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Sommaire

  • 1Principe des méthodes fondées sur les rangs
  • 2Classement et traitement des ex æquo
  • 3Test de Mann-Whitney
    • 3.1Contexte et hypothèse testée
    • 3.2Construction de la statistique
  • 4Test des rangs signés de Wilcoxon
    • 4.1Contexte et conditions lock — section verrouillée
  • 5Corrélation de Spearman lock — section verrouillée
    • 5.1Mesure d’une liaison monotone lock — section verrouillée
  • 6Tests exacts et approximations asymptotiques lock — section verrouillée
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B10 · Tests d'hypothèses

Tests non paramétriques fondés sur les rangs

Présenter les tests de Mann-Whitney, de Wilcoxon et la corrélation de Spearman et leurs contextes d'emploi. Décrire la construction des statistiques de rang, le traitement des ex æquo et les approximations pour grands échantillons.

Biostatistiques et méthodes d'analyse·schedule8 min de lecture·quiz17 QCM corrigés

Principe des méthodes fondées sur les rangs

Un test paramétrique décrit généralement les observations à l'aide de paramètres tels que la moyenne et la variance, sous des hypothèses de distribution. Une méthode fondée sur les rangs remplace au contraire les valeurs observées par leur position dans l'ordre croissant. Elle utilise donc l’ordre des observations plutôt que l’amplitude exacte de leurs écarts.

Définition

Rang

Position occupée par une observation lorsque les valeurs sont classées par ordre croissant. En l’absence d’égalité, les rangs vont de 111 à nnn, où nnn est le nombre d’observations classées.

Définition

Test non paramétrique

Test dont la statistique ne repose pas sur une modélisation complète de la population par une famille de distributions déterminée par un petit nombre de paramètres.

Ces méthodes sont adaptées lorsque les données sont au moins ordinales, lorsqu’une hypothèse de normalité paraît inappropriée ou lorsque des valeurs extrêmes rendent les méthodes fondées sur les valeurs brutes peu robustes. Elles restent cependant soumises à des conditions portant notamment sur l’indépendance, l’appariement et la forme des distributions.

Le choix entre les tests repose d’abord sur le plan d’étude :

  • deux groupes indépendants conduisent au test de Mann-Whitney ;
  • deux mesures appariées conduisent au test des rangs signés de Wilcoxon ;
  • l’étude d’une liaison monotone entre deux variables conduit à la corrélation de Spearman.

Les principes généraux des hypothèses, du risque de première espèce et de la valeur ppp sont traités dans les fiches précédentes du sous-bloc.

Comparaison

Choisir une méthode fondée sur les rangs

SituationMéthodeÉlément classé
Deux groupes indépendantsMann-Whitneyobservations réunies
Deux mesures appariéesWilcoxonvaleurs absolues des différences
Deux variables ordinales ou quantitativesSpearmanvaleurs de chaque variable séparément

Classement et traitement des ex æquo

Lorsque toutes les observations sont distinctes, leur classement est immédiat. Si plusieurs observations sont égales, elles occupent ensemble plusieurs positions successives.

Définition

Ex æquo

Observations égales auxquelles on attribue le rang moyen des positions qu’elles auraient occupées si elles avaient pu être ordonnées entre elles.

Cette convention conserve la somme totale des rangs. Pour nnn observations, cette somme vaut toujours :

1+2+⋯+n=n(n+1)2.1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.1+2+⋯+n=2n(n+1)​.

Les ex æquo réduisent toutefois la variabilité de la statistique de rang. Ils doivent donc être pris en compte dans le calcul de sa variance lorsque l’on emploie une approximation asymptotique.

Méthode

Construire des rangs

  1. Réunir les observations qui doivent être classées dans une même série
  2. Les ordonner par valeur croissante
  3. Attribuer les rangs de 111 à nnn
  4. Remplacer chaque groupe d’ex æquo par le rang moyen des positions correspondantes
  5. Vérifier que la somme des rangs vaut n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)​
Exemple

Attribuer des rangs moyens à des ex æquo

Considérons les cinq observations suivantes : 444, 777, 777, 777 et 101010.

  • La valeur 444 reçoit le rang 111.
  • Les trois valeurs égales à 777 occuperaient les rangs 222, 333 et 444. Chacune reçoit donc le rang moyen 2+3+43=3\frac{2+3+4}{3}=332+3+4​=3.
  • La valeur 101010 reçoit le rang 555.

Les rangs sont donc 111, 333, 333, 333 et 555. Leur somme vaut 1+3+3+3+5=151+3+3+3+5=151+3+3+3+5=15, soit 5(5+1)2=15\frac{5(5+1)}{2}=1525(5+1)​=15. Le rang moyen attribué aux ex æquo conserve bien la somme totale des rangs.

