B10 · Tests d'hypothèses

Tests du khi-deux : conformité, indépendance et homogénéité

Calculer les effectifs attendus et la statistique du χ² et déterminer les degrés de liberté selon le tableau. Vérifier les conditions d'application et distinguer conformité, indépendance et homogénéité.

Biostatistiques et méthodes d'analyse6 min de lecture15 QCM corrigés

Principe général du test du khi-deux

Les tests du khi-deux, notés $\chi^2$ , portent sur des effectifs répartis entre des catégories. Ils comparent les effectifs réellement observés à ceux qui seraient attendus si l’hypothèse nulle $H_0$ était vraie.

L’écart entre $O$ et $E$ est rapporté à $E$ afin de tenir compte de la taille attendue de la catégorie. Chaque cellule apporte ainsi une contribution positive ou nulle à la statistique globale.

La statistique est faible lorsque les effectifs observés sont proches des effectifs attendus. Elle devient grande lorsque les écarts sont importants. Sous $H_0$ et si les conditions d’application sont satisfaites, elle suit approximativement une loi du khi-deux dont il faut préciser les degrés de liberté.

La décision à partir du seuil de significativité, de la valeur critique ou de la valeur $p$ relève du principe général des tests d’hypothèses étudié dans les fiches précédentes.

Test de conformité

Le test de conformité, également appelé test d’adéquation, étudie une seule variable qualitative dans un seul échantillon. Il vérifie si sa distribution observée est conforme à une distribution théorique donnée.

Pour $k$ catégories, l’hypothèse nulle affirme que les probabilités de catégories sont les probabilités théoriques $p_1,\ldots,p_k$ . L’hypothèse alternative affirme qu’au moins une de ces probabilités diffère de sa valeur théorique.

Comme la somme des effectifs est fixée à $n$ , seuls $k-1$ effectifs peuvent varier librement. Si les probabilités théoriques sont entièrement connues avant l’analyse, le nombre de degrés de liberté vaut donc :

\nu = k-1

où $\nu$ désigne le nombre de degrés de liberté.

Si $q$ paramètres de la distribution théorique ont été estimés à partir du même échantillon, chacun consomme un degré de liberté :

\nu = k-1-q

où $q$ est le nombre de paramètres indépendants estimés.

Exemple

Calculer un khi-deux de conformité

Dans un échantillon de $n=100$ patients, une distribution théorique prévoit trois catégories avec $p_1=0{,}50$ , $p_2=0{,}30$ et $p_3=0{,}20$ . Les effectifs observés sont respectivement $58$ , $25$ et $17$ .

Effectifs attendus : $E_1=100\times 0{,}50=50$ , $E_2=100\times 0{,}30=30$ et $E_3=100\times 0{,}20=20$ .
Contributions au khi-deux : $\frac{(58-50)^2}{50}=1{,}28$ , $\frac{(25-30)^2}{30}=0{,}83$ et $\frac{(17-20)^2}{20}=0{,}45$ .
Statistique : $\chi^2_{\mathrm{obs}}=1{,}28+0{,}83+0{,}45=2{,}56$ .

Aucun paramètre n'a été estimé à partir de l'échantillon, donc $q=0$ et $\nu=3-1-0=2$ degrés de liberté. La valeur $2{,}56$ résume l'écart global entre les effectifs observés et la distribution théorique attendue.

Tests sur un tableau de contingence

Un tableau de contingence croise deux variables qualitatives. Il comporte $r$ lignes et $c$ colonnes, soit $r c$ cellules. L’effectif observé de la cellule située à la ligne $i$ et à la colonne $j$ est noté $O_{ij}$ .

Sous l’hypothèse nulle, l’effectif attendu dans une cellule est obtenu à partir de son total de ligne et de son total de colonne.

Cette relation vient de la multiplication des fréquences marginales sous $H_0$ . La proportion attendue dans la cellule $(i,j)$ est le produit de la proportion de la ligne $i$ par celle de la colonne $j$ .

