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Sommaire

  • 1Variable aléatoire continue et densité
    • 1.1Définition d'une densité
  • 2Calcul d'une probabilité par intégration
    • 2.1Interprétation graphique
  • 3Fonction de répartition lock — section verrouillée
  • 4Espérance d'une variable continue lock — section verrouillée
  • 5Variance et dispersion lock — section verrouillée
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B10 · Probabilités

Variables aléatoires continues et densités de probabilité

Définir une densité de probabilité, la fonction de répartition et le calcul d'une probabilité par intégration. Interpréter graphiquement les aires et calculer espérance et variance.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule5 min de lecture·quiz15 QCM corrigés

Variable aléatoire continue et densité

Une variable aléatoire XXX associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi décrit la manière dont les probabilités se répartissent entre les valeurs possibles. Les axiomes des probabilités et la construction générale des variables aléatoires sont traités dans les fiches précédentes du sous-bloc.

Définition

Variable aléatoire continue

Variable aléatoire réelle XXX dont la loi peut être décrite par une densité de probabilité : les probabilités d'intervalles s'obtiennent alors par intégration de cette densité.

Une variable continue peut prendre ses valeurs dans un intervalle ou dans une réunion d'intervalles contenant une infinité non dénombrable de nombres. Contrairement au cas discret, la probabilité ne se répartit pas entre des valeurs isolées : elle se répartit sur des intervalles.

Comparaison

Variables aléatoires discrètes et continues

CritèreVariable discrèteVariable continue
Valeurs possiblesensemble fini ou dénombrableintervalle ou réunion d'intervalles
Description de la loiprobabilités ponctuellesdensité de probabilité
Calcul sur un domainesommeintégrale
Probabilité d'une valeur isoléepeut être strictement positivetoujours nulle

Définition d'une densité

Définition

Densité de probabilité

Fonction fff définie sur R\mathbb{R}R, positive ou nulle, dont l'intégrale sur R\mathbb{R}R vaut 111 et qui permet de calculer les probabilités par intégration.

Les deux conditions imposées à une densité traduisent directement les propriétés d'une probabilité :

  • f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 pour tout réel xxx, car une probabilité ne peut pas être négative ;
  • l'aire totale sous la courbe vaut 111, car la variable prend nécessairement une valeur dans son ensemble de valeurs possibles.
Formule

Normalisation d'une densité

f(x)≥0et∫−∞+∞f(x) dx=1f(x) \geq 0 \qquad \text{et} \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1f(x)≥0et∫−∞+∞​f(x)dx=1
  • XXX : variable aléatoire continue réelle
  • xxx : valeur réelle susceptible d'être prise par XXX
  • fff : densité de probabilité de XXX
  • dx\mathrm{d}xdx : élément d'intégration par rapport à xxx
Définition

Support d'une densité

Ensemble des valeurs réelles sur lesquelles la densité peut être non nulle. En dehors de ce support, la densité est nulle et aucune probabilité n'est accumulée.

Une densité n'est pas elle-même une probabilité. Sa valeur f(x)f(x)f(x) indique une concentration locale de probabilité autour de xxx. Elle peut donc être supérieure à 111, à condition que son aire totale reste égale à 111. De plus, sa dimension est l'inverse de celle de la variable, afin que l'intégrale soit sans dimension.

Attention

Ne pas confondre hauteur et probabilité

La hauteur f(x)f(x)f(x) de la courbe en un point n'est pas la probabilité P(X=x)P(X=x)P(X=x). Pour une variable continue, P(X=x)=0P(X=x)=0P(X=x)=0 ; seule une aire obtenue sur un intervalle représente une probabilité.

Calcul d'une probabilité par intégration

Si aaa et bbb sont deux réels tels que a≤ba \leq ba≤b, la probabilité que XXX appartienne à l'intervalle compris entre aaa et bbb est l'aire située sous la courbe de fff entre ces deux bornes.

Formule

Probabilité d'un intervalle

P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}xP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx
  • P(a≤X≤b)P(a \leq X \leq b)P(a≤X≤b) : probabilité que XXX soit compris entre aaa et bbb
  • XXX : variable aléatoire continue
  • aaa : borne inférieure réelle de l'intervalle
  • bbb : borne supérieure réelle de l'intervalle
  • fff : densité de probabilité de XXX
  • xxx : variable d'intégration
  • dx\mathrm{d}xdx : élément d'intégration par rapport à xxx

Puisque chaque valeur isolée a une probabilité nulle, inclure ou exclure les bornes ne change pas le résultat :

P(a<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a≤X≤b).P(a<X<b)=P(a\leq X<b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X\leq b).P(a<X<b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a≤X≤b).

