∣M‾)\mathrm{Sp}=P(T- \mid \overline M)Sp=P(T−∣M), où MMM désigne la présence de la maladie, M‾\overline MM son absence, T+T+T+ un test positif et T−T-T− un test négatif.

La sensibilité et la spécificité partent donc de l’état réel pour décrire le résultat du test. En pratique, la question est souvent inverse : connaissant le résultat, quelle est la probabilité que le sujet soit malade ou non malade ? Les valeurs prédictives répondent à cette question.

Définition

Prévalence

Proportion de sujets malades dans la population étudiée à un instant ou pendant une période donnée. Elle correspond ici à la probabilité pré-test de maladie, notée π=P(M)\pi=P(M)π=P(M).

La proportion de sujets non malades est alors P(M‾)=1−πP(\overline M)=1-\piP(M)=1−π. La prévalence doit correspondre à la population dans laquelle le test est utilisé : elle peut varier avec le contexte, le recrutement et la période considérée.

Valeurs prédictives positives et négatives

Définition

Valeur prédictive positive

Probabilité qu’un sujet soit réellement malade sachant que son test est positif. Elle est notée VPP=P(M∣T+)\mathrm{VPP}=P(M\mid T+)VPP=P(M∣T+).

Définition

Valeur prédictive négative

Probabilité qu’un sujet soit réellement non malade sachant que son test est négatif. Elle est notée VPN=P(M‾∣T−)\mathrm{VPN}=P(\overline M\mid T-)VPN=P(M∣T−).

À partir d’une matrice de classification, si VP\mathrm{VP}VP, FP\mathrm{FP}FP, VN\mathrm{VN}VN et FN\mathrm{FN}FN désignent respectivement les nombres de vrais positifs, faux positifs, vrais négatifs et faux négatifs, les valeurs prédictives se calculent parmi les sujets partageant le même résultat de test.

Formule

Calcul à partir des effectifs

VPP=VPVP+FPVPN=VNVN+FN\mathrm{VPP}=\frac{\mathrm{VP}}{\mathrm{VP}+\mathrm{FP}} \qquad \mathrm{VPN}=\frac{\mathrm{VN}}{\mathrm{VN}+\mathrm{FN}}VPP=VP+FPVP​VPN=VN+FNVN​
  • VPP\mathrm{VPP}VPP : valeur prédictive positive
  • VPN\mathrm{VPN}VPN : valeur prédictive négative
  • VP\mathrm{VP}VP : nombre de vrais positifs
  • FP\mathrm{FP}FP : nombre de faux positifs
  • VN\mathrm{VN}VN : nombre de vrais négatifs
  • FN\mathrm{FN}FN : nombre de faux négatifs

La VPP se calcule donc sur l’ensemble des tests positifs, tandis que la VPN se calcule sur l’ensemble des tests négatifs. Les dénominateurs ne correspondent pas à l’ensemble des malades ou des non-malades.

Exemple

Calculer la VPP et la VPN à partir des effectifs

Dans une population de 1 0001\,0001000 sujets, 100100100 sont malades et 900900900 ne le sont pas. Le test donne 909090 vrais positifs, 101010 faux négatifs, 180180180 faux positifs et 720720720 vrais négatifs.

  • Parmi les tests positifs, il y a 90+180=27090+180=27090+180=270 sujets : VPP=90270=0,333\mathrm{VPP}=\frac{90}{270}=0{,}333VPP=27090​=0,333, soit 33,3%33{,}3\%33,3%.
  • Parmi les tests négatifs, il y a 720+10=730720+10=730720+10=730 sujets : VPN=720730=0,986\mathrm{VPN}=\frac{720}{730}=0{,}986VPN=730720​=0,986, soit 98,6%98{,}6\%98,6%.

Un test positif correspond donc ici à une probabilité de maladie de 33,3%33{,}3\%33,3%, tandis qu’un test négatif correspond à une probabilité de non-maladie de 98,6%98{,}6\%98,6%. Les calculs sont effectués parmi les sujets ayant le résultat de test considéré.

Comparaison

Sensibilité, spécificité et valeurs prédictives

MesureCondition imposéeQuestion posée
Sensibilitésujet maladele test est-il positif ?
Spécificitésujet non maladele test est-il négatif ?
VPPtest positifle sujet est-il malade ?
VPNtest négatifle sujet est-il non malade ?
Attention

Ne pas inverser les probabilités conditionnelles

P(T+∣M)P(T+\mid M)P(T+∣M) est la sensibilité, tandis que P(M∣T+)P(M\mid T+)P(M∣T+) est la VPP. Ces probabilités conditionnelles n’ont ni le même dénominateur ni, en général, la même valeur.

Dépendance à la prévalence

Le théorème de Bayes permet d’exprimer les valeurs prédictives en fonction de la sensibilité, de la spécificité et de la prévalence.

