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Sommaire

  • 1Des lois des fluides aux fonctions physiologiques
  • 2Relation entre pression, débit et résistance
  • 3Applications à l’arbre circulatoire
    • 3.1Débit et vitesse du sang
    • 3.2Pression et conversion de l’énergie
    • 3.3Résistance vasculaire et rayon
    • 3.4Association des résistances vasculaires lock — section verrouillée
  • 4Applications à l’écoulement de l’air lock — section verrouillée
    • 4.1Pression motrice et résistance des voies aériennes lock — section verrouillée
    • 4.2Ramifications et section totale lock — section verrouillée
    • 4.3Régime laminaire ou turbulent lock — section verrouillée
    • 4.4Limite liée aux interfaces pulmonaires lock — section verrouillée
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B7 · Mécanique des fluides

Applications hémodynamiques et ventilatoires des lois des fluides

Interpréter les variations de vitesse, de pression et de résistance dans l'arbre circulatoire à l'aide des lois des fluides. Transposer le raisonnement à l'écoulement de l'air dans les voies aériennes.

Biophysique·schedule7 min de lecture·quiz17 QCM corrigés

Des lois des fluides aux fonctions physiologiques

Définition

Hémodynamique

Étude de l’écoulement du sang dans le système cardiovasculaire et des relations entre débit, vitesse, pression et résistance vasculaire.

Définition

Ventilation

Déplacement de l’air entre l’atmosphère et les alvéoles pulmonaires sous l’effet de différences de pression.

Le sang et l’air sont des fluides réels : leur écoulement dissipe de l’énergie en raison de leur viscosité et du frottement contre les parois. Toutefois, certaines portions de leur circulation peuvent être interprétées approximativement avec les relations établies dans les fiches précédentes : continuité du débit, théorème de Bernoulli, loi de Poiseuille et nombre de Reynolds.

Le raisonnement commun est le suivant : une différence de pression met le fluide en mouvement, tandis que les résistances s’opposent à cet écoulement.

Relation entre pression, débit et résistance

Définition

Débit volumique

Volume de fluide traversant une section par unité de temps.

Définition

Résistance hydraulique

Grandeur traduisant l’opposition d’un conduit à l’écoulement d’un fluide réel.

Formule

Relation générale pression-débit

Q=ΔPRQ = \frac{\Delta P}{R}Q=RΔP​
  • QQQ : débit volumique, en m3 ⋅ s−1\pu{m3.s-1}m3⋅s−1
  • ΔP\Delta PΔP : différence de pression entre l’entrée et la sortie du conduit, en pascals
  • RRR : résistance hydraulique, en Pa ⋅ s ⋅ m−3\pu{Pa.s.m-3}Pa⋅s⋅m−3

Cette relation est l’analogue hydraulique de la loi d’Ohm. À résistance constante, une augmentation de la différence de pression augmente le débit. À différence de pression constante, une augmentation de la résistance diminue le débit.

Le fluide s’écoule spontanément d’une région de pression élevée vers une région de pression plus faible. La pression absolue importe moins pour l’écoulement que le gradient de pression, c’est-à-dire la variation de pression le long du trajet.

Applications à l’arbre circulatoire

Débit et vitesse du sang

Pour un fluide assimilé à un liquide incompressible, le débit est relié à la vitesse moyenne et à l’aire de section traversée.

Formule

Équation de continuité

Q=vSQ = vSQ=vS
  • QQQ : débit volumique, en m3 ⋅ s−1\pu{m3.s-1}m3⋅s−1
  • vvv : vitesse moyenne du fluide, en m ⋅ s−1\pu{m.s-1}m⋅s−1
  • SSS : aire totale de la section traversée, en m2\pu{m2}m2

Dans un circuit sans accumulation de sang, le débit total se conserve d’une région à l’autre. La vitesse dépend donc de la section totale, qui est la somme des sections de tous les vaisseaux disposés en parallèle à un même niveau de l’arbre vasculaire.