Cette égalité est propre aux lois décrites par une densité. Une aire orientée ne doit pas être utilisée comme probabilité : les bornes doivent être placées dans l'ordre croissant.

Interprétation graphique

Dans un repère où l'abscisse représente les valeurs de XXX et l'ordonnée la densité f(x)f(x)f(x) :

  • l'aire totale sous la courbe est égale à 111 ;
  • l'aire entre aaa et bbb est la probabilité que XXX appartienne à cet intervalle ;
  • l'aire à gauche de xxx est la probabilité que XXX soit inférieur ou égal à xxx ;
  • l'aire à droite de xxx est la probabilité complémentaire.

La forme de la courbe renseigne donc sur les zones où les valeurs sont plus ou moins concentrées, mais elle ne donne pas directement les probabilités sans considérer les aires.

Fonction de répartition

Définition

Fonction de répartition

Fonction FFF qui associe à tout réel xxx la probabilité que la variable aléatoire XXX prenne une valeur inférieure ou égale à xxx.

Formule

Fonction de répartition d'une variable continue

F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t) dtF(x) = P(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}tF(x)=P(X≤x)=∫−∞x​f(t)dt
  • FFF : fonction de répartition de XXX
  • XXX : variable aléatoire continue
  • xxx : seuil réel considéré
  • P(X≤x)P(X\leq x)P(X≤x) : probabilité cumulée jusqu'à xxx
  • fff : densité de probabilité de XXX
  • ttt : variable d'intégration
  • dt\mathrm{d}tdt : élément d'intégration par rapport à ttt

La fonction de répartition est croissante, car agrandir l'ensemble des valeurs situées à gauche du seuil ne peut pas diminuer la probabilité cumulée. Elle vérifie également :

0≤F(x)≤1,lim⁡x→−∞F(x)=0,lim⁡x→+∞F(x)=1.0\leq F(x)\leq 1, \qquad \lim_{x\to-\infty}F(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}F(x)=1.0≤F(x)≤1,x→−∞lim​F(x)=0,x→+∞lim​F(x)=1.

La probabilité d'un intervalle se déduit par différence de probabilités cumulées :

P(a<X≤b)=F(b)−F(a).P(a<X\leq b)=F(b)-F(a).P(a<X≤b)=F(b)−F(a).

Lorsque la densité fff est continue en xxx, le théorème fondamental de l'analyse donne F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x). Ainsi, la densité est la dérivée de la fonction de répartition là où cette dérivée est définie.

À retenir

Pour une variable continue, une probabilité est une aire : P(a<X≤b)=∫abf(x) dx=F(b)−F(a)P(a<X\leq b)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)P(a<X≤b)=∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a).

Méthode

Calculer une probabilité à partir d'une densité

  1. Identifier l'événement et ses bornes réelles
  2. Vérifier que la fonction utilisée est positive et normalisée
  3. Intégrer la densité sur l'intervalle correspondant
  4. Utiliser au besoin le complément à 111 ou une différence de fonctions de répartition
  5. Vérifier que le résultat appartient à l'intervalle [0,1][0,1][0,1]

Espérance d'une variable continue

Définition

Espérance mathématique

Valeur moyenne théorique d'une variable aléatoire, obtenue en pondérant chaque valeur possible par la densité de probabilité qui l'entoure.

Formule

Espérance d'une variable continue

E(X)=∫−∞+∞xf(x) dx\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}xE(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx
  • E(X)\mathbb{E}(X)E(X) : espérance de la variable XXX
  • XXX : variable aléatoire continue
  • xxx : valeur réelle de la variable
  • fff : densité de probabilité de XXX
  • dx\mathrm{d}xdx : élément d'intégration par rapport à xxx
Exemple

Calculer l'espérance d'une durée uniforme

La durée XXX est exprimée en heures et suit une densité constante égale à 12 h−1\frac{1}{2}\,\mathrm{h}^{-1}21​h−1 entre 000 et 222 heures.

L'espérance vaut :

E(X)=∫02x×12 dx=12[x22]02=1 h.\mathbb{E}(X) = \int_0^2 x\times\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = \pu{1 h}.E(X)=∫02​x×21​dx=21​[2x2​]02​=1 h.

La durée moyenne théorique est donc de 1 h\pu{1 h}1 h. Cette valeur est le centre de gravité de cette distribution uniforme sur l'intervalle de 000 à 222 heures.