Formule

Valeurs prédictives et prévalence

VPP=P(M∣T+)=Se πSe π+(1−Sp)(1−π)\mathrm{VPP} = P(M\mid T+) = \frac{\mathrm{Se}\,\pi} {\mathrm{Se}\,\pi+(1-\mathrm{Sp})(1-\pi)}VPP=P(M∣T+)=Seπ+(1−Sp)(1−π)Seπ​VPN=P(M‾∣T−)=Sp(1−π)Sp(1−π)+(1−Se)π\mathrm{VPN} = P(\overline M\mid T-) = \frac{\mathrm{Sp}(1-\pi)} {\mathrm{Sp}(1-\pi)+(1-\mathrm{Se})\pi}VPN=P(M∣T−)=Sp(1−π)+(1−Se)πSp(1−π)​
  • VPP\mathrm{VPP}VPP : valeur prédictive positive
  • VPN\mathrm{VPN}VPN : valeur prédictive négative
  • MMM : présence de la maladie
  • M‾\overline MM : absence de la maladie
  • T+T+T+ : résultat positif du test
  • T−T-T− : résultat négatif du test
  • Se=P(T+∣M)\mathrm{Se}=P(T+\mid M)Se=P(T+∣M) : sensibilité
  • Sp=P(T−∣M‾)\mathrm{Sp}=P(T-\mid\overline M)Sp=P(T−∣M) : spécificité
  • π=P(M)\pi=P(M)π=P(M) : prévalence de la maladie
  • 1−π=P(M‾)1-\pi=P(\overline M)1−π=P(M) : proportion de sujets non malades

À sensibilité et spécificité fixées :

  • lorsque la prévalence augmente, la proportion de malades parmi les tests positifs augmente : la VPP augmente ;
  • lorsque la prévalence augmente, les tests négatifs contiennent proportionnellement davantage de faux négatifs : la VPN diminue ;
  • lorsque la prévalence diminue, la VPP diminue et la VPN augmente.

Ainsi, un test positif n’a pas la même signification dans une population où la maladie est rare et dans une population où elle est fréquente. Cette dépendance interdit de transférer directement une valeur prédictive d’une population à une autre sans vérifier leur prévalence respective.

À retenir

Effet de la prévalence

À performances diagnostiques fixées, une prévalence plus élevée augmente la VPP et diminue la VPN. Une prévalence plus faible diminue la VPP et augmente la VPN.

Rapports de vraisemblance

Définition

Rapport de vraisemblance

Rapport entre la probabilité d’observer un résultat donné chez un malade et la probabilité d’observer ce même résultat chez un non-malade.

Le rapport de vraisemblance mesure combien un résultat de test modifie la plausibilité de la maladie. Il existe un rapport associé au résultat positif et un autre associé au résultat négatif.

Formule

Rapports de vraisemblance positif et négatif

RV+=P(T+∣M)P(T+∣M‾)=Se1−Sp\mathrm{RV+} = \frac{P(T+\mid M)}{P(T+\mid\overline M)} = \frac{\mathrm{Se}}{1-\mathrm{Sp}}RV+=P(T+∣M)P(T+∣M)​=1−SpSe​RV−=P(T−∣M)P(T−∣M‾)=1−SeSp\mathrm{RV-} = \frac{P(T-\mid M)}{P(T-\mid\overline M)} = \frac{1-\mathrm{Se}}{\mathrm{Sp}}RV−=P(T−∣M)P(T−∣M)​=Sp1−Se​
  • RV+\mathrm{RV+}RV+ : rapport de vraisemblance d’un test positif
  • RV−\mathrm{RV-}RV− : rapport de vraisemblance d’un test négatif
  • MMM : présence de la maladie
  • M‾\overline MM : absence de la maladie
  • T+T+T+ : résultat positif du test
  • T−T-T− : résultat négatif du test
  • Se\mathrm{Se}Se : sensibilité du test
  • Sp\mathrm{Sp}Sp : spécificité du test
  • 1−Sp1-\mathrm{Sp}1−Sp : probabilité d’un faux positif chez un non-malade
  • 1−Se1-\mathrm{Se}1−Se : probabilité d’un faux négatif chez un malade

Un RV+\mathrm{RV+}RV+ supérieur à 111 augmente la probabilité de maladie après un test positif. Plus il est élevé, plus le résultat positif est informatif. Un RV−\mathrm{RV-}RV− inférieur à 111 diminue la probabilité de maladie après un test négatif. Plus il est proche de 000, plus le résultat négatif est informatif.

Un rapport de vraisemblance égal à 111 ne modifie pas la probabilité de maladie : le résultat est alors aussi probable chez les malades que chez les non-malades.

Actualiser une probabilité de maladie

L’actualisation par un rapport de vraisemblance utilise les cotes plutôt que directement les probabilités.