Test de Mann-Whitney

Contexte et hypothèse testée

Le test de Mann-Whitney compare deux échantillons indépendants. Sous l’hypothèse nulle, les observations des deux groupes sont échangeables et suivent la même distribution. La statistique mesure si les rangs d’un groupe tendent à être systématiquement plus élevés que ceux de l’autre.

Si les deux distributions ont la même forme et ne diffèrent que par leur position, le test peut être interprété comme une comparaison de position, notamment de médiane. Sans cette condition, il porte plus généralement sur l’ensemble des distributions.

Attention

Mann-Whitney ne compare pas toujours les médianes

Une différence significative peut résulter d’un déplacement de position, mais aussi d’une différence de dispersion ou de forme. L’interprétation comme test des médianes exige des distributions de même forme.

Construction de la statistique

On note n1n_1n1​ et n2n_2n2​ les effectifs des deux groupes, N=n1+n2N=n_1+n_2N=n1​+n2​ l’effectif total et R1R_1R1​ la somme des rangs attribués au premier groupe après classement commun.

Formule

Statistique de Mann-Whitney

U1=R1−n1(n1+1)2U_1=R_1-\frac{n_1(n_1+1)}{2}U1​=R1​−2n1​(n1​+1)​
  • U1U_1U1​ : statistique associée au premier groupe
  • R1R_1R1​ : somme des rangs du premier groupe
  • n1n_1n1​ : effectif du premier groupe

La statistique complémentaire est U2=n1n2−U1U_2=n_1n_2-U_1U2​=n1​n2​−U1​. Pour un test bilatéral, on peut utiliser la plus petite des deux valeurs, selon la convention retenue par la table ou le logiciel.

Exemple

Calculer la statistique de Mann-Whitney sur deux groupes indépendants

Deux groupes indépendants sont comparés. Le groupe 1 comporte les valeurs 888 et 999, tandis que le groupe 2 comporte les valeurs 111, 333 et 555.

Après classement commun, les rangs sont :

  • groupe 2 : 111 de rang 111, 333 de rang 222, 555 de rang 333 ;
  • groupe 1 : 888 de rang 444, 999 de rang 555.

Pour le groupe 1, n1=2n_1=2n1​=2, n2=3n_2=3n2​=3 et R1=4+5=9R_1=4+5=9R1​=4+5=9.

U1=R1−n1(n1+1)2=9−2×32=6.U_1=R_1-\frac{n_1(n_1+1)}{2} =9-\frac{2\times3}{2} =6.U1​=R1​−2n1​(n1​+1)​=9−22×3​=6.

La statistique complémentaire vaut U2=n1n2−U1=2×3−6=0U_2=n_1n_2-U_1=2\times3-6=0U2​=n1​n2​−U1​=2×3−6=0. La valeur U1=6U_1=6U1​=6 signifie que les six comparaisons possibles entre une observation du groupe 1 et une observation du groupe 2 sont favorables au groupe 1 : toutes ses observations sont plus élevées.

Sous l’hypothèse nulle et en l’absence d’ex æquo :

Formule

Moments de la statistique de Mann-Whitney

E(U1)=n1n22Var⁡(U1)=n1n2(N+1)12\mathbb{E}(U_1)=\frac{n_1n_2}{2} \qquad \operatorname{Var}(U_1)=\frac{n_1n_2(N+1)}{12}E(U1​)=2n1​n2​​Var(U1​)=12n1​n2​(N+1)​
  • E(U1)\mathbb{E}(U_1)E(U1​) : espérance de U1U_1U1​ sous l’hypothèse nulle
  • Var⁡(U1)\operatorname{Var}(U_1)Var(U1​) : variance de U1U_1U1​ sous l’hypothèse nulle
  • n1n_1n1​, n2n_2n2​ : effectifs des deux groupes
  • NNN : effectif total, avec N=n1+n2N=n_1+n_2N=n1​+n2​

Pour de grands échantillons, la statistique centrée et réduite est approximativement normale. En présence d’ex æquo de tailles tjt_jtj​, la variance devient :

Var⁡(U1)=n1n212[N+1−∑j(tj3−tj)N(N−1)],\operatorname{Var}(U_1) = \frac{n_1n_2}{12} \left[ N+1-\frac{\sum_j(t_j^3-t_j)}{N(N-1)} \right],Var(U1​)=12n1​n2​​[N+1−N(N−1)∑j​(tj3​−tj​)​],

où tjt_jtj​ est le nombre d’observations dans le jjj-ième groupe d’ex æquo. Une correction de continuité de 0,50{,}50,5 peut être appliquée lors du passage d’une statistique discrète à la loi normale.