L'espérance représente le centre de gravité de la distribution. Elle n'est pas nécessairement une valeur effectivement observée ni le point où la densité est maximale. Elle existe comme valeur finie lorsque l'intégrale de ∣x∣f(x)|x|f(x)∣x∣f(x) sur R\mathbb{R}R est finie.

Plus généralement, si ggg est une fonction réelle, l'espérance de g(X)g(X)g(X) se calcule directement par :

E(g(X))=∫−∞+∞g(x)f(x) dx,\mathbb{E}\bigl(g(X)\bigr) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)f(x)\,\mathrm{d}x,E(g(X))=∫−∞+∞​g(x)f(x)dx,

à condition que l'intégrale soit définie.

Variance et dispersion

Définition

Variance

Espérance du carré de l'écart entre la variable aléatoire XXX et son espérance. Elle mesure la dispersion théorique des valeurs autour de leur moyenne.

Formule

Variance d'une variable continue

Var⁡(X)=∫−∞+∞(x−μ)2f(x) dx=E(X2)−μ2\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(X^2)-\mu^2Var(X)=∫−∞+∞​(x−μ)2f(x)dx=E(X2)−μ2
  • Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)Var(X) : variance de XXX
  • XXX : variable aléatoire continue
  • xxx : valeur réelle de la variable
  • μ\muμ : espérance de XXX, soit μ=E(X)\mu=\mathbb{E}(X)μ=E(X)
  • fff : densité de probabilité de XXX
  • E(X2)\mathbb{E}(X^2)E(X2) : espérance du carré de XXX
  • dx\mathrm{d}xdx : élément d'intégration par rapport à xxx
Exemple

Calculer la variance d'une durée uniforme

La durée XXX est exprimée en heures et suit une densité constante égale à 12 h−1\frac{1}{2}\,\mathrm{h}^{-1}21​h−1 entre 000 et 222 heures. Son espérance est μ=1 h\mu=\pu{1 h}μ=1 h.

Il faut d'abord calculer l'espérance du carré :

E(X2)=∫02x2×12 dx=12[x33]02=43 h2.\mathbb{E}(X^2) = \int_0^2 x^2\times\frac{1}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{4}{3}\,\mathrm{h}^2.E(X2)=∫02​x2×21​dx=21​[3x3​]02​=34​h2.

La variance est alors :

Var⁡(X)=E(X2)−μ2=43 h2−(1 h)2=13 h2.\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2)-\mu^2 = \frac{4}{3}\,\mathrm{h}^2-\left(\pu{1 h}\right)^2 = \frac{1}{3}\,\mathrm{h}^2.Var(X)=E(X2)−μ2=34​h2−(1 h)2=31​h2.

La variance vaut donc 13 h2\frac{1}{3}\,\mathrm{h}^231​h2. Elle quantifie la dispersion des durées autour de leur moyenne de 1 h\pu{1 h}1 h.

La variance est toujours positive ou nulle, car elle repose sur des écarts élevés au carré. Elle s'exprime dans l'unité de XXX élevée au carré. Son existence exige que le moment d'ordre deux E(X2)\mathbb{E}(X^2)E(X2) soit fini.

Définition

Écart-type

Racine carrée de la variance, notée σ=Var⁡(X)\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}σ=Var(X)​. Il mesure la dispersion dans la même unité que la variable XXX.

Attention

Formule de calcul de la variance

La relation correcte est Var⁡(X)=E(X2)−E(X)2\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2Var(X)=E(X2)−E(X)2. Elle ne doit pas être confondue avec E(X2)−E(X)\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)E(X2)−E(X).

Les lois normale, de Student, du khi-deux et de Fisher sont des familles particulières de lois continues ; leurs formes et leurs paramètres sont étudiés dans les fiches suivantes.

Points clés
  • Une densité fff est positive ou nulle et son intégrale totale vaut 111
  • La valeur f(x)f(x)f(x) est une hauteur de densité, non une probabilité ponctuelle
  • Une probabilité d'intervalle est l'aire ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx
  • La fonction de répartition vérifie F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X\leq x)F(x)=P(X≤x) et permet de calculer une probabilité par différence
  • L'espérance mesure la position moyenne et la variance mesure la dispersion autour de cette espérance
  • Pour une variable continue, toute valeur isolée a une probabilité nulle

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Probabilités.

  • Fiche 01Langage des événements et axiomes des probabilitésProbabilités
  • Fiche 02Probabilités conditionnelles et indépendanceProbabilités
  • Fiche 03Probabilités totales et théorème de BayesProbabilités
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