B10 · Outils mathématiques

Équations différentielles du premier ordre et modèles biologiques

Résoudre une équation différentielle du premier ordre par séparation des variables ou par la méthode de l'équation homogène associée. Déterminer la constante d'intégration par une condition initiale et interpréter les modèles de croissance et de décroissance exponentielles.

Biostatistiques et méthodes d'analyse5 min de lecture15 QCM corrigés

Équations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. Elle décrit donc non seulement un état, mais surtout la manière dont cet état évolue.

Une telle équation peut s’écrire sous la forme générale $y'=f(x,y)$ , où $x$ est la variable indépendante, $y$ la fonction recherchée et $f$ une fonction connue. Dans un modèle biologique temporel, $x$ est généralement remplacé par le temps $t$ .

Résoudre l’équation consiste à déterminer toutes les fonctions $y$ qui vérifient cette relation sur un intervalle donné. La solution générale contient habituellement une constante arbitraire, car plusieurs trajectoires peuvent suivre la même loi d’évolution.

Les règles de dérivation, les primitives et les propriétés de l’exponentielle et du logarithme sont étudiées dans les fiches précédentes du sous-bloc et sont ici directement mobilisées.

Condition initiale et solution particulière

Une condition initiale sélectionne une solution particulière parmi toutes celles de la solution générale. Après avoir obtenu une expression contenant une constante $C$ , on remplace $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ , puis on résout l’équation obtenue pour déterminer $C$ .

Équations à variables séparables

Lorsque $g(y)$ est non nul, l’équation peut être réorganisée de façon à placer tous les termes dépendant de $y$ d’un côté et tous ceux dépendant de $x$ de l’autre :

\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx

On intègre ensuite les deux membres. Si $G$ est une primitive de la fonction $y\mapsto 1/g(y)$ et $F$ une primitive de $f$ , on obtient implicitement :

G(y)=F(x)+C

La dernière étape consiste, lorsque cela est possible, à isoler $y$ pour obtenir une expression explicite $y(x)$ .

Équations différentielles linéaires

L’équation est dite homogène lorsque son second membre est nul. À l’équation $y'+p(x)y=q(x)$ correspond donc l’équation homogène associée :

y'+p(x)y=0

Cette équation homogène est à variables séparables. Si $y$ est non nulle, elle donne $\frac{y'}{y}=-p(x)$ . Après intégration, la solution homogène s’écrit $y_h=C e^{-P(x)}$ , où $P$ est une primitive de $p$ .

Pour résoudre l’équation complète, deux démarches sont possibles.

Addition d’une solution particulière

Si une solution particulière $y_p$ de l’équation complète est connue, toute solution s’écrit comme la somme de cette solution particulière et d’une solution homogène :

y=y_p+y_h

Cette propriété résulte de la linéarité : la différence de deux solutions de l’équation complète vérifie nécessairement l’équation homogène associée.

Variation de la constante

Quand aucune solution particulière n’est immédiatement accessible, on remplace la constante $C$ de la solution homogène par une fonction inconnue $u(x)$ . On pose alors $y=u(x)e^{-P(x)}$ . Après dérivation et substitution dans l’équation complète, les termes liés à $p(x)$ s’annulent, ce qui permet de déterminer $u$ par intégration.

Croissance et décroissance exponentielles

Un modèle exponentiel repose sur l’hypothèse que la vitesse de variation d’une quantité est proportionnelle à la quantité elle-même. Si $N(t)$ désigne une quantité biologique au temps $t$ , la loi s’écrit $N'=kN$ , où $k$ est une constante.

L’équation $N'=kN$ est séparable. Pour $N$ non nul, on écrit $\frac{dN}{N}=k\,dt$ . L’intégration donne $\ln|N|=kt+C$ , puis l’exponentiation conduit à une fonction exponentielle. En tenant compte de la condition initiale $N(t_0)=N_0$ , on obtient la relation fondamentale suivante.

Le signe de $k$ détermine le sens de l’évolution :

si $k>0$ , la quantité augmente : il s’agit d’une croissance exponentielle ;
si $k<0$ , la quantité diminue : il s’agit d’une décroissance exponentielle ;
si $k=0$ , la quantité reste constante.

Comparaison

Croissance et décroissance exponentielles

Critère	Croissance exponentielle	Décroissance exponentielle
Signe de $k$	$k>0$	$k<0$
Dérivée pour $N>0$	$N'>0$	$N'<0$
Évolution à long terme	augmentation sans borne dans le modèle	tendance vers zéro
Durée caractéristique	temps de doublement	temps de demi-décroissance

Les durées caractéristiques ne dépendent pas de la valeur initiale : elles proviennent du caractère multiplicatif de l’évolution.

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Équations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à une ou plusieurs de ses dérivées. Elle décrit donc non seulement un état, mais surtout la manière dont cet état évolue.

Les règles de dérivation, les primitives et les propriétés de l’exponentielle et du logarithme sont étudiées dans les fiches précédentes du sous-bloc et sont ici directement mobilisées.

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Équations à variables séparables

Lorsque $g(y)$ est non nul, l’équation peut être réorganisée de façon à placer tous les termes dépendant de $y$ d’un côté et tous ceux dépendant de $x$ de l’autre :

\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx

On intègre ensuite les deux membres. Si $G$ est une primitive de la fonction $y\mapsto 1/g(y)$ et $F$ une primitive de $f$ , on obtient implicitement :

G(y)=F(x)+C

La dernière étape consiste, lorsque cela est possible, à isoler $y$ pour obtenir une expression explicite $y(x)$ .

Équations différentielles linéaires

L’équation est dite homogène lorsque son second membre est nul. À l’équation $y'+p(x)y=q(x)$ correspond donc l’équation homogène associée :

y'+p(x)y=0

Pour résoudre l’équation complète, deux démarches sont possibles.

Addition d’une solution particulière

Si une solution particulière $y_p$ de l’équation complète est connue, toute solution s’écrit comme la somme de cette solution particulière et d’une solution homogène :

y=y_p+y_h

Cette propriété résulte de la linéarité : la différence de deux solutions de l’équation complète vérifie nécessairement l’équation homogène associée.

Variation de la constante

Croissance et décroissance exponentielles

Le signe de $k$ détermine le sens de l’évolution :

si $k>0$ , la quantité augmente : il s’agit d’une croissance exponentielle ;
si $k<0$ , la quantité diminue : il s’agit d’une décroissance exponentielle ;
si $k=0$ , la quantité reste constante.

Comparaison

Croissance et décroissance exponentielles

Critère	Croissance exponentielle	Décroissance exponentielle
Signe de $k$	$k>0$	$k<0$
Dérivée pour $N>0$	$N'>0$	$N'<0$
Évolution à long terme	augmentation sans borne dans le modèle	tendance vers zéro
Durée caractéristique	temps de doublement	temps de demi-décroissance

Les durées caractéristiques ne dépendent pas de la valeur initiale : elles proviennent du caractère multiplicatif de l’évolution.

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