Test des rangs signés de Wilcoxon

Contexte et conditions

Le test de Wilcoxon concerne des observations appariées : chaque unité fournit deux mesures, ou chaque observation possède une correspondante déterminée par le plan d’étude. L’analyse porte sur les différences intrapaires.

Sous l’hypothèse nulle, la distribution des différences est centrée sur zéro. Pour l’interprétation habituelle, elle doit être symétrique. Les paires sont indépendantes les unes des autres, même si les deux mesures d’une même paire ne le sont pas.

Méthode

Construire la statistique de Wilcoxon

  1. Calculer chaque différence entre les deux mesures appariées
  2. Écarter les différences exactement nulles
  3. Classer les valeurs absolues des différences
  4. Attribuer les rangs moyens aux valeurs absolues ex æquo
  5. Rendre à chaque rang le signe de la différence correspondante
  6. Additionner séparément les rangs positifs et les rangs négatifs

On note T+T_+T+​ la somme des rangs associés aux différences positives et T−T_-T−​ la somme des rangs associés aux différences négatives. Leur somme vaut n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}2n(n+1)​, où nnn désigne ici le nombre de différences non nulles.

Exemple

Construire les sommes de rangs signés de Wilcoxon

Quatre patients ont une mesure avant et après une intervention. La différence est définie par « après moins avant ».

  • Patient 1 : 12−10=+212-10=+212−10=+2
  • Patient 2 : 7−8=−17-8=-17−8=−1
  • Patient 3 : 6−6=06-6=06−6=0
  • Patient 4 : 7−4=+37-4=+37−4=+3

La différence nulle du patient 3 est écartée. Les valeurs absolues restantes sont 111, 222 et 333, auxquelles correspondent les rangs 111, 222 et 333.

  • Différence −1-1−1 : rang négatif −1-1−1
  • Différence +2+2+2 : rang positif +2+2+2
  • Différence +3+3+3 : rang positif +3+3+3

Ainsi, T+=2+3=5T_+=2+3=5T+​=2+3=5 et T−=1T_-=1T−​=1. La vérification donne T++T−=5+1=6=3(3+1)2T_++T_-=5+1=6=\frac{3(3+1)}{2}T+​+T−​=5+1=6=23(3+1)​. Les rangs positifs étant majoritaires, les différences observées tendent ici à être positives.

Pour un test bilatéral, une convention fréquente utilise la plus petite des deux sommes. Pour l’approximation normale, il est commode d’utiliser T+T_+T+​.

Formule

Moments de la somme des rangs positifs

E(T+)=n(n+1)4Var⁡(T+)=n(n+1)(2n+1)24\mathbb{E}(T_+)=\frac{n(n+1)}{4} \qquad \operatorname{Var}(T_+)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}E(T+​)=4n(n+1)​Var(T+​)=24n(n+1)(2n+1)​
  • E(T+)\mathbb{E}(T_+)E(T+​) : espérance de la somme des rangs positifs sous l’hypothèse nulle
  • Var⁡(T+)\operatorname{Var}(T_+)Var(T+​) : variance sans ex æquo
  • T+T_+T+​ : somme des rangs positifs
  • nnn : nombre de différences non nulles

Si des valeurs absolues sont ex æquo, avec des groupes de tailles tjt_jtj​, la variance corrigée est :

Var⁡(T+)=n(n+1)(2n+1)24−∑j(tj3−tj)48.\operatorname{Var}(T_+) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{\sum_j(t_j^3-t_j)}{48}.Var(T+​)=24n(n+1)(2n+1)​−48∑j​(tj3​−tj​)​.

Les différences nulles ne reçoivent aucun rang et réduisent l’effectif utile. Pour un grand effectif utile, la variable centrée et réduite suit approximativement une loi normale, avec éventuellement une correction de continuité.

À retenir

Mann-Whitney classe ensemble les observations de deux groupes indépendants ; Wilcoxon classe les valeurs absolues des différences entre mesures appariées. Confondre ces deux constructions revient à ignorer le plan d’étude.

Corrélation de Spearman

Mesure d’une liaison monotone

La corrélation de Spearman mesure l’intensité et le sens d’une relation monotone entre deux variables ordinales ou quantitatives. Une relation est monotone lorsque l’une des variables tend globalement à augmenter quand l’autre augmente, ou à diminuer quand l’autre augmente, sans qu’une relation linéaire soit nécessaire.

