B10 · Tests d'hypothèses

Comparaison de variances

Construire le test fondé sur la loi de Fisher-Snedecor et déterminer ses degrés de liberté. Situer ce test comme préalable à la comparaison de deux moyennes.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Objet et cadre du test

La comparaison de deux variances cherche à déterminer si deux populations indépendantes présentent la même dispersion. Les paramètres étudiés sont leurs variances respectives, notées $\sigma_1^2$ et $\sigma_2^2$ .

On dispose de deux échantillons :

un premier échantillon de taille $n_1$ , issu d'une population normale de variance $\sigma_1^2$ ;
un second échantillon de taille $n_2$ , issu d'une population normale de variance $\sigma_2^2$ .

Les deux échantillons doivent être indépendants : connaître les observations de l'un ne doit apporter aucune information sur celles de l'autre.

Les notions générales d'hypothèse nulle, de risque de première espèce et de région de rejet sont établies dans les fiches précédentes du sous-bloc ; elles sont ici appliquées au rapport de deux variances.

Variances observées dans les échantillons

Pour estimer la variance de chaque population, on utilise la variance empirique corrigée.

La somme des carrés des écarts à la moyenne ne possède que $n_j-1$ degrés de liberté. En effet, dès que la moyenne et $n_j-1$ écarts sont connus, le dernier écart est imposé puisque la somme des écarts à la moyenne est nulle. Cette contrainte explique le dénominateur $n_j-1$ .

Lorsque la population est normale, la variance empirique corrigée vérifie une propriété fondamentale :

\frac{(n_j-1)S_j^2}{\sigma_j^2}

suit une loi du khi-deux à $n_j-1$ degrés de liberté. Cette propriété permet de construire le test de Fisher-Snedecor.

Hypothèses statistiques

Test bilatéral

Le test bilatéral recherche toute différence entre les deux variances, sans présumer laquelle est la plus grande :

H_0 : \sigma_1^2=\sigma_2^2

H_1 : \sigma_1^2\neq\sigma_2^2

L'hypothèse nulle $H_0$ exprime donc l'homoscédasticité. L'hypothèse alternative $H_1$ exprime l'hétéroscédasticité.

Tests unilatéraux

Une hypothèse alternative orientée peut être formulée lorsque le sens de la différence est fixé avant l'analyse :

$H_1 : \sigma_1^2>\sigma_2^2$ ;
ou $H_1 : \sigma_1^2<\sigma_2^2$ .

Le choix entre un test bilatéral et un test unilatéral ne doit jamais dépendre des variances observées : il doit résulter de la question posée avant l'examen des données.

Statistique de Fisher-Snedecor

Sous $H_0$ , les deux variances de population sont égales. Le rapport des variances empiriques corrigées suit alors une loi de Fisher-Snedecor.

Sous $H_0$ , cette statistique suit la loi :

F_{\mathrm{obs}}\sim F_{\nu_1,\nu_2}

où :

$\nu_1=n_1-1$ est le nombre de degrés de liberté du numérateur ;
$\nu_2=n_2-1$ est le nombre de degrés de liberté du dénominateur.

Exemple

Associer les degrés de liberté au rapport de variances

Deux échantillons indépendants ont des tailles $n_1=19$ et $n_2=9$ . Leurs variances empiriques corrigées sont respectivement $S_1^2=18$ et $S_2^2=8$ .

La statistique, en plaçant la première variance au numérateur, vaut :

F_{\mathrm{obs}}=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{18}{8}=2{,}25

Les degrés de liberté doivent suivre le même ordre que les variances dans le rapport :

\nu_1=n_1-1=19-1=18

\nu_2=n_2-1=9-1=8

La statistique observée est donc $F_{\mathrm{obs}}=2{,}25$ et doit être comparée à une loi $F_{18,8}$ . Le premier degré de liberté est $18$ car il correspond à $S_1^2$ , au numérateur, et le second est $8$ car il correspond à $S_2^2$ , au dénominateur.

La loi de Fisher-Snedecor est le rapport de deux variables indépendantes suivant chacune une loi du khi-deux, après division par leurs degrés de liberté. Elle ne prend que des valeurs positives et n'est généralement pas symétrique.

Règle de décision

Notons $q_p$ le quantile d'ordre $p$ de la loi $F_{\nu_1,\nu_2}$ , défini par :

P\left(F\leq q_p\right)=p

où $P$ désigne une probabilité et $F$ une variable suivant la loi de Fisher-Snedecor considérée.

Pour un risque de première espèce $\alpha$ , le test bilatéral répartit ce risque entre les deux extrémités de la distribution. On rejette $H_0$ si :

F_{\mathrm{obs}}<q_{\alpha/2}

ou si :

F_{\mathrm{obs}}>q_{1-\alpha/2}

Dans un test unilatéral :

pour $H_1 : \sigma_1^2>\sigma_2^2$ , on rejette $H_0$ si $F_{\mathrm{obs}}>q_{1-\alpha}$ ;
pour $H_1 : \sigma_1^2<\sigma_2^2$ , on rejette $H_0$ si $F_{\mathrm{obs}}<q_{\alpha}$ .

Conditions et limites

Le test exact de Fisher-Snedecor repose sur trois conditions principales :

les observations sont quantitatives ;
les deux échantillons sont indépendants ;
chacune des deux populations suit une loi normale.

La normalité est particulièrement importante, car la loi du rapport des variances est sensible aux distributions asymétriques et aux valeurs extrêmes. Si cette condition n'est pas raisonnable, les seuils théoriques de la loi de Fisher-Snedecor peuvent ne plus contrôler correctement le risque $\alpha$ .

Lien avec la comparaison de deux moyennes

Dans la comparaison classique de deux moyennes issues d'échantillons indépendants, le test de Student avec variance commune suppose l'homoscédasticité. Le test de Fisher-Snedecor peut donc être situé en amont pour examiner cette hypothèse :

si l'égalité des variances reste compatible avec les données, une variance commune peut être estimée dans le cadre du test de Student correspondant ;
si l'égalité des variances est rejetée, une méthode ne supposant pas des variances égales, telle que la procédure de Welch, doit être privilégiée.

Toutefois, le non-rejet du test de Fisher ne garantit pas l'égalité réelle des variances. En outre, enchaîner mécaniquement un test de variance puis un test de moyenne modifie les propriétés globales de la procédure. Le choix de la méthode de comparaison des moyennes doit donc également s'appuyer sur les hypothèses scientifiques et la robustesse recherchée.

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