La statistique s’écrit alors :

\chi^2_{\mathrm{obs}} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{\left(O_{ij}-E_{ij}\right)^2}{E_{ij}}

Les totaux de lignes et de colonnes imposent des contraintes. Une fois les effectifs de $(r-1)(c-1)$ cellules connus, les autres sont déterminés par les marges. Ainsi :

\nu=(r-1)(c-1)

Test d’indépendance

Le test d’indépendance porte sur un seul échantillon dont chaque individu est classé simultanément selon deux variables qualitatives.

$H_0$ : les deux variables sont indépendantes dans la population.
$H_1$ : les deux variables sont associées.

Sous $H_0$ , connaître la catégorie d’une variable ne modifie pas la distribution de l’autre.

Test d’homogénéité

Le test d’homogénéité compare plusieurs échantillons ou populations indépendants selon une même variable qualitative.

$H_0$ : la distribution de la variable qualitative est identique dans toutes les populations.
$H_1$ : au moins une population possède une distribution différente.

Comparaison

Conformité, indépendance et homogénéité

Critère	Conformité	Indépendance	Homogénéité
Données	une variable dans un échantillon	deux variables dans un échantillon	une variable dans plusieurs échantillons
Hypothèse nulle	distribution égale à une loi théorique	variables indépendantes	distributions identiques
Effectif attendu	$E_j=np_j$	$E_{ij}=n_{i\cdot}n_{\cdot j}/n$	$E_{ij}=n_{i\cdot}n_{\cdot j}/n$
Degrés de liberté	$k-1-q$	$(r-1)(c-1)$	$(r-1)(c-1)$

Indépendance et homogénéité utilisent donc les mêmes calculs, mais ne répondent pas à la même question. Leur distinction dépend du plan de recueil des données, non de la forme numérique du tableau.

Exemple

Calculer les effectifs attendus dans un tableau d'indépendance

Une étude porte sur $120$ patients, chacun classé selon le traitement reçu et l'amélioration observée.

Traitement A : $36$ patients améliorés et $24$ non améliorés, soit $60$ patients.
Traitement B : $24$ patients améliorés et $36$ non améliorés, soit $60$ patients.
Au total : $60$ patients sont améliorés et $60$ ne sont pas améliorés.

Sous l'hypothèse d'indépendance, l'effectif attendu des patients sous traitement A et améliorés vaut $E_{11}=\frac{60\times 60}{120}=30$ . Les trois autres cellules ont également un effectif attendu de $30$ .

Chaque cellule contribue $\frac{(36-30)^2}{30}=1{,}2$ ou $\frac{(24-30)^2}{30}=1{,}2$ . Ainsi, $\chi^2_{\mathrm{obs}}=1{,}2+1{,}2+1{,}2+1{,}2=4{,}8$ .

Le tableau comporte $2$ lignes et $2$ colonnes, donc $\nu=(2-1)(2-1)=1$ degré de liberté. Cette statistique mesure l'écart entre le tableau observé et le tableau qui serait attendu si le traitement et l'amélioration étaient indépendants.

Conditions d’application

L’approximation par la loi du khi-deux n’est valable que si les données et les effectifs attendus respectent plusieurs conditions.

Les données doivent être des effectifs, et non des pourcentages isolés ou des moyennes.
Les catégories doivent être mutuellement exclusives : chaque observation appartient à une seule catégorie pour chaque variable.
Les catégories doivent couvrir toutes les possibilités retenues dans l’analyse.
Les observations doivent être indépendantes. Un même individu ne doit pas contribuer plusieurs fois au même tableau comme s’il s’agissait d’individus distincts.
Les effectifs attendus doivent être suffisamment grands pour que l’approximation asymptotique soit fiable.

La règle conservatrice usuelle demande $E_a \geq 5$ dans chaque catégorie ou cellule. Une convention moins stricte admet qu’aucun effectif attendu ne soit inférieur à $1$ et qu’au plus $20\,\%$ des effectifs attendus soient inférieurs à $5$ . La convention exigée doit être celle retenue par l’enseignement.

Lorsque les effectifs attendus sont trop faibles, des catégories peuvent être regroupées seulement si ce regroupement possède un sens défini indépendamment des résultats. Sinon, il faut recourir à une méthode exacte adaptée.

Démarche de calcul

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Tests du khi-deux : conformité, indépendance et homogénéité

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Principe général du test du khi-deux

La décision à partir du seuil de significativité, de la valeur critique ou de la valeur $p$ relève du principe général des tests d’hypothèses étudié dans les fiches précédentes.