Définition

Coefficient de corrélation de Spearman

Coefficient de corrélation linéaire calculé entre les rangs des deux variables plutôt qu’entre leurs valeurs brutes. Il est noté rsr_srs​ ou ρs\rho_sρs​ selon qu’il désigne une valeur observée ou un paramètre de population.

Chaque variable est classée séparément, avec attribution de rangs moyens aux ex æquo. Le coefficient est ensuite obtenu comme la corrélation usuelle entre les deux séries de rangs. Il varie entre −1-1−1 et 111.

En l’absence d’ex æquo, une formule simplifiée est disponible.

Exemple

Calculer un coefficient de Spearman sans ex æquo

Quatre couples d'observations sont étudiés, sans ex æquo. Les valeurs de la première variable sont 222, 444, 666 et 888. Celles de la seconde variable sont 151515, 101010, 303030 et 202020.

Les rangs croissants sont :

  • première variable : 111, 222, 333, 444 ;
  • seconde variable : 222, 111, 444, 333.

Les différences de rangs sont donc di=−1d_i=-1di​=−1, +1+1+1, −1-1−1 et +1+1+1. Ainsi, ∑i=14di2=1+1+1+1=4\sum_{i=1}^{4}d_i^2=1+1+1+1=4∑i=14​di2​=1+1+1+1=4.

rs=1−6×44(42−1)=1−2460=0,6.r_s=1-\frac{6\times4}{4(4^2-1)} =1-\frac{24}{60} =0{,}6.rs​=1−4(42−1)6×4​=1−6024​=0,6.

Le coefficient de Spearman vaut 0,60{,}60,6. Il indique une liaison monotone positive d'intensité modérée : les rangs élevés de la première variable tendent à être associés à des rangs élevés de la seconde.

Formule

Coefficient de Spearman sans ex æquo

rs=1−6∑i=1ndi2n(n2−1)r_s = 1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}rs​=1−n(n2−1)6∑i=1n​di2​​
  • rsr_srs​ : coefficient de corrélation de Spearman observé
  • did_idi​ : différence entre les deux rangs de l’observation iii
  • iii : indice de l’observation
  • nnn : nombre de couples observés

En présence d’ex æquo, cette formule simplifiée ne doit pas être utilisée sans correction : il faut calculer directement la corrélation entre les rangs moyens.

Sous l’hypothèse nulle d’indépendance, la distribution exacte de rsr_srs​ peut être obtenue par permutation pour les petits échantillons. Pour les grands échantillons, on utilise une approximation asymptotique. Une transformation fréquemment employée est :

t=rsn−21−rs2,t=r_s\sqrt{\frac{n-2}{1-r_s^2}},t=rs​1−rs2​n−2​​,

où ttt est comparé approximativement à une loi de Student à n−2n-2n−2 degrés de liberté. Cette approximation est surtout fiable lorsque l’effectif est suffisamment grand et que les ex æquo ne sont pas trop nombreux.

Attention

Absence de corrélation de Spearman et indépendance

Une corrélation de Spearman nulle signifie l’absence de liaison monotone détectable. Elle ne démontre pas, à elle seule, l’indépendance entre les variables.

Tests exacts et approximations asymptotiques

Pour de petits effectifs, les distributions exactes sont obtenues en considérant toutes les répartitions de rangs compatibles avec l’hypothèse nulle. Pour Mann-Whitney, il s’agit des affectations possibles des rangs aux deux groupes. Pour Wilcoxon, il s’agit des répartitions possibles des signes. Pour Spearman, il s’agit des permutations possibles d’une série de rangs par rapport à l’autre.

Lorsque l’effectif augmente, l’énumération devient lourde. Les statistiques de Mann-Whitney et de Wilcoxon sont alors centrées, réduites et rapprochées d’une loi normale. La correction des ex æquo ajuste leur variance, tandis que la correction de continuité tient compte du remplacement d’une distribution discrète par une distribution continue.

À retenir

Portée des approximations

Une approximation pour grand échantillon n’est valide que si la variance est calculée avec la correction des ex æquo et si l’effectif utile est suffisant. Les différences nulles du test de Wilcoxon ne participent pas à cet effectif.

Points clés
  • Les méthodes de rang utilisent l’ordre des observations et non l’amplitude de leurs écarts
  • Le test de Mann-Whitney compare deux échantillons indépendants à partir de rangs communs
  • Le test de Wilcoxon analyse des données appariées à partir des rangs signés des différences non nulles
  • La corrélation de Spearman mesure une liaison monotone en calculant la corrélation entre deux séries de rangs
  • Les ex æquo reçoivent un rang moyen et imposent une correction de variance
  • Les petits échantillons relèvent des distributions exactes, tandis que les grands échantillons permettent des approximations asymptotiques

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