Définition

Cote d’un événement

Rapport entre la probabilité que l’événement survienne et la probabilité qu’il ne survienne pas. Pour une probabilité ppp, la cote vaut C=p/(1−p)C=p/(1-p)C=p/(1−p).

La probabilité avant réalisation du test est transformée en cote pré-test. Cette cote est multipliée par le rapport de vraisemblance correspondant au résultat observé. La cote obtenue est enfin reconvertie en probabilité après test.

Exemple

Actualiser une probabilité après un test positif

La probabilité pré-test de maladie est de 20%20\%20%. Un test positif est obtenu et le rapport de vraisemblance positif du test vaut RV+=4\mathrm{RV+}=4RV+=4.

  • Cote pré-test : Cpreˊ=0,201−0,20=0,200,80=0,25C_{\text{pré}}=\frac{0{,}20}{1-0{,}20}=\frac{0{,}20}{0{,}80}=0{,}25Cpreˊ​=1−0,200,20​=0,800,20​=0,25.
  • Cote après test : Capreˋs=0,25×4=1C_{\text{après}}=0{,}25\times 4=1Capreˋs​=0,25×4=1.
  • Probabilité après test : papreˋs=11+1=0,50p_{\text{après}}=\frac{1}{1+1}=0{,}50papreˋs​=1+11​=0,50, soit 50%50\%50%.

Le résultat positif fait ainsi passer la probabilité de maladie de 20%20\%20% avant le test à 50%50\%50% après le test.

Formule

Passage de la probabilité pré-test à la probabilité après test

Cpreˊ=ppreˊ1−ppreˊC_{\text{pré}}=\frac{p_{\text{pré}}}{1-p_{\text{pré}}}Cpreˊ​=1−ppreˊ​ppreˊ​​Capreˋs=Cpreˊ×RVrC_{\text{après}}=C_{\text{pré}}\times \mathrm{RV}_{r}Capreˋs​=Cpreˊ​×RVr​papreˋs=Capreˋs1+Capreˋsp_{\text{après}}=\frac{C_{\text{après}}}{1+C_{\text{après}}}papreˋs​=1+Capreˋs​Capreˋs​​
  • ppreˊp_{\text{pré}}ppreˊ​ : probabilité de maladie avant le test
  • CpreˊC_{\text{pré}}Cpreˊ​ : cote de maladie avant le test
  • RVr\mathrm{RV}_{r}RVr​ : rapport de vraisemblance correspondant au résultat rrr, soit RV+\mathrm{RV+}RV+ pour un résultat positif ou RV−\mathrm{RV-}RV− pour un résultat négatif
  • rrr : résultat observé du test
  • CapreˋsC_{\text{après}}Capreˋs​ : cote de maladie après le test
  • papreˋsp_{\text{après}}papreˋs​ : probabilité de maladie après le test
Méthode

Actualiser une probabilité à partir d’un résultat de test

  1. Déterminer la probabilité pré-test adaptée à la population étudiée
  2. Transformer cette probabilité en cote pré-test
  3. Choisir RV+\mathrm{RV+}RV+ si le test est positif ou RV−\mathrm{RV-}RV− s’il est négatif
  4. Multiplier la cote pré-test par le rapport de vraisemblance choisi
  5. Reconvertir la cote après test en probabilité après test
À retenir

Rôle du rapport de vraisemblance

Le rapport de vraisemblance ne fournit pas seul une probabilité de maladie. Il transforme une probabilité pré-test en probabilité après test en multipliant la cote pré-test.

Les rapports de vraisemblance dépendent de la sensibilité et de la spécificité, mais pas directement de la prévalence dans leurs formules. En revanche, la probabilité après test dépend nécessairement de la probabilité pré-test. La fiche consacrée à la courbe ROC étudie séparément l’effet du seuil de positivité sur la sensibilité et la spécificité.

Points clés
  • La VPP est P(M∣T+)P(M\mid T+)P(M∣T+) et la VPN est P(M‾∣T−)P(\overline M\mid T-)P(M∣T−)
  • Une augmentation de la prévalence augmente la VPP et diminue la VPN
  • Le rapport positif vaut RV+=Se/(1−Sp)\mathrm{RV+}=\mathrm{Se}/(1-\mathrm{Sp})RV+=Se/(1−Sp)
  • Le rapport négatif vaut RV−=(1−Se)/Sp\mathrm{RV-}=(1-\mathrm{Se})/\mathrm{Sp}RV−=(1−Se)/Sp
  • L’actualisation suit la relation cote après test égale à cote pré-test multipliée par le rapport de vraisemblance
  • Un rapport de vraisemblance égal à 111 ne modifie pas la probabilité de maladie

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À réviser dans la foulée, sur Tests diagnostiques.

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