Ainsi, lorsque la section totale augmente, la vitesse moyenne diminue. La multiplication des ramifications peut donc ralentir le sang même si chaque vaisseau individuel possède un petit diamètre. Inversement, la réunion de nombreux vaisseaux réduit la section totale et augmente la vitesse.

Section totale et vitesse dans l’arbre vasculaire
Section totale et vitesse dans l’arbre vasculaire
Attention

Section d’un vaisseau et section totale

Une diminution du diamètre d’un vaisseau isolé réduit sa section. Cependant, une région comportant un très grand nombre de petits vaisseaux parallèles peut présenter une section totale supérieure à celle d’un gros vaisseau unique.

La faible vitesse dans les réseaux d’échange augmente le temps disponible pour les transferts entre le sang et les tissus. Elle ne signifie pas que le débit global y est nul : le même débit total traverse successivement les différentes régions d’un circuit fermé en régime stationnaire.

Pression et conversion de l’énergie

Le théorème de Bernoulli relie, pour un fluide parfait en écoulement stationnaire, la pression statique, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de pesanteur.

Formule

Relation de Bernoulli

P+12ρv2+ρgh=constanteP + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gh = \mathrm{constante}P+21​ρv2+ρgh=constante
  • PPP : pression statique, en pascals
  • ρ\rhoρ : masse volumique du fluide, en kg ⋅ m−3\pu{kg.m-3}kg⋅m−3
  • vvv : vitesse du fluide, en m ⋅ s−1\pu{m.s-1}m⋅s−1
  • ggg : intensité de la pesanteur, en m ⋅ s−2\pu{m.s-2}m⋅s−2
  • hhh : altitude, en mètres

À altitude constante et en l’absence de pertes, une augmentation locale de vitesse s’accompagne d’une diminution de pression statique. Dans la circulation réelle, cette conversion ne suffit cependant pas à décrire l’ensemble des variations de pression : la viscosité dissipe progressivement l’énergie mécanique. La pression moyenne décroît donc globalement dans le sens de l’écoulement.

Résistance vasculaire et rayon

Pour un écoulement laminaire stationnaire dans un conduit cylindrique rigide, la loi de Poiseuille conduit à la résistance suivante.

Formule

Résistance selon Poiseuille

R=8ηLπr4R = \frac{8\eta L}{\pi r^{4}}R=πr48ηL​
  • RRR : résistance hydraulique, en Pa ⋅ s ⋅ m−3\pu{Pa.s.m-3}Pa⋅s⋅m−3
  • η\etaη : viscosité dynamique du fluide, en Pa ⋅ s\pu{Pa.s}Pa⋅s
  • LLL : longueur du conduit, en mètres
  • π\piπ : constante géométrique
  • rrr : rayon intérieur du conduit, en mètres

La dépendance en r4r^{4}r4 rend le rayon déterminant : une faible variation de calibre entraîne une variation importante de résistance. La vasoconstriction augmente donc fortement la résistance, tandis que la vasodilatation la diminue.

Exemple

Effet d’un doublement du rayon sur la résistance

Deux artérioles ont la même longueur et contiennent un sang de même viscosité. L’artériole A a une résistance de RA=160 Pa ⋅ s ⋅ m−3R_A = \pu{160 Pa.s.m-3}RA​=160 Pa⋅s⋅m−3.

L’artériole B est vasodilatée et son rayon est doublé : rB=2rAr_B = 2r_ArB​=2rA​.

Selon la dépendance en 1/r41/r^{4}1/r4 :

RB=RA24=16016=10 Pa ⋅ s ⋅ m−3R_B = \frac{R_A}{2^{4}} = \frac{160}{16} = \pu{10 Pa.s.m-3}RB​=24RA​​=16160​=10 Pa⋅s⋅m−3

Le doublement du rayon divise donc la résistance par 161616. Une variation apparemment modeste du calibre peut ainsi modifier très fortement l’opposition à l’écoulement.