Test de conformité

\nu = k-1

où $\nu$ désigne le nombre de degrés de liberté.

Si $q$ paramètres de la distribution théorique ont été estimés à partir du même échantillon, chacun consomme un degré de liberté :

\nu = k-1-q

où $q$ est le nombre de paramètres indépendants estimés.

Exemple

Calculer un khi-deux de conformité

Effectifs attendus : $E_1=100\times 0{,}50=50$ , $E_2=100\times 0{,}30=30$ et $E_3=100\times 0{,}20=20$ .
Contributions au khi-deux : $\frac{(58-50)^2}{50}=1{,}28$ , $\frac{(25-30)^2}{30}=0{,}83$ et $\frac{(17-20)^2}{20}=0{,}45$ .
Statistique : $\chi^2_{\mathrm{obs}}=1{,}28+0{,}83+0{,}45=2{,}56$ .

Tests sur un tableau de contingence

Sous l’hypothèse nulle, l’effectif attendu dans une cellule est obtenu à partir de son total de ligne et de son total de colonne.

La statistique s’écrit alors :

\chi^2_{\mathrm{obs}} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{\left(O_{ij}-E_{ij}\right)^2}{E_{ij}}

Les totaux de lignes et de colonnes imposent des contraintes. Une fois les effectifs de $(r-1)(c-1)$ cellules connus, les autres sont déterminés par les marges. Ainsi :

\nu=(r-1)(c-1)

Test d’indépendance

Le test d’indépendance porte sur un seul échantillon dont chaque individu est classé simultanément selon deux variables qualitatives.

$H_0$ : les deux variables sont indépendantes dans la population.
$H_1$ : les deux variables sont associées.

Sous $H_0$ , connaître la catégorie d’une variable ne modifie pas la distribution de l’autre.

Test d’homogénéité

Le test d’homogénéité compare plusieurs échantillons ou populations indépendants selon une même variable qualitative.

$H_0$ : la distribution de la variable qualitative est identique dans toutes les populations.
$H_1$ : au moins une population possède une distribution différente.

Comparaison

Conformité, indépendance et homogénéité

Critère	Conformité	Indépendance	Homogénéité
Données	une variable dans un échantillon	deux variables dans un échantillon	une variable dans plusieurs échantillons
Hypothèse nulle	distribution égale à une loi théorique	variables indépendantes	distributions identiques
Effectif attendu	$E_j=np_j$	$E_{ij}=n_{i\cdot}n_{\cdot j}/n$	$E_{ij}=n_{i\cdot}n_{\cdot j}/n$
Degrés de liberté	$k-1-q$	$(r-1)(c-1)$	$(r-1)(c-1)$

Exemple

Calculer les effectifs attendus dans un tableau d'indépendance

Une étude porte sur $120$ patients, chacun classé selon le traitement reçu et l'amélioration observée.

Traitement A : $36$ patients améliorés et $24$ non améliorés, soit $60$ patients.
Traitement B : $24$ patients améliorés et $36$ non améliorés, soit $60$ patients.
Au total : $60$ patients sont améliorés et $60$ ne sont pas améliorés.

Chaque cellule contribue $\frac{(36-30)^2}{30}=1{,}2$ ou $\frac{(24-30)^2}{30}=1{,}2$ . Ainsi, $\chi^2_{\mathrm{obs}}=1{,}2+1{,}2+1{,}2+1{,}2=4{,}8$ .

Conditions d’application

L’approximation par la loi du khi-deux n’est valable que si les données et les effectifs attendus respectent plusieurs conditions.

Les données doivent être des effectifs, et non des pourcentages isolés ou des moyennes.
Les catégories doivent être mutuellement exclusives : chaque observation appartient à une seule catégorie pour chaque variable.
Les catégories doivent couvrir toutes les possibilités retenues dans l’analyse.
Les observations doivent être indépendantes. Un même individu ne doit pas contribuer plusieurs fois au même tableau comme s’il s’agissait d’individus distincts.
Les effectifs attendus doivent être suffisamment grands pour que l’approximation asymptotique soit fiable.

Démarche de calcul

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