B10 · Probabilités

Théorème central limite et approximations entre lois

Énoncer le théorème central limite et son importance pour la distribution d'une moyenne. Justifier les approximations normales de la loi binomiale et de la loi de Poisson et leurs conditions de validité.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

De la somme de variables à la loi normale

Les notions d’espérance, de variance, d’indépendance et de loi normale sont développées dans les fiches précédentes. Ici, elles servent à comprendre pourquoi la loi normale apparaît lorsqu’un grand nombre de contributions aléatoires indépendantes sont additionnées.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, d’espérance commune $\mu$ et de variance commune $\sigma^2$ , avec $\sigma^2$ finie et strictement positive. Leur somme est notée

S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.

L’indépendance permet d’additionner les variances. Ainsi :

$\mathbb{E}(S_n)=n\mu$ ;
$\operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^2$ ;
l’écart-type de $S_n$ vaut $\sigma\sqrt{n}$ .

La somme centrée $S_n-n\mu$ mesure l’écart entre la somme observée et sa valeur moyenne théorique. La division par $\sigma\sqrt{n}$ exprime cet écart dans l’unité naturelle de fluctuation de la somme.

Théorème central limite

La convergence en loi signifie que les probabilités calculées à partir de $Z_n$ se rapprochent de celles obtenues avec une variable normale centrée réduite lorsque $n$ augmente. Le théorème n’affirme donc pas nécessairement que la somme possède exactement une loi normale pour un effectif fini.

La forme de la loi commune des $X_i$ peut être dissymétrique ou discrète. Lorsque le nombre de contributions devient suffisamment grand, leur somme standardisée tend malgré tout vers la même loi limite. Cette universalité explique la place majeure de la loi normale en statistique.

Les hypothèses essentielles de la forme usuelle du théorème sont :

l’indépendance des variables ;
leur distribution identique ;
l’existence d’une espérance finie ;
l’existence d’une variance finie et non nulle.

Distribution d’une moyenne

La moyenne empirique des $n$ variables est définie par

\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}.

Elle possède pour espérance $\mu$ et pour variance $\sigma^2/n$ . Son écart-type est donc $\sigma/\sqrt{n}$ . Cet écart-type diminue lorsque l’effectif augmente : la moyenne empirique se concentre progressivement autour de l’espérance théorique.

Exemple

Réduction de la fluctuation d’une moyenne

Une mesure biologique indépendante a pour espérance $\pu{120 mg/L}$ et pour écart-type $\pu{15 mg/L}$ . Une moyenne est calculée sur $n=100$ mesures.

Espérance de la moyenne : $\mathbb{E}(\overline{X}_{100})=\pu{120 mg/L}$ .
Variance de la moyenne : $\operatorname{Var}(\overline{X}_{100})=\frac{15^2}{100}=\pu{2,25 mg^2/L^2}$ .
Écart-type de la moyenne : $\frac{15}{\sqrt{100}}=\pu{1,5 mg/L}$ .

Pour un effectif suffisamment grand, la moyenne est donc approximativement distribuée selon $\mathcal{N}(120,2{,}25)$ , avec les unités correspondantes. Alors qu’une mesure individuelle fluctue typiquement de $\pu{15 mg/L}$ autour de l’espérance, la moyenne de 100 mesures ne fluctue typiquement plus que de $\pu{1,5 mg/L}$ : l’augmentation de l’effectif améliore la précision de la moyenne.

Pour un effectif suffisamment grand, on peut donc écrire l’approximation

\overline{X}_n \approx \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).

Le théorème central limite permet ainsi d’utiliser la loi normale pour étudier les fluctuations d’une moyenne, même lorsque la variable initiale n’est pas normale. La vitesse de convergence dépend toutefois de la distribution initiale : une forte dissymétrie ou des valeurs extrêmes imposent généralement un effectif plus élevé.

Approximation normale de la loi binomiale

Une variable $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ compte le nombre de succès obtenus au cours de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$ .

Elle peut s’écrire comme une somme :

X=X_1+\cdots+X_n,

où chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Pour chaque terme, l’espérance vaut $p$ et la variance vaut $p(1-p)$ . Par addition :

\mathbb{E}(X)=np \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).

Le théorème central limite appliqué à cette somme justifie l’approximation suivante.

L’approximation est satisfaisante lorsque les nombres moyens de succès et d’échecs sont tous deux assez grands. Un critère usuel est :

np\geq 5 \qquad\text{et}\qquad n(1-p)\geq 5.

Certains cadres pédagogiques retiennent le seuil plus prudent de $10$ . L’idée reste la même : si $p$ est trop proche de $0$ ou de $1$ , la loi binomiale est très dissymétrique et la loi normale la représente mal, même si $n$ paraît élevé.

Exemple

Vérifier une approximation normale binomiale

Un essai comporte $n=80$ épreuves indépendantes, avec une probabilité de succès $p=0{,}40$ à chaque épreuve. Le nombre $X$ de succès suit donc une loi $\mathcal{B}(80,0{,}40)$ .

Nombre moyen de succès : $np=80\times 0{,}40=32$ .
Nombre moyen d’échecs : $n(1-p)=80\times 0{,}60=48$ .
Variance : $np(1-p)=80\times 0{,}40\times 0{,}60=19{,}2$ .

Les valeurs $32$ et $48$ sont toutes deux supérieures à $5$ . L’approximation normale est donc recevable et s’écrit $X\approx\mathcal{N}(32,19{,}2)$ . La distribution approchée est centrée sur 32 succès et son écart-type vaut $\sqrt{19{,}2}\approx 4{,}38$ succès.

Approximation normale de la loi de Poisson

Une variable $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ possède une espérance et une variance toutes deux égales à $\lambda$ :

\mathbb{E}(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda.