Une augmentation de la viscosité ou de la longueur du trajet augmente également la résistance, mais de manière proportionnelle. Dans l’organisme, la longueur totale varie peu à court terme ; la régulation rapide repose donc surtout sur le calibre vasculaire.

À retenir

Déterminant majeur de la résistance vasculaire

Dans le domaine de validité de la loi de Poiseuille, la résistance est inversement proportionnelle à la quatrième puissance du rayon : R∝1/r4R \propto 1/r^{4}R∝1/r4.

Association des résistances vasculaires

Formule

Résistances en série et en parallèle

Rseˊrie=∑iRi1Rparalleˋle=∑i1RiR_{\text{série}} = \sum_i R_i \qquad \frac{1}{R_{\text{parallèle}}} = \sum_i \frac{1}{R_i}Rseˊrie​=i∑​Ri​Rparalleˋle​1​=i∑​Ri​1​
  • RseˊrieR_{\text{série}}Rseˊrie​ : résistance équivalente de conduits successifs
  • RparalleˋleR_{\text{parallèle}}Rparalleˋle​ : résistance équivalente de conduits parallèles
  • RiR_iRi​ : résistance du conduit d’indice iii
  • iii : indice identifiant chaque conduit

Des segments en série sont traversés par le même débit et leurs chutes de pression s’additionnent. Des réseaux en parallèle subissent la même différence de pression, mais le débit total se répartit entre les branches. Ajouter une branche parallèle diminue donc la résistance équivalente.

Débit et pression dans les associations de résistances
Débit et pression dans les associations de résistances

Applications à l’écoulement de l’air

Pression motrice et résistance des voies aériennes

L’air entre ou sort des poumons lorsqu’une différence de pression existe entre leurs extrémités. Le débit aérien obéit à la même relation générale que le débit sanguin :

Q=ΔPRQ = \frac{\Delta P}{R}Q=RΔP​

L’inspiration exige une pression alvéolaire inférieure à la pression atmosphérique ; l’expiration exige la situation inverse. Lorsque ces pressions deviennent égales, le débit instantané s’annule.

Pour un écoulement laminaire, la résistance augmente avec la viscosité et la longueur des voies aériennes, et diminue fortement lorsque leur rayon augmente. Une réduction du calibre bronchique accroît donc la différence de pression nécessaire pour maintenir un même débit.

Ramifications et section totale

Comme dans l’arbre circulatoire, le débit total d’air se répartit entre des conduits parallèles. La section totale augmente fortement vers les ramifications périphériques, ce qui réduit la vitesse moyenne de l’air selon la relation Q=vSQ = vSQ=vS.

Cette diminution de vitesse favorise un écoulement plus régulier dans les petites voies aériennes. Elle réduit également la part du transport liée au mouvement global du fluide à mesure que l’air approche des surfaces d’échange.

Régime laminaire ou turbulent

Définition

Écoulement laminaire

Écoulement organisé en couches fluides suivant des trajectoires régulières, avec peu de mélange transversal.

Définition

Écoulement turbulent

Écoulement irrégulier comportant des fluctuations de vitesse, des tourbillons et des pertes d’énergie accrues.

La tendance à la turbulence est appréciée par le nombre de Reynolds.

Formule

Nombre de Reynolds

Re=ρvDη\mathrm{Re} = \frac{\rho vD}{\eta}Re=ηρvD​
  • Re\mathrm{Re}Re : nombre de Reynolds, sans unité
  • ρ\rhoρ : masse volumique du fluide, en kg ⋅ m−3\pu{kg.m-3}kg⋅m−3
  • vvv : vitesse moyenne, en m ⋅ s−1\pu{m.s-1}m⋅s−1
  • DDD : diamètre caractéristique du conduit, en mètres
  • η\etaη : viscosité dynamique, en Pa ⋅ s\pu{Pa.s}Pa⋅s

Une augmentation de la vitesse, du diamètre ou de la masse volumique favorise la turbulence ; une augmentation de la viscosité la limite. La turbulence augmente les pertes de charge et rend la relation entre pression et débit moins directement décrite par la loi de Poiseuille.