Lorsque $\lambda$ augmente, la masse de probabilité s’étale sur davantage d’entiers et la dissymétrie de la loi diminue. Sa forme devient alors proche de celle d’une loi normale.

L’approximation devient acceptable pour un paramètre suffisamment grand. Le seuil $\lambda\geq 5$ est souvent retenu, tandis que $\lambda\geq 10$ fournit une règle plus prudente. Pour une petite valeur de $\lambda$ , la loi de Poisson reste fortement dissymétrique et l’approximation normale est médiocre.

Comparaison

Approximations normales des lois discrètes

Critère	Loi binomiale	Loi de Poisson
Espérance	$np$	$\lambda$
Variance	$np(1-p)$	$\lambda$
Condition usuelle	$np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$	$\lambda\geq 5$
Cause d’une mauvaise approximation	$p$ proche de $0$ ou de $1$	$\lambda$ trop petit

Correction de continuité

Les lois binomiale et de Poisson sont discrètes : elles attribuent des probabilités à des valeurs entières. La loi normale est continue : la probabilité d’une valeur isolée y est nulle. Une conversion directe des bornes entières en bornes continues crée donc un décalage.

Si $Y$ désigne la variable normale d’approximation et si $a$ et $b$ sont des entiers, les correspondances générales sont :

$P(X\leq b)\approx P(Y\leq b+0{,}5)$ ;
$P(X\geq a)\approx P(Y\geq a-0{,}5)$ ;
$P(a\leq X\leq b)\approx P(a-0{,}5\leq Y\leq b+0{,}5)$ ;
$P(X=a)\approx P(a-0{,}5\leq Y\leq a+0{,}5)$ .

Cette correction associe à chaque entier une bande continue de largeur $1$ centrée sur lui. Elle améliore l’approximation, particulièrement lorsque les paramètres ne sont que modérément grands.

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Théorème central limite et approximations entre lois

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

De la somme de variables à la loi normale

S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.

L’indépendance permet d’additionner les variances. Ainsi :

$\mathbb{E}(S_n)=n\mu$ ;
$\operatorname{Var}(S_n)=n\sigma^2$ ;
l’écart-type de $S_n$ vaut $\sigma\sqrt{n}$ .

Théorème central limite

Les hypothèses essentielles de la forme usuelle du théorème sont :

l’indépendance des variables ;
leur distribution identique ;
l’existence d’une espérance finie ;
l’existence d’une variance finie et non nulle.

Distribution d’une moyenne

La moyenne empirique des $n$ variables est définie par

\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}.

Exemple

Réduction de la fluctuation d’une moyenne

Une mesure biologique indépendante a pour espérance $\pu{120 mg/L}$ et pour écart-type $\pu{15 mg/L}$ . Une moyenne est calculée sur $n=100$ mesures.

Espérance de la moyenne : $\mathbb{E}(\overline{X}_{100})=\pu{120 mg/L}$ .
Variance de la moyenne : $\operatorname{Var}(\overline{X}_{100})=\frac{15^2}{100}=\pu{2,25 mg^2/L^2}$ .
Écart-type de la moyenne : $\frac{15}{\sqrt{100}}=\pu{1,5 mg/L}$ .

Pour un effectif suffisamment grand, on peut donc écrire l’approximation

\overline{X}_n \approx \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).

Approximation normale de la loi binomiale

Elle peut s’écrire comme une somme :

X=X_1+\cdots+X_n,

où chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Pour chaque terme, l’espérance vaut $p$ et la variance vaut $p(1-p)$ . Par addition :

\mathbb{E}(X)=np \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p).

Le théorème central limite appliqué à cette somme justifie l’approximation suivante.

L’approximation est satisfaisante lorsque les nombres moyens de succès et d’échecs sont tous deux assez grands. Un critère usuel est :

np\geq 5 \qquad\text{et}\qquad n(1-p)\geq 5.

Exemple

Vérifier une approximation normale binomiale

Un essai comporte $n=80$ épreuves indépendantes, avec une probabilité de succès $p=0{,}40$ à chaque épreuve. Le nombre $X$ de succès suit donc une loi $\mathcal{B}(80,0{,}40)$ .

Nombre moyen de succès : $np=80\times 0{,}40=32$ .
Nombre moyen d’échecs : $n(1-p)=80\times 0{,}60=48$ .
Variance : $np(1-p)=80\times 0{,}40\times 0{,}60=19{,}2$ .

Approximation normale de la loi de Poisson

Une variable $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ possède une espérance et une variance toutes deux égales à $\lambda$ :

\mathbb{E}(X)=\operatorname{Var}(X)=\lambda.

Lorsque $\lambda$ augmente, la masse de probabilité s’étale sur davantage d’entiers et la dissymétrie de la loi diminue. Sa forme devient alors proche de celle d’une loi normale.

Comparaison

Approximations normales des lois discrètes

Critère	Loi binomiale	Loi de Poisson
Espérance	$np$	$\lambda$
Variance	$np(1-p)$	$\lambda$
Condition usuelle	$np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$	$\lambda\geq 5$
Cause d’une mauvaise approximation	$p$ proche de $0$ ou de $1$	$\lambda$ trop petit

Correction de continuité

Si $Y$ désigne la variable normale d’approximation et si $a$ et $b$ sont des entiers, les correspondances générales sont :

$P(X\leq b)\approx P(Y\leq b+0{,}5)$ ;
$P(X\geq a)\approx P(Y\geq a-0{,}5)$ ;
$P(a\leq X\leq b)\approx P(a-0{,}5\leq Y\leq b+0{,}5)$ ;
$P(X=a)\approx P(a-0{,}5\leq Y\leq a+0{,}5)$ .

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