Exemple

Calculer le nombre de Reynolds dans une voie aérienne

Dans un gros conduit aérien, l’air possède une masse volumique de ρ=1,2 kg ⋅ m−3\rho = \pu{1,2 kg.m-3}ρ=1,2 kg⋅m−3, une viscosité dynamique de η=1,8×10−5 Pa ⋅ s\eta = \pu{1,8 \times 10^-5 Pa.s}η=1,8×10−5 Pa⋅s et circule dans un diamètre de D=2,0×10−2 mD = \pu{2,0 \times 10^-2 m}D=2,0×10−2 m. La vitesse moyenne vaut v=4,0 m ⋅ s−1v = \pu{4,0 m.s-1}v=4,0 m⋅s−1.

Re=ρvDη=1,2×4,0×2,0×10−21,8×10−5≈5,3×103\mathrm{Re} = \frac{\rho vD}{\eta} = \frac{1,2 \times 4,0 \times 2,0 \times 10^-2}{1,8 \times 10^-5} \approx 5{,}3 \times 10^{3}Re=ηρvD​=1,8×10−51,2×4,0×2,0×10−2​≈5,3×103

Le nombre de Reynolds est donc d’environ 5,3×1035{,}3 \times 10^{3}5,3×103, sans unité. Si la vitesse double et atteint 8,0 m ⋅ s−1\pu{8,0 m.s-1}8,0 m⋅s−1, tous les autres paramètres restant constants, le nombre de Reynolds double également et vaut environ 1,1×1041,1 \times 10^{4}1,1×104. L’augmentation de vitesse renforce ainsi la tendance de l’écoulement à devenir turbulent.

Comparaison

Écoulements sanguin et aérien

CritèreSangAir
Compressibilité usuellenégligeablepotentiellement significative
Force motricegradient de pression cardiovasculairegradient de pression entre atmosphère et alvéoles
Réglage rapide de la résistancecalibre vasculairecalibre des voies aériennes
Turbulence favorisée parvitesse élevée et changements géométriquesvitesse élevée et gros conduits

Limite liée aux interfaces pulmonaires

La circulation de l’air dans les voies aériennes ne doit pas être confondue avec la mécanique des alvéoles. La loi de Laplace et le rôle du surfactant, étudiés dans la fiche consacrée à la tension superficielle, expliquent les pressions liées à l’interface air-liquide plutôt que la résistance à l’écoulement dans les conduits.

À retenir

Dans les deux arbres, le gradient de pression crée le débit, le rayon contrôle fortement la résistance et la section totale détermine la vitesse moyenne.

Points clés
  • Le débit vérifie Q=ΔP/RQ = \Delta P/RQ=ΔP/R : il augmente avec le gradient de pression et diminue avec la résistance.
  • À débit conservé, la vitesse moyenne varie en sens inverse de la section totale traversée.
  • La pression réelle diminue dans le sens de l’écoulement en raison des pertes d’énergie par viscosité.
  • En régime laminaire, la résistance varie comme 1/r41/r^{4}1/r4, ce qui donne au calibre des conduits un rôle majeur.
  • Les branches en parallèle diminuent la résistance équivalente et répartissent le débit total.
  • Une augmentation du nombre de Reynolds favorise la turbulence et accroît les pertes de charge.

Fiches connexes

À réviser dans la foulée, sur Mécanique des fluides.

  • Fiche 01Hydrostatique et loi de PascalMécanique des fluides
  • Fiche 02Fluides parfaits : équation de continuité et théorème de BernoulliMécanique des fluides
  • Fiche 03Fluides réels : viscosité, loi de Poiseuille et nombre de ReynoldsMécanique des